Сенсорная матрица

Группа датчиков, используемых для увеличения коэффициента усиления или размерности по сравнению с одним датчиком

Массив датчиков представляет собой группу датчиков, обычно размещенных в определенном геометрическом шаблоне, используемых для сбора и обработки электромагнитных или акустических сигналов. Преимущество использования массива датчиков по сравнению с использованием одного датчика заключается в том, что массив добавляет новые измерения к наблюдению, помогая оценить больше параметров и улучшить производительность оценки. Например, массив радиоантенных элементов, используемых для формирования луча, может увеличить усиление антенны в направлении сигнала, одновременно уменьшая усиление в других направлениях, т. е. увеличивая отношение сигнал/шум ( SNR ) путем когерентного усиления сигнала. Другим примером применения массива датчиков является оценка направления прибытия падающих электромагнитных волн. Соответствующий метод обработки называется обработкой сигнала массива . Третий пример включает массивы химических датчиков , которые используют несколько химических датчиков для обнаружения отпечатков пальцев в сложных смесях или средах зондирования. Примеры применения обработки сигнала массива включают радар / сонары , беспроводную связь, сейсмологию , мониторинг состояния машин, астрономические наблюдения, диагностику неисправностей и т. д.

Используя обработку сигналов массива, можно оценить и выявить временные и пространственные свойства (или параметры) падающих сигналов, искаженных шумом и скрытых в данных, собранных массивом датчиков. Это известно как оценка параметров .

Рисунок 1: Линейная решетка и угол падения

Плоская волна, формирование луча во временной области

Рисунок 1 иллюстрирует шестиэлементную равномерную линейную решетку (ULA). В этом примере предполагается, что решетка датчиков находится в дальней зоне источника сигнала, поэтому ее можно рассматривать как плоскую волну.

Оценка параметров использует тот факт, что расстояние от источника до каждой антенны в решетке различно, что означает, что входные данные на каждой антенне будут сдвинутыми по фазе копиями друг друга. Уравнение (1) показывает расчет дополнительного времени, необходимого для достижения каждой антенны в решетке относительно первой, где c — скорость волны .

${\displaystyle \Delta t_{i}={\frac {(i-1)d\cos \theta }{c}},i=1,2,...,M\ \ (1)}$

Каждый датчик связан с разной задержкой. Задержки малы, но не тривиальны. В частотной области они отображаются как сдвиг фаз между сигналами, полученными датчиками. Задержки тесно связаны с углом падения и геометрией массива датчиков. Учитывая геометрию массива, задержки или разности фаз можно использовать для оценки угла падения. Уравнение (1) является математической основой обработки сигналов массива. Простое суммирование сигналов, полученных датчиками, и вычисление среднего значения дает результат

${\displaystyle y={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{M}{\boldsymbol {x}}_{i}(t-\Delta t_{i})\ \ (2)}$.

Поскольку полученные сигналы не совпадают по фазе, это среднее значение не дает улучшенного сигнала по сравнению с исходным источником. Эвристически, если мы можем найти задержки каждого из полученных сигналов и удалить их перед суммированием, среднее значение

${\displaystyle y={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{M}{\boldsymbol {x}}_{i}(t)\ \ (3)}$

приведет к улучшенному сигналу. Процесс сдвига сигналов во времени с использованием хорошо подобранного набора задержек для каждого канала массива датчиков, чтобы сигнал добавлялся конструктивно, называется формированием луча . В дополнение к подходу задержки и суммы, описанному выше, существует ряд спектральных (непараметрических) подходов и параметрических подходов, которые улучшают различные показатели производительности. Эти алгоритмы формирования луча кратко описаны следующим образом.

Конструкция массива

Сенсорные решетки имеют различную геометрическую конструкцию, включая линейные, круговые, плоские, цилиндрические и сферические решетки. Существуют сенсорные решетки с произвольной конфигурацией решетки, которые требуют более сложных методов обработки сигнала для оценки параметров. В однородной линейной решетке (ULA) фаза входящего сигнала должна быть ограничена, чтобы избежать решетчатых волн. Это означает, что для угла прибытия в интервале расстояние между датчиками должно быть меньше половины длины волны . Однако ширина главного луча, т. е. разрешение или направленность решетки, определяется длиной решетки по сравнению с длиной волны. Чтобы иметь приличное направленное разрешение, длина решетки должна быть в несколько раз больше длины радиоволны. ${\displaystyle \omega \tau }$ ${\displaystyle \pm \pi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}$ ${\displaystyle d\leq \lambda /2}$

