Связанный пакет

В математике теория расслоений со структурной группой ( топологической группой ) допускает операцию создания ассоциированного расслоения , в которой типичное волокно расслоения изменяется с на , которые оба являются топологическими пространствами с групповым действием . Для расслоения со структурной группой функции перехода волокна (т.е. коцикла ) в перекрытии двух систем координат и задаются как -значная функция на . Затем можно построить расслоение как новое расслоение, имеющее те же функции перехода, но, возможно, другое волокно. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\beta }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle F'}$

Пример

Простой случай связан с лентой Мёбиуса , для которой есть циклическая группа порядка 2, . Мы можем взять в качестве любого из: действительную числовую прямую , интервал , действительную числовую прямую без точки 0 или двухточечное множество . Действие на них (нетождественный элемент, действующий как в каждом случае) сопоставимо в интуитивном смысле. Мы могли бы сказать это более формально в терминах склеивания двух прямоугольников и вместе: то, что нам действительно нужно, — это данные, чтобы идентифицировать себя непосредственно на одном конце , и с перекручиванием на другом конце . Эти данные можно записать как функцию исправления со значениями в . Соответствующая конструкция пучка — это просто наблюдение, что эти данные так же хороши для , как и для . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [-1,\ 1]}$ ${\displaystyle \{-1,\ 1\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\ \rightarrow \ -x}$ ${\displaystyle [-1,\ 1]\times I}$ ${\displaystyle [-1,\ 1]\times J}$ ${\displaystyle [-1,\ 1]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{-1,\ 1\}}$ ${\displaystyle [-1,\ 1]}$

Строительство

В общем случае достаточно объяснить переход от расслоения с волокном , на котором действует, к связанному главному расслоению (а именно расслоению, где волокно , считающееся действующим посредством переноса на себя). Тогда мы можем перейти от к , через главное расслоение. Подробности в терминах данных для открытого покрытия даны как случай спуска . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

Этот раздел организован следующим образом. Сначала мы вводим общую процедуру для создания ассоциированного расслоения с указанным волокном из данного расслоения. Затем она специализируется на случае, когда указанное волокно является главным однородным пространством для левого действия группы на себе, что дает ассоциированное главное расслоение. Если, кроме того, на волокне главного расслоения задано правое действие, мы описываем, как построить любое ассоциированное расслоение с помощью конструкции волокнистого произведения . ^[1]

Ассоциированные пакеты в целом

Пусть будет расслоением над топологическим пространством со структурной группой и типичным волокном . По определению, существует левое действие ( как группы преобразований ) на волокне . Предположим далее, что это действие эффективно . ^[2] Существует локальная тривиализация расслоения, состоящая из открытого покрытия , и набора отображений волокон, таких что отображения перехода задаются элементами . Точнее, существуют непрерывные функции, такие что ${\textstyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \varphi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times F}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to G}$ $${\displaystyle \psi _{ij}(u,f):=\varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}(u,f)={\big (}u,g_{ij}(u)f{\big )},\quad {\text{for each }}(u,f)\in (U_{i}\cap U_{j})\times F\,.}$$

Теперь пусть будет заданным топологическим пространством, снабженным непрерывным левым действием . Тогда расслоение, связанное с с волокном, является расслоением с локальной тривиализацией, подчиненной покрытию, чьи переходные функции задаются как где -значные функции такие же, как и полученные из локальной тривиализации исходного расслоения . Это определение явно соблюдает условие коцикла на переходных функциях, поскольку в каждом случае они задаются одной и той же системой -значных функций. (Используя другую локальную тривиализацию и переходя к общему уточнению, если необходимо, преобразование через ту же кограницу.) Следовательно, по теореме о построении расслоения волокон это дает расслоение волокон с волокном, как и заявлено. ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle U_{i}}$ $${\displaystyle \psi '_{ij}(u,f')={\big (}u,g_{ij}(u)f'{\big )},\quad {\text{for each }}(u,f')\in (U_{i}\cap U_{j})\times F'\,,}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{ij}(u)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle F'}$

Главный пучок, связанный с пучком волокон

Как и прежде, предположим, что является расслоением со структурной группой . В особом случае, когда имеет свободное и транзитивное левое действие на , так что является главным однородным пространством для левого действия на себе, то ассоциированное расслоение называется главным -расслоением, ассоциированным с расслоением . Если, кроме того, новое расслоение отождествляется с (так что наследует правое действие как и левое действие), то правое действие на индуцирует правое действие на . При таком выборе идентификации становится главным расслоением в обычном смысле. Обратите внимание, что, хотя не существует канонического способа указать правое действие на главном однородном пространстве для , любые два таких действия дадут главные расслоения, которые имеют одно и то же базовое расслоение со структурной группой (поскольку это происходит из левого действия ), и изоморфны как -пространства в том смысле, что существует -эквивариантный изоморфизм расслоений, связывающих их. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Таким образом, главный -расслоение, снабженное правым действием, часто рассматривается как часть данных, определяющих расслоение волокон со структурной группой , поскольку для расслоения волокон можно построить главный расслоение через связанную конструкцию расслоения. Затем можно, как в следующем разделе, пойти наоборот и вывести любое расслоение волокон, используя волокнистое произведение. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Пучок волокон, связанный с главным пучком

Пусть будет главным G -расслоением и пусть будет непрерывным левым действием на пространстве (в гладкой категории у нас должно быть гладкое действие на гладком многообразии). Без потери общности мы можем считать это действие эффективным. ${\displaystyle \pi \colon P\to X}$ ${\displaystyle \rho \colon G\to {\text{Homeo}}(F)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

Определите правильное действие на с помощью ^{[3] [4]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\times F}$

${\displaystyle (p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f)\,.}$

Затем мы идентифицируем это действие, чтобы получить пространство . Обозначим класс эквивалентности через . Обратите внимание, что ${\displaystyle E=P\times _{\rho }F=(P\times F)/G}$ ${\displaystyle (p,f)}$ ${\displaystyle [p,f]}$

${\displaystyle [p\cdot g,f]=[p,\rho (g)f]{\mbox{ for all }}g\in G.}$

Определите проекционную карту с помощью . Обратите внимание, что это хорошо определено . ${\displaystyle \pi _{\rho }\colon E\to X}$ ${\displaystyle \pi _{\rho }([p,f])=\pi (p)}$

Тогда — расслоение с расслоением и структурной группой . Функции перехода задаются как , где — функции перехода главного расслоения . ${\displaystyle \pi _{\rho }\colon E\to X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (t_{ij})}$ ${\displaystyle t_{ij}}$ ${\displaystyle P}$

Эту конструкцию можно также рассматривать категориально . Точнее, существуют два непрерывных отображения , заданных действием с справа на и слева на . Соответствующее векторное расслоение является тогда соуравнителем этих отображений. ${\displaystyle P\times G\times F\to P\times F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P\times _{\rho }F}$

Сокращение структурной группы

Сопутствующей концепцией ассоциированных расслоений является редукция структурной группы -расслоения . Мы спрашиваем, существует ли -расслоение , такое что ассоциированное -расслоение есть , с точностью до изоморфизма . Более конкретно, это спрашивает, могут ли данные перехода для быть последовательно записаны со значениями в . Другими словами, мы просим идентифицировать образ отображения ассоциированного расслоения (который на самом деле является функтором ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$

Примеры сокращения

Примерами векторных расслоений являются: введение метрики, приводящее к сведению структурной группы от полной линейной группы к ортогональной группе ; и существование комплексной структуры на действительном расслоении, приводящее к сведению структурной группы от действительной полной линейной группы к комплексной полной линейной группе . ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$

Другим важным случаем является нахождение разложения векторного расслоения ранга в виде суммы Уитни (прямой суммы) подрасслоений ранга и , что приводит к редукции структурной группы с до . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\times \mathrm {GL} (n-k,\mathbb {R} )}$

Можно также выразить условие определения слоения как редукцию касательного расслоения к подгруппе блочных матриц, но здесь редукция является лишь необходимым условием, поскольку имеется условие интегрируемости , так что применима теорема Фробениуса .

Смотрите также

• Спинорный пучок

Ссылки

1. Все эти конструкции принадлежат Эресманну (1941-3). Приписывается Стинродом (1951) стр. 36
2. Эффективность является общим требованием для пучков волокон; см. Steenrod (1951). В частности, это условие необходимо для обеспечения существования и единственности главного пучка, связанного с . ${\displaystyle E}$
3. Хусемоллер, Дейл (1994), стр. 45.
4. Шарп, РВ (1997), стр. 37.

Книги

• Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстон: Princeton University Press . ISBN 0-691-00548-6.
• Husemoller, Dale (1994). Fibre Bundles (Третье изд.). Нью-Йорк: Springer . ISBN 978-0-387-94087-8.
• Шарп, Р. В. (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Springer . ISBN 0-387-94732-9.