Квадрисеканс

Линия, проходящая через четыре точки кривой

Три квадратисексанта узла-трилистника ^[1]

В геометрии квадратиссекающая или квадратиссекающая линия пространственной кривой — это линия , проходящая через четыре точки кривой. Это максимально возможное количество пересечений, которое общая пространственная кривая может иметь с линией, и для таких кривых квадратисексанты образуют дискретный набор линий. Квадрисекансы изучались для кривых нескольких типов:

• Узлы и звенья в теории узлов , когда они нетривиальны , всегда имеют квадрисекансы, а существование и количество квадрисекансов изучалось в связи с инвариантами узла, включая минимальную полную кривизну и длину веревки узла.
• Число квадрисекансов неособой алгебраической кривой в комплексном проективном пространстве можно вычислить по формуле, выведенной Артуром Кэли .
• Квадрисеканты расположения косых линий касаются подмножества четырех линий из расположения. Они связаны с линейчатыми поверхностями и конфигурацией двойной шестерки Шлефли .

Определение и мотивация

Квадрисеканс — это линия, пересекающая кривую, поверхность или другой набор в четырех различных точках. Это аналог секущей линии , линии, пересекающей кривую или поверхность в двух точках; и тройная секущая — линия, пересекающая кривую или поверхность в трёх точках. ^[2]

По сравнению с секущими и трисекансами, квадрисекансы особенно актуальны для пространственных кривых , поскольку они имеют максимально возможное количество точек пересечения прямой с общей кривой . На плоскости общую кривую можно пересекать линией сколь угодно много раз; например, небольшие общие возмущения синусоидальной кривой бесконечно часто пересекаются горизонтальной осью. Напротив, если произвольная пространственная кривая возмущена на небольшое расстояние, чтобы сделать ее общей, не будет линий, проходящих через пять или более точек возмущенной кривой. Тем не менее, любые квадратисексанты исходной пространственной кривой останутся поблизости в ее возмущении. ^[3] Для общих пространственных кривых квадрисекансы образуют дискретный набор прямых. Напротив, когда встречаются трисекансы, они образуют непрерывные семейства линий. ^[4]

Одно из объяснений этого явления визуальное: глядя на кривую пространства издалека, пространство таких точек зрения можно описать как двумерную сферу, где каждому направлению соответствует одна точка. Пары нитей кривой могут казаться пересекающимися со всех этих точек зрения или с их двумерного подмножества. Три нити образуют тройное пересечение, когда точка зрения лежит на трисекансе, а четыре нити образуют четверное пересечение с точки зрения на квадрисеканс. Каждое ограничение, заключающееся в том, что пересечение пары нитей лежит на другой нити, уменьшает количество степеней свободы на одну (для общей кривой), поэтому точки зрения на трисекансы образуют одномерное (непрерывно бесконечное) подмножество сферы. , а точки зрения на квадрисекансы образуют нульмерное (дискретное) подмножество. CTC Wall пишет, что тот факт, что общие пространственные кривые пересекаются прямыми не более четырех раз, является «одной из простейших теорем такого рода», модельным случаем для аналогичных теорем о трансверсалях более высоких размерностей. ^[3]

В зависимости от свойств кривой у нее может не быть квадратиц, их может быть конечное или бесконечное число. Эти соображения делают интересным определение условий существования квадрисекансов или нахождение границ их числа в различных частных случаях, таких как кривые с узлами, ^{[5] [6]} алгебраические кривые, ^[7] или расположение прямых . ^[8]

Для особых классов кривых

Узлы и связи

В трехмерном евклидовом пространстве каждый нетривиальный ручной узел или звено имеет квадратиссанс. Первоначально установленный Эрикой Паннвиц ^[5] в случае завязанных многоугольников и гладких узлов , этот результат был распространен на узлы подходящего общего положения и связи с ненулевым числом зацепления , ^[6] , а затем на все нетривиальные ручные узлы и связи. ^[9]

Панвиц доказал более убедительно, что для локально плоского диска, границей которого является узел, число особенностей диска можно использовать для построения нижней оценки числа различных квадратисектантов. Существование хотя бы одного квадратиссанса следует из того, что любой такой диск должен иметь хотя бы одну особенность. ^{[5] [10]} Мортон и Монд (1982) предположили, что количество различных квадратисексантов данного узла всегда не менее , где – число пересечений узла. ^{[6] [10]} С тех пор были обнаружены контрпримеры этой гипотезе. ^[10] ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle n}$

