Седенион

Гиперкомплексная система счисления

В абстрактной алгебре седенионы образуют 16- мерную некоммутативную и неассоциативную алгебру над действительными числами , обычно обозначаемую заглавной буквой S, жирным шрифтом S или жирным шрифтом на доске. ${\displaystyle \mathbb {S} }$

Седенионы получаются применением конструкции Кэли–Диксона к октонионам , что математически можно выразить как . ^[1] Таким образом, октонионы изоморфны подалгебре седенионов. В отличие от октонионов, седенионы не являются альтернативной алгеброй . Применение конструкции Кэли–Диксона к седенионам дает 32-мерную алгебру, называемую тригинтадуонионами или иногда 32-нионами. [ 2 ^] Можно продолжать применять конструкцию Кэли–Диксона произвольное количество раз. ${\displaystyle \mathbb {S} ={\mathcal {CD}}(\mathbb {O} ,1)}$

Термин седенион также используется для других 16-мерных алгебраических структур, таких как тензорное произведение двух копий бикватернионов или алгебра матриц 4 × 4 над действительными числами, или та, которая изучалась Смитом (1995).

Арифметика

Визуализация 4D-расширения кубического октониона ^[3], показывающая 35 триад как гиперплоскости, проходящие через действительную вершину приведенного примера седениона ${\displaystyle (e_{0})}$

Каждый седенион является линейной комбинацией единичных седенионов , , , , ..., , которые образуют базис векторного пространства седенионов. Каждый седенион может быть представлен в виде ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{15}}$

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{14}e_{14}+x_{15}e_{15}.}$

Сложение и вычитание определяются сложением и вычитанием соответствующих коэффициентов, а умножение является распределительным по отношению к сложению.

Как и другие алгебры, основанные на конструкции Кэли–Диксона , седенионы содержат алгебру, из которой они были построены. Таким образом, они содержат октонионы (сгенерированные с помощью в таблице ниже), а следовательно, также кватернионы (сгенерированные с помощью ) , комплексные числа (сгенерированные с помощью и ) и действительные числа (сгенерированные с помощью ). ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{0}}$

Умножение

Подобно октонионам , умножение седенионов не является ни коммутативным , ни ассоциативным . Однако, в отличие от октонионов, седенионы даже не обладают свойством быть альтернативными . Однако они обладают свойством ассоциативности мощности , которое можно сформулировать так, что для любого элемента x из мощность хорошо определена. Они также гибки . ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle x^{n}}$

Седенионы имеют мультипликативный единичный элемент и мультипликативные обратные, но они не являются алгеброй деления, поскольку имеют делители нуля . Это означает, что два ненулевых седениона можно умножить, чтобы получить ноль: примером является . Все гиперкомплексные числовые системы после седенионов, основанные на конструкции Кэли–Диксона, также содержат делители нуля. ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle (e_{3}+e_{10})(e_{6}-e_{15})}$

Таблица умножения седениона представлена ​​ниже:

Свойства Sedenion

Иллюстрация структуры PG(3,2) , которая обеспечивает закон умножения для седенионов, как показано Санигой, Холвеком и Пракной (2015). Любые три точки (представляющие три мнимые единицы седениона), лежащие на одной прямой, таковы, что произведение двух из них дает третью, знак не учитывается.

Из приведенной выше таблицы мы видим, что:

${\displaystyle e_{0}e_{i}=e_{i}e_{0}=e_{i}\,{\text{for all}}\,i,}$

${\displaystyle e_{i}e_{i}=-e_{0}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq 0,}$и

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq j\,\,{\text{with}}\,\,i,j\neq 0.}$

Антиассоциативный

Седенионы не полностью антиассоциативны. Выберите любые четыре генератора, и . Следующий 5-цикл показывает, что эти пять отношений не могут быть все антиассоциативными. ${\displaystyle i,j,k}$ ${\displaystyle l}$

$${\displaystyle (ij)(kl)=-((ij)k)l=(i(jk))l=-i((jk)l)=i(j(kl))=-(ij)(kl)=0}$$

В частности, в приведенной выше таблице используются и последнее выражение ассоциируется. ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{4}}$ ${\displaystyle e_{8}}$ ${\displaystyle (e_{1}e_{2})e_{12}=e_{1}(e_{2}e_{12})=-e_{15}}$

Кватернионные подалгебры

Конкретная таблица умножения седениона, показанная выше, представлена ​​35 триадами. Таблица и ее триады были построены из октониона, представленного жирным набором из 7 триад, с использованием конструкции Кэли–Диксона . Это один из 480 возможных наборов из 7 триад (один из двух, показанных в статье об октонионе) и основан на конструкции Кэли–Диксона кватернионов из двух возможных конструкций кватернионов из комплексных чисел . Двоичные представления индексов этих троек побитово XOR с 0. Эти 35 триад таковы:

{ {1, 2, 3} , {1, 4, 5} , {1, 7, 6} , {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, { 1, 14, 15},
{2, 4, 6} , {2, 5, 7} , {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, {3, 4, 7} ,
{3, 6, 5} , {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},
{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},
{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10} }

Делители нуля

Список из 84 наборов делителей нуля , где : ${\displaystyle \{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}}$ ${\displaystyle (e_{a}+e_{b})\circ (e_{c}+e_{d})=0}$

$${\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{Sedenion Zero Divisors}}\quad \{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}\\{\text{where}}~(e_{a}+e_{b})\circ (e_{c}+e_{d})=0\\{\begin{array}{ccc}1\leq a\leq 6,&c>a,&9\leq b\leq 15\\\end{array}}\\\\{\begin{array}{lccr}\{9\leq d\leq 15\}&\{-9\geq d\geq -15\}&\{9\leq d\leq 15\}&\{-9\geq d\geq -15\}\\\end{array}}\\\\{\begin{array}{llll}\{e_{1},e_{10},e_{5},e_{14}\}&\{e_{1},e_{10},e_{4},-e_{15}\}&\{e_{1},e_{10},e_{7},e_{12}\}&\{e_{1},e_{10},e_{6},-e_{13}\}\\\{e_{1},e_{11},e_{4},e_{14}\}&\{e_{1},e_{11},e_{6},-e_{12}\}&\{e_{1},e_{11},e_{5},e_{15}\}&\{e_{1},e_{11},e_{7},-e_{13}\}\\\{e_{1},e_{12},e_{2},e_{15}\}&\{e_{1},e_{12},e_{3},-e_{14}\}&\{e_{1},e_{12},e_{6},e_{11}\}&\{e_{1},e_{12},e_{7},-e_{10}\}\\\{e_{1},e_{13},e_{6},e_{10}\}&\{e_{1},e_{13},e_{2},-e_{14}\}&\{e_{1},e_{13},e_{7},e_{11}\}&\{e_{1},e_{13},e_{3},-e_{15}\}\\\{e_{1},e_{14},e_{2},e_{13}\}&\{e_{1},e_{14},e_{4},-e_{11}\}&\{e_{1},e_{14},e_{3},e_{12}\}&\{e_{1},e_{14},e_{5},-e_{10}\}\\\{e_{1},e_{15},e_{3},e_{13}\}&\{e_{1},e_{15},e_{2},-e_{12}\}&\{e_{1},e_{15},e_{4},e_{10}\}&\{e_{1},e_{15},e_{5},-e_{11}\}\\\\\{e_{2},e_{9},e_{4},e_{15}\}&\{e_{2},e_{9},e_{5},-e_{14}\}&\{e_{2},e_{9},e_{6},e_{13}\}&\{e_{2},e_{9},e_{7},-e_{12}\}\\\{e_{2},e_{11},e_{5},e_{12}\}&\{e_{2},e_{11},e_{4},-e_{13}\}&\{e_{2},e_{11},e_{6},e_{15}\}&\{e_{2},e_{11},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{2},e_{12},e_{3},e_{13}\}&\{e_{2},e_{12},e_{5},-e_{11}\}&\{e_{2},e_{12},e_{7},e_{9}\}&\{e_{2},e_{13},e_{3},-e_{12}\}\\\{e_{2},e_{13},e_{4},e_{11}\}&\{e_{2},e_{13},e_{6},-e_{9}\}&\{e_{2},e_{14},e_{5},e_{9}\}&\{e_{2},e_{14},e_{3},-e_{15}\}\\\{e_{2},e_{14},e_{3},e_{14}\}&\{e_{2},e_{15},e_{4},-e_{9}\}&\{e_{2},e_{15},e_{3},e_{14}\}&\{e_{2},e_{15},e_{6},-e_{11}\}\\\\\{e_{3},e_{9},e_{6},e_{12}\}&\{e_{3},e_{9},e_{4},-e_{14}\}&\{e_{3},e_{9},e_{7},e_{13}\}&\{e_{3},e_{9},e_{5},-e_{15}\}\\\{e_{3},e_{10},e_{4},e_{13}\}&\{e_{3},e_{10},e_{5},-e_{12}\}&\{e_{3},e_{10},e_{7},e_{14}\}&\{e_{3},e_{10},e_{6},-e_{15}\}\\\{e_{3},e_{12},e_{5},e_{10}\}&\{e_{3},e_{12},e_{6},-e_{9}\}&\{e_{3},e_{14},e_{4},e_{9}\}&\{e_{3},e_{13},e_{4},-e_{10}\}\\\{e_{3},e_{15},e_{5},e_{9}\}&\{e_{3},e_{13},e_{7},-e_{9}\}&\{e_{3},e_{15},e_{6},e_{10}\}&\{e_{3},e_{14},e_{7},-e_{10}\}\\\\\{e_{4},e_{9},e_{7},e_{10}\}&\{e_{4},e_{9},e_{6},-e_{11}\}&\{e_{4},e_{10},e_{5},e_{11}\}&\{e_{4},e_{10},e_{7},-e_{9}\}\\\{e_{4},e_{11},e_{6},e_{9}\}&\{e_{4},e_{11},e_{5},-e_{10}\}&\{e_{4},e_{13},e_{6},e_{15}\}&\{e_{4},e_{13},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{4},e_{14},e_{7},e_{13}\}&\{e_{4},e_{14},e_{5},-e_{15}\}&\{e_{4},e_{15},e_{5},e_{14}\}&\{e_{4},e_{15},e_{6},-e_{13}\}\\\\\{e_{5},e_{10},e_{6},e_{9}\}&\{e_{5},e_{9},e_{6},-e_{10}\}&\{e_{5},e_{11},e_{7},e_{9}\}&\{e_{5},e_{9},e_{7},-e_{11}\}\\\{e_{5},e_{12},e_{7},e_{14}\}&\{e_{5},e_{12},e_{6},-e_{15}\}&\{e_{5},e_{15},e_{6},e_{12}\}&\{e_{5},e_{14},e_{7},-e_{12}\}\\\\\{e_{6},e_{11},e_{7},e_{10}\}&\{e_{6},e_{10},e_{7},-e_{11}\}&\{e_{6},e_{13},e_{7},e_{12}\}&\{e_{6},e_{12},e_{7},-e_{13}\}\end{array}}\end{array}}}$$