Типы сенсорных матриц

Антенная решетка

• Антенная решетка (электромагнитная) , геометрическое расположение элементов антенны с преднамеренным соотношением между их токами, образующее единую антенну, как правило, для достижения желаемой диаграммы направленности.
• Направленная решетка , антенная решетка, оптимизированная для направленности
• Фазированная решетка — антенная решетка, в которой сдвиги фаз (и амплитуды), применяемые к элементам, изменяются электронным способом, как правило, для управления диаграммой направленности антенной системы без использования движущихся частей.
• Интеллектуальная антенна , фазированная решетка, в которой процессор сигналов вычисляет фазовые сдвиги для оптимизации приема и/или передачи на приемник «на лету», как это делают вышки сотовой связи.
• Цифровая антенная решетка — это интеллектуальная антенна с многоканальным цифровым формированием луча , обычно с использованием БПФ .
• Интерферометрическая решетка радиотелескопов или оптических телескопов, используемая для достижения высокого разрешения посредством интерферометрической корреляции
• Антенная решетка Уотсона-Уотта/Эдкока , использующая метод Уотсона-Уотта, при котором две пары антенн Эдкока используются для сравнения амплитуд входящего сигнала.

Акустические массивы

• Микрофонная решетка используется для акустических измерений и формирования луча.
• Массив громкоговорителей используется для акустических измерений и формирования луча.

Другие массивы

• Массив геофонов, используемый в сейсморазведке методом отраженных волн
• Сонарная решетка — это решетка гидрофонов, используемая для подводной съемки.
• Датчики изображения для цифровых камер

Формирование луча с задержкой и суммированием

Если к записанному сигналу с каждого микрофона добавить задержку по времени, равную и противоположную задержке, вызванной дополнительным временем прохождения, это приведет к сигналам, которые будут идеально синфазны друг с другом. Суммирование этих синфазных сигналов приведет к конструктивной интерференции, которая усилит SNR на количество антенн в решетке. Это известно как формирование луча с задержкой и суммой. Для оценки направления прибытия (DOA) можно итеративно проверить задержки по времени для всех возможных направлений. Если предположение неверно, сигнал будет интерферирован деструктивно, что приведет к уменьшению выходного сигнала, но правильное предположение приведет к усилению сигнала, описанному выше.

Проблема в том, что до оценки угла падения, как можно узнать задержку времени, которая «равна» и противоположна задержке, вызванной дополнительным временем прохождения? Это невозможно. Решение состоит в том, чтобы попробовать ряд углов с достаточно высоким разрешением и вычислить полученный средний выходной сигнал массива с помощью уравнения (3). Пробный угол, который максимизирует средний выходной сигнал, является оценкой DOA, заданной формирователем луча с задержкой и суммой. Добавление противоположной задержки к входным сигналам эквивалентно физическому повороту массива датчиков. Поэтому это также известно как управление лучом . ${\displaystyle {\hat {\theta }}\in [0,\pi ]}$

Формирование луча на основе спектра

Формирование луча с задержкой и суммой — это подход во временной области. Он прост в реализации, но может плохо оценивать направление прибытия (DOA). Решением этой проблемы является подход в частотной области. Преобразование Фурье преобразует сигнал из временной области в частотную. Это преобразует временную задержку между соседними датчиками в фазовый сдвиг. Таким образом, выходной вектор массива в любой момент времени t можно обозначить как , где обозначает сигнал, полученный первым датчиком. Алгоритмы формирования луча в частотной области используют пространственную ковариационную матрицу, представленную как . Эта матрица M на M несет пространственную и спектральную информацию о входящих сигналах. Предполагая нулевое среднее значение гауссовского белого шума , базовая модель пространственной ковариационной матрицы задается как ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=x_{1}(t){\begin{bmatrix}1&e^{-j\omega \Delta t}&\cdots &e^{-j\omega (M-1)\Delta t}\end{bmatrix}}^{T}}$ ${\displaystyle x_{1}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}=E\{{\boldsymbol {x}}(t){\boldsymbol {x}}^{T}(t)\}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {V}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {V}}^{H}+\sigma ^{2}{\boldsymbol {I}}\ \ (4)}$

где — дисперсия белого шума, — единичная матрица, — вектор-многообразие массива с . Эта модель имеет центральное значение в алгоритмах формирования луча в частотной области. ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {v}}_{1}&\cdots &{\boldsymbol {v}}_{k}\end{bmatrix}}^{T}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{i}={\begin{bmatrix}1&e^{-j\omega \Delta t_{i}}&\cdots &e^{-j\omega (M-1)\Delta t_{i}}\end{bmatrix}}^{T}}$

Ниже перечислены некоторые подходы к формированию луча на основе спектра.

Обычный (Бартлетт) формирователь луча

Формирователь луча Бартлетта является естественным расширением обычного спектрального анализа ( спектрограммы ) для массива датчиков. Его спектральная мощность представлена ​​как

${\displaystyle {\hat {P}}_{Bartlett}(\theta )={\boldsymbol {v}}^{H}{\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {v}}\ \ (5)}$.