Двухкомпонентные связи имеют квадрисекансы, в которых точки на квадрисекансах появляются в чередующемся порядке между двумя компонентами, ^[6] и нетривиальные узлы имеют квадрисеканты, в которых четыре точки, упорядоченные циклически , как на узле, появляются в порядке вдоль квадрисеканса. ^[11] Существование этих чередующихся квадратисектантов можно использовать для вывода теоремы Фари–Милнора , нижней оценки полной кривизны нетривиального узла. ^[11] Квадрисекансы также использовались для нахождения нижних границ длины веревки узлов. ^[12] ${\displaystyle abcd}$ ${\displaystyle acbd}$

Г.Т. Джин и Х.С. Ким предположили, что, когда кривая с узлами имеет конечное число квадратисектантов, ее можно аппроксимировать эквивалентным многоугольным узлом с вершинами в точках пересечения квадратисектантов в том же порядке, в котором они появляются на . Однако их гипотеза ложна: на самом деле для каждого типа узла существует реализация, для которой эта конструкция приводит к самопересекающемуся многоугольнику, и другая реализация, в которой эта конструкция создает узел другого типа. ^[13] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Нерешенная задача по математике :

Имеет ли каждый дикий узел бесконечное число квадрисекантов?

(еще нерешенные задачи по математике)

Было высказано предположение, что каждый дикий узел имеет бесконечное число квадрисекансов. ^[9]

Алгебраические кривые

Артур Кэли вывел формулу для числа квадратиссектантов алгебраической кривой в трехмерном комплексном проективном пространстве в зависимости от ее степени и рода . ^[7] Для кривой степени и рода число квадрисекансов равно ^[14] Эта формула предполагает, что данная кривая неособа ; корректировки могут потребоваться, если он имеет особые точки. ^{[15] [16]} ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle {\frac {(d-2)(d-3)^{2}(d-4)}{12}}-{\frac {g(d^{2}-7d+13-g)}{2}}.}$$

Наклонить линии

Двойная шестерка Шлефли

В трехмерном евклидовом пространстве каждый набор из четырех косых линий общего положения имеет либо два квадрисеканса (также в этом контексте называемых трансверсалями ), либо ни одного. Любые три из четырех линий определяют гиперболоид , поверхность с двойной линейкой, в которой один из двух наборов линейчатых линий содержит три заданные линии, а другая линейка состоит из тройных секущих данных линий. Если четвертая из данных прямых пронзает эту поверхность, то она имеет две точки пересечения, поскольку гиперболоид определяется квадратным уравнением . Две трисекансы линейчатой ​​поверхности, проходящие через эти две точки, образуют два квадратиссанса данных четырех прямых. С другой стороны, если четвертая прямая не пересекается с гиперболоидом, то квадратисектантов нет. ^[17] В пространствах с комплексными числовыми координатами, а не с действительными координатами, четыре косые линии всегда имеют ровно два квадратиссектанта. ^[8]

Квадрисекты наборов линий играют важную роль в построении двойной шестерки Шлефли — конфигурации из двенадцати линий, пересекающих друг друга в 30 пересечениях. Если пять линий (для ) заданы в трехмерном пространстве так, что все пять пересекаются общей линией, но в остальном находятся в общем положении, то каждая из пяти четверок линий имеет второй квадратрисант , и пять линий образуют таким образом все пересекаются общей линией . Эти двенадцать линий и 30 точек пересечения образуют двойную шестерку. ^{[18] [19]} ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,3,4,5}$ ${\displaystyle b_{6}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle a_{6}}$ ${\displaystyle a_{i}b_{j}}$

Расположение комплексных прямых с заданным числом попарных пересечений и иным перекосом можно интерпретировать как алгебраическую кривую, степень и род которой определяются исходя из количества пересечений, а вышеупомянутая формула Кэли используется для подсчета ее квадратицектов. Тот же результат, что и эта формула, можно получить, классифицируя четверки прямых по их пересечениям, подсчитывая количество квадратисексантов для каждого типа четверок и суммируя по всем четверкам прямых в данном множестве. ^[8] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Рекомендации

1. Джин, Гё Тэк (декабрь 2017 г.), «Многоугольная аппроксимация узлов квадратрисантами», в Райтере, Филиппе; Блатт, Саймон; Шикорра, Армин (ред.), «Новые направления в геометрической и прикладной теории узлов» , De Gruyter Open, стр. 159–175, doi : 10.1515/9783110571493-008
2. Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (2016), 3264 и все это: второй курс алгебраической геометрии, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, стр. 377, номер домена : 10.1017/CBO9781139062046, ISBN 978-1-107-60272-4, МР  3617981
3. Wall, CTC (1977), «Геометрические свойства дифференцируемых многообразий общего положения», в Палисе, Джейкоб; ду Карму, Манфредо (ред.), Геометрия и топология: труды Латиноамериканской школы математики (ELAM III), проводимые в Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Рио-де-Жанейро, июль 1976 г. , Конспекты лекций по математике, том. 597, стр. 707–774, doi :10.1007/BFb0085382, MR  0494233
4. Денн, Элизабет (2018), «Квадрисекансы и существенные секущие узлов», в Блатте, Саймоне; Райтер, Филипп; Шикорра, Армин (ред.), Новые направления в геометрической и прикладной теории узлов , Уравнения в частных производных и теория меры, Де Грюйтер, Берлин, стр. 138–158, doi : 10.1515/9783110571493-006 , MR  3915943, S2CID  128222971
5. Pannwitz, Эрика (1933), «Eine elementargeometrische Eigenschaft von Verschlingungen und Knoten», Mathematische Annalen , 108 (1): 629–672, doi : 10.1007/BF01452857, S2CID  123026724
6. Мортон, Хью Р.; Монд, Дэвид MQ (1982), «Замкнутые кривые без квадратиц», Топология , 21 (3): 235–243, doi : 10.1016/0040-9383(82)90007-6 , MR  0649756
7. Кэли, Артур (1863), Философские труды Лондонского королевского общества , том. 153, Королевское общество, стр. 453–483, JSTOR  108806.
8. Вонг, Британская Колумбия (1934), «Перечислительные свойства кривых в пространстве», Бюллетень Американского математического общества , 40 (4): 291–296, doi : 10.1090/S0002-9904-1934-05854-3 , MR  1562839 ${\displaystyle r}$
9. Куперберг, Грег (1994), «Квадрисеканты узлов и связей», Журнал теории узлов и ее разветвлений , 3 : 41–50, arXiv : math/9712205 , doi : 10.1142/S021821659400006X, MR  1265452, S2CID  6103528
10. Джин, Гё Тэк (2005), «Квадрисекансы узлов с малым числом пересечений», Физические и численные модели в теории узлов (PDF) , сер. Узлы Все, т. 36, Сингапур: World Scientific Publishing, стр. 507–523, номер документа : 10.1142/9789812703460_0025, MR  2197955.
11. Денн, Элизабет Джейн (2004), Чередование квадрисекансов узлов , доктор философии. диссертация, Университет Иллинойса в Урбана-Шампейн , arXiv : math/0510561 , бибкод : 2005math.....10561D
12. Денн, Элизабет; Дяо, Юанань; Салливан, Джон М. (2006), «Квадрисеканты дают новые нижние границы длины веревки узла», Geometry & Topology , 10 : 1–26, arXiv : math/0408026 , doi : 10.2140/gt.2006.10.1, MR  2207788, S2CID  5770206
13. Бай, Шэн; Ван, Чао; Ван, Цзяцзюнь (2018), «Контрпримеры к гипотезе о квадратичном приближении», Journal of Knot Theory and Her Ramifications , 27 (2), 1850022, arXiv : 1605.00538 , doi : 10.1142/S0218216518500220, MR  3770471, S2CID  119601013
14. Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (2011), Принципы алгебраической геометрии , Wiley Classics Library, vol. 52, Джон Уайли и сыновья, с. 296, ISBN 9781118030776
15. Уэлчман, WG (апрель 1932 г.), «Замечание о трисекансах и квадрисекансах пространственной кривой», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 28 (2): 206–208, doi : 10.1017/s0305004100010872, S2CID  120725025
16. Максвелл, Эдвин А. (июль 1935 г.), «Примечание к формуле для числа квадратиссансов кривой в трехмерном пространстве», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 31 (3): 324–326, doi : 10.1017/s0305004100013086, S2CID  122279811
17. Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, с. 164, ISBN 978-0-8284-1087-8
18. Шлефли, Людвиг (1858), Кэли, Артур (ред.), «Попытка определить двадцать семь линий на поверхности третьего порядка и вывести такие поверхности у видов, исходя из реальности линий». на поверхности», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , 2 : 55–65, 110–120.
19. Коксетер, HSM (2006), «Абсолютное свойство четырех взаимно касающихся окружностей», Неевклидова геометрия , Math. Прил. (Нью-Йорк), вып. 581, Нью-Йорк: Springer, стр. 109–114, номер документа : 10.1007/0-387-29555-0_5, MR  2191243.; Коксетер повторяет конструкцию Шлефли и приводит несколько ссылок на упрощенные доказательства ее правильности.