Приложения

Морено (1998) показал, что пространство пар единичных седенионов, которые умножаются на ноль, гомеоморфно компактной форме исключительной группы Ли G 2 . (Обратите внимание, что в его статье «делитель нуля» означает пару элементов , которые умножаются на ноль.)

Гиллард и Греснигт (2019) продемонстрировали, что три поколения лептонов и кварков , которые связаны с ненарушенной калибровочной симметрией, могут быть представлены с помощью алгебры комплексифицированных седенионов . Их рассуждения следуют из того, что примитивный идемпотентный проектор — где выбран в качестве мнимой единицы, подобной для в плоскости Фано — который действует на стандартный базис седенионов, однозначно делит алгебру на три набора разделенных базисных элементов для , чьи сопряженные левые действия на самих себе порождают три копии алгебры Клиффорда , которые, в свою очередь, содержат минимальные левые идеалы , описывающие одно поколение фермионов с ненарушенной калибровочной симметрией. В частности, они отмечают, что тензорные произведения между нормированными алгебрами деления порождают делители нуля, родственные тем, что находятся внутри , где отсутствие альтернативности и ассоциативности не влияет на построение минимальных левых идеалов, поскольку их базовый расщепленный базис требует умножения только двух базисных элементов, в которых ассоциативность или альтернативность не участвуют. Тем не менее, эти идеалы, построенные из присоединенной алгебры левых действий алгебры на себя, остаются ассоциативными, альтернативными и изоморфными алгебре Клиффорда. В целом это позволяет трем копиям существовать внутри . Более того, эти три комплексифицированные подалгебры октонионов не являются независимыми; они разделяют общую подалгебру, которая, как отмечают авторы, может сформировать теоретическую основу для матриц CKM и PMNS , которые, соответственно, описывают смешивание кварков и осцилляции нейтрино . ${\displaystyle \mathrm {SU(3)_{c}\times U(1)_{em}} }$ ${\displaystyle \mathbb {C\otimes S} }$ ${\displaystyle \rho _{+}=1/2(1+ie_{15})}$ ${\displaystyle e_{15}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {C\otimes O} }$ ${\displaystyle \mathrm {C} l(6)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU(3)_{c}\times U(1)_{em}} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {C\otimes O} }$ ${\displaystyle (\mathbb {C\otimes O} )_{L}\cong \mathrm {Cl(6)} }$ ${\displaystyle \mathbb {(C\otimes S)} _{L}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} l(2)}$

Нейронные сети Sedenion предоставляют ^{[ необходимо дополнительное объяснение ]} средство эффективного и компактного выражения в приложениях машинного обучения и используются для решения множества задач временных рядов и прогнозирования трафика. ^{[4] [5]}

Смотрите также

• Шестнадцатиквадратная идентичность Пфистера
• Раздельно-комплексное число
• ПГ(3,2)

Примечания

1. "Ensembles de nombre" (PDF) (на французском). Форум Futura-Science. 6 сентября 2011 г. Получено 11 октября 2024 г.
2. Рауль Э. Кавагас и др. (2009). «БАЗОВАЯ ПОДАЛГЕБРА СТРУКТУРА АЛГЕБРЫ КЭЛИ-ДИКСОНА РАЗМЕРНОСТИ 32 (ТРИГИНТАДУОНИИ)».
3. (Баез 2002, стр. 6)
4. Сауд, Лайес Саад; Аль-Марзуки, Хасан (2020). «Метакогнитная нейронная сеть с седениозначными значениями и ее алгоритм обучения». IEEE Access . 8 : 144823–144838. doi : 10.1109/ACCESS.2020.3014690 . ISSN  2169-3536.
5. Копп, Майкл; Крейл, Дэвид; Нойн, Мориц; Джонитц, Дэвид; Мартин, Генри; Эррузо, Педро; Грука, Александра; Солеймани, Али; Ву, Фанью; Лю, Ян; Сюй, Цзинвэй (07.08.2021). «Traffic4cast на NeurIPS 2020 — еще больше о необоснованной эффективности геопространственных процессов с сеткой». NeurIPS 2020 Competition and Demonstration Track . PMLR: 325–343.

Ссылки

• Имаэда, К.; Имаэда, М. (2000). «Седенионы: алгебра и анализ». Прикладная математика и вычисления . 115 (2): 77–88. doi :10.1016/S0096-3003(99)00140-X. MR  1786945.
• Баез, Джон К. (2002). «Октонионы». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 39 (2): 145–205. arXiv : math/0105155 . doi :10.1090/S0273-0979-01-00934-X. MR  1886087. S2CID  586512.
• Бисс, Дэниел К.; Кристенсен, Дж. Дэниел; Даггер, Дэниел; Исаксен, Дэниел К. (2007). «Большие аннуляторы в алгебрах Кэли-Диксона II». Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana . 3 : 269–292. arXiv : математика/0702075 . Бибкод : 2007math......2075B.
• Guillard, Adam B.; Gresnigt, Niels G. (2019). «Три поколения фермионов с двумя ненарушенными калибровочными симметриями из комплексных седенионов». The European Physical Journal C. 79 ( 5). Springer : 1–11 (446). arXiv : 1904.03186 . Bibcode : 2019EPJC...79..446G. doi : 10.1140/epjc/s10052-019-6967-1. S2CID  102351250.
• Киньон, МК; Филлипс, ДЖ; Войтеховски, П. (2007). «C-циклы: расширения и конструкции». Журнал алгебры и ее применения . 6 (1): 1–20. arXiv : math/0412390 . CiteSeerX  10.1.1.240.6208 . doi :10.1142/S0219498807001990. S2CID  48162304.
• Кивунге, Бенард М.; Смит, Джонатан Д. Х. (2004). «Подциклы седенионов» (PDF) . Комментарий. Math. Univ. Carolinae . 45 (2): 295–302.
• Moreno, Guillermo (1998). «Делители нуля алгебр Кэли–Диксона над действительными числами». Bol. Soc. Mat. Mexicana . Серия 3. 4 (1): 13–28. arXiv : q-alg/9710013 . Bibcode :1997q.alg....10013G. MR  1625585.
• Saniga, Metod; Holweck, Frédéric; Pracna, Petr (2015). «От алгебр Кэли-Диксона до комбинаторных грассманианов». Математика . 3 (4). MDPI AG: 1192–1221. arXiv : 1405.6888 . doi : 10.3390/math3041192 . ISSN  2227-7390.  В данной статье использован текст из этого источника, доступный по лицензии CC BY 4.0.
• Смит, Джонатан ДХ (1995). «Левая петля на 15-сфере». Журнал алгебры . 176 (1): 128–138. doi : 10.1006/jabr.1995.1237 . MR  1345298.
• Л. С. Сауд и Х. Аль-Марзуки, «Метакогнитная седенионно-значная нейронная сеть и ее алгоритм обучения», в IEEE Access, т. 8, стр. 144823-144838, 2020, doi:10.1109/ACCESS.2020.3014690.