Угол, который максимизирует эту мощность, является оценкой угла прихода.

Формирователь луча MVDR (Capon)

Формирователь диаграммы направленности с минимальной дисперсией и безискаженным откликом, также известный как алгоритм формирования диаграммы направленности Кейпона ^[1] , имеет мощность, определяемую выражением

${\displaystyle {\hat {P}}_{Capon}(\theta )={\frac {1}{{\boldsymbol {v}}^{H}{\boldsymbol {R}}^{-1}{\boldsymbol {v}}}}\ \ (6)}$.

Хотя формирователь луча MVDR/Capon может достигать лучшего разрешения, чем традиционный подход (Bartlett), этот алгоритм имеет более высокую сложность из-за инверсии матрицы полного ранга. Технические достижения в вычислениях на GPU начали сокращать этот разрыв и делают возможным формирование луча Capon в реальном времени. ^[2]

МУЗЫКА формирователь луча

Алгоритм формирования луча MUSIC ( MUltiple SIgnal Classification ) начинается с разложения матрицы ковариации, как указано в уравнении (4) для сигнальной и шумовой частей. Собственное разложение представлено как

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {U}}_{s}{\boldsymbol {\Lambda }}_{s}{\boldsymbol {U}}_{s}^{H}+{\boldsymbol {U}}_{n}{\boldsymbol {\Lambda }}_{n}{\boldsymbol {U}}_{n}^{H}\ \ (7)}$.

MUSIC использует шумовое подпространство пространственной ковариационной матрицы в знаменателе алгоритма Кейпона

${\displaystyle {\hat {P}}_{MUSIC}(\theta )={\frac {1}{{\boldsymbol {v}}^{H}{\boldsymbol {U}}_{n}{\boldsymbol {U}}_{n}^{H}{\boldsymbol {v}}}}\ \ (8)}$.

Поэтому формирователь луча MUSIC также известен как формирователь подпространственного луча. По сравнению с формирователем луча Capon он дает гораздо лучшую оценку DOA.

Формирователь луча SAMV

Алгоритм формирования луча SAMV — это алгоритм реконструкции разреженного сигнала, который явно использует статистическую характеристику матрицы ковариации, не зависящую от времени. Он обеспечивает сверхразрешение и устойчивость к сильно коррелированным сигналам.

Параметрические формирователи луча

Одним из основных преимуществ формирователей луча на основе спектра является меньшая вычислительная сложность, но они могут не давать точной оценки DOA, если сигналы коррелированы или когерентны. Альтернативным подходом являются параметрические формирователи луча, также известные как формирователи луча максимального правдоподобия (ML) . Одним из примеров метода максимального правдоподобия, обычно используемого в инженерии, является метод наименьших квадратов . В подходе наименьших квадратов используется квадратичная штрафная функция. Чтобы получить минимальное значение (или наименьшую квадратичную ошибку) квадратичной штрафной функции (или целевой функции ), возьмите ее производную (которая линейна), приравняйте ее к нулю и решите систему линейных уравнений.

В формирователях ML-лучей квадратичная штрафная функция используется для пространственной ковариационной матрицы и модели сигнала. Одним из примеров штрафной функции формирователя ML-лучей является

${\displaystyle L_{ML}(\theta )=\|{\hat {\boldsymbol {R}}}-{\boldsymbol {R}}\|_{F}^{2}=\|{\hat {\boldsymbol {R}}}-({\boldsymbol {V}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {V}}^{H}+\sigma ^{2}{\boldsymbol {I}})\|_{F}^{2}\ \ (9)}$,

где — норма Фробениуса. Из уравнения (4) видно, что штрафная функция уравнения (9) минимизируется путем аппроксимации модели сигнала к выборочной ковариационной матрице как можно точнее. Другими словами, формирователь луча максимального правдоподобия должен найти DOA , независимую переменную матрицы , так что штрафная функция в уравнении (9) минимизируется. На практике штрафная функция может выглядеть по-разному в зависимости от модели сигнала и шума. По этой причине существует две основные категории формирователей луча максимального правдоподобия: детерминированные формирователи луча ML и стохастические формирователи луча ML, соответствующие детерминированной и стохастической модели соответственно. ${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}}$

Другая идея изменить прежнее уравнение штрафа заключается в рассмотрении упрощения минимизации путем дифференциации функции штрафа. Для упрощения алгоритма оптимизации в некоторых формирователях ML-лучей могут использоваться логарифмические операции и функция плотности вероятности (PDF) наблюдений.

Задача оптимизации решается путем нахождения корней производной штрