В геометрии секущая — это линия , пересекающая кривую как минимум в двух различных точках . [1] Слово «секанс» происходит от латинского слова «secare» , что означает «разрезать» . [2] В случае круга секущая пересекает круг ровно в двух точках. Хорда — это отрезок прямой , определяемый двумя точками, то есть отрезок секущей , концами которого являются две точки. [3]
Прямая может пересекать окружность в нуле, одной или двух точках. Линия с пересечениями в двух точках называется секущей , в одной точке - касательной и ни в одной точке - внешней линией . Хорда — это отрезок линии, соединяющий две различные точки окружности. Таким образом, хорда содержится в уникальной секущей линии, и каждая секущая линия определяет уникальную хорду.
В строгих современных трактовках геометрии плоскостей обычно доказываются результаты, которые кажутся очевидными и были приняты (без формулировок) Евклидом в его трактовке .
Например, Теорема (Элементарная круговая непрерывность) : [4] Если есть круг и линия, содержащая точку A , находящуюся внутри , и точку B , находящуюся снаружи, то это секущая линия для .
В некоторых ситуациях формулировка результатов в виде секущих линий вместо аккордов может помочь унифицировать высказывания. В качестве примера рассмотрим результат: [5]
Если точка P лежит внутри круга, это Евклид III.35, но если точка находится вне круга, результат не содержится в Элементах. Однако Роберт Симсон вслед за Кристофером Клавиусом продемонстрировал этот результат, иногда называемый теоремой о пересекающихся секущих , в своих комментариях к Евклиду. [6]
Для кривых, более сложных, чем простые круги, возникает возможность того, что линия пересекает кривую более чем в двух различных точках. Некоторые авторы определяют секущую линию кривой как линию, пересекающую кривую в двух различных точках. Это определение оставляет открытой возможность того, что линия может иметь и другие точки пересечения с кривой. В такой формулировке определения секущей линии для кругов и кривых идентичны, и для круга возможность дополнительных точек пересечения просто не возникает.
Секущие могут использоваться для аппроксимации касательной к кривой в некоторой точке P , если она существует . Определите секущую кривой по двум точкам P и Q с фиксированным P и переменной Q. Когда Q приближается к P вдоль кривой, если наклон секущей приближается к предельному значению , то этот предел определяет наклон касательной в точке P. [1] Секущие линии PQ являются аппроксимацией касательной. В исчислении эта идея представляет собой геометрическое определение производной .
Касательная линия к кривой в точке P может быть секущей линией к этой кривой, если она пересекает кривую хотя бы в одной точке, кроме P . Другой способ взглянуть на это — осознать, что быть касательной линией в точке P — это локальное свойство, зависящее только от кривой в непосредственной близости от P , тогда как быть секущей линией — глобальное свойство , поскольку вся область определения необходимо изучить функцию, производящую кривую.
Понятие секущей линии может быть применено в более общем контексте, чем евклидово пространство. Пусть K — конечное множество из k точек в некоторой геометрической ситуации. Прямая называется n -секущей K , если она содержит ровно n точек K. [7] Например, если K представляет собой набор из 50 точек, расположенных на окружности в евклидовой плоскости, линия, соединяющая две из них, будет 2-секущей (или биссектрисой ), а линия, проходящая только через одну из них, будет 1-секущий (или унисексантный ). Унисекс в этом примере не обязательно должен быть касательной к окружности.
Эта терминология часто используется в геометрии падения и дискретной геометрии . Например, теорема Сильвестра-Галлаи о геометрии инцидентности утверждает, что если n точек евклидовой геометрии не лежат на одной прямой , то из них должна существовать 2-секущая. А исходная задача дискретной геометрии о посадке фруктовых садов требует ограничения количества 3-секущих конечного набора точек.
Конечность множества точек не является существенной в этом определении, поскольку каждая прямая может пересекать множество только в конечном числе точек.
