В математике седловая точка или минимаксная точка [1] — это точка на поверхности графика функции , все наклоны (производные) в ортогональных направлениях равны нулю ( критическая точка ), но которая не является локальным экстремумом функции. функция. [2] Примером седловой точки является критическая точка с относительным минимумом в одном осевом направлении (между пиками) и относительным максимумом вдоль оси пересечения. Однако седловая точка не обязательно должна иметь такую форму. Например, функция имеет критическую точку, которая является седловой точкой, поскольку она не является ни относительным максимумом, ни относительным минимумом, но не имеет относительного максимума или относительного минимума в -направлении .
Название происходит от того факта, что прототипный пример в двух измерениях представляет собой поверхность , которая изгибается вверх в одном направлении и изгибается вниз в другом направлении, напоминая седло для верховой езды или горный перевал между двумя вершинами, образующими седло рельефа . С точки зрения контурных линий , седловая точка в двух измерениях порождает контурную карту с парой линий, пересекающихся в этой точке. Такие пересечения редки на реальных картах обзора боеприпасов, поскольку высота седловой точки вряд ли будет совпадать с целочисленными кратными, используемыми на таких картах. Вместо этого седловая точка выглядит как пустое пространство посередине четырех наборов контурных линий, которые приближаются и отклоняются от нее. Для базовой седловой точки эти наборы встречаются парами, причем противостоящая пара высокого уровня и противостоящая пара низкого уровня расположены в ортогональных направлениях. Критические контурные линии обычно не обязательно должны пересекаться ортогонально.
Простой критерий проверки того, является ли данная стационарная точка действительной функции F ( x , y ) двух действительных переменных седловой точкой, состоит в вычислении матрицы Гессе функции в этой точке: если гессиан неопределенен , то эта точка является седловой точкой. Например, матрицей Гессе функции в стационарной точке является матрица
что является неопределенным. Следовательно, эта точка является седловой. Этот критерий дает лишь достаточное условие. Например, точка является седловой точкой функции, но матрица Гессе этой функции в начале координат является нулевой матрицей , которая не является неопределенной.
В самых общих чертах седловая точка гладкой функции ( график которой представляет собой кривую , поверхность или гиперповерхность ) — это стационарная точка, такая что кривая/поверхность/и т. д. в окрестности этой точки не находится полностью ни на одной из сторон касательного пространства в этой точке.
В одномерной области седловая точка — это точка , которая является одновременно точкой покоя и точкой перегиба . Поскольку это точка перегиба, она не является локальным экстремумом .
Седловая поверхность — это гладкая поверхность , содержащая одну или несколько седловых точек.
Классическими примерами двумерных седловых поверхностей в евклидовом пространстве являются поверхности второго порядка, гиперболический параболоид (который часто называют « седловой поверхностью» или «стандартной седловой поверхностью») и однолистный гиперболоид . Картофельные чипсы или чипсы Pringles — это повседневный пример гиперболической параболоидной формы.
Седловые поверхности имеют отрицательную гауссову кривизну , что отличает их от выпуклых/эллиптических поверхностей, имеющих положительную гауссову кривизну. Классической поверхностью седла третьего порядка является седло обезьяны . [3]
В игре с нулевой суммой для двух игроков , определенной в непрерывном пространстве, точка равновесия является седловой точкой.
Для линейной автономной системы второго порядка критическая точка является седловой, если характеристическое уравнение имеет одно положительное и одно отрицательное действительное собственное значение. [4]
При оптимизации с учетом ограничений равенства условия первого порядка описывают седловую точку лагранжиана .
В динамических системах , если динамика задается дифференцируемым отображением f , то точка является гиперболической тогда и только тогда, когда дифференциал ƒ n (где n — период точки) не имеет собственного значения на (комплексной) единичной окружности при вычислении. в точку. Тогда седловая точка — это гиперболическая периодическая точка , устойчивое и неустойчивое многообразия которой имеют размерность , отличную от нуля.
Седловая точка матрицы — это элемент, который является одновременно наибольшим элементом в своем столбце и наименьшим элементом в своей строке.
СМИ, связанные с седловой точкой, на Викискладе?
