В теории категорий коуравнитель ( или коуравнитель ) — это обобщение фактора по отношению эквивалентности к объектам в произвольной категории . Это категориальная конструкция , двойственная уравнителю .
Коуравнитель — это копредел диаграммы, состоящей из двух объектов X и Y и двух параллельных морфизмов f , g : X → Y.
Более явно, коуравнитель параллельных морфизмов f и g может быть определен как объект Q вместе с морфизмом q : Y → Q таким, что q ∘ f = q ∘ g . Более того, пара ( Q , q ) должна быть универсальной в том смысле, что для любой другой такой пары ( Q ′, q ′) существует уникальный морфизм u : Q → Q ′ такой, что u ∘ q = q ′ . Эту информацию можно зафиксировать с помощью следующей коммутативной диаграммы :
Как и во всех универсальных конструкциях , соуравнитель, если он существует, является единственным с точностью до единственного изоморфизма (вот почему, злоупотребляя языком, иногда говорят о «совместном уравнителе двух параллельных стрелок»).
Можно показать, что соуравнивающая стрелка q является эпиморфизмом в любой категории.
В категориях с нулевыми морфизмами можно определить коядро морфизма f как коуравнитель f и параллельного нулевого морфизма.
В предаддитивных категориях имеет смысл складывать и вычитать морфизмы ( гом-множества фактически образуют абелевы группы ). В таких категориях можно определить коуравнитель двух морфизмов f и g как коядро их разности:
Более сильным понятием является понятие абсолютного коуравнителя , это коуравнитель, который сохраняется при всех функторах. Формально, абсолютный коуравнитель пары параллельных стрелок f , g : X → Y в категории C является коуравнителем, как определено выше, но с добавленным свойством, что при любом функторе F : C → D , F ( Q ) вместе с F ( q ) является коуравнителем F ( f ) и F ( g ) в категории D. Разделенные коуравнители являются примерами абсолютных коуравнителей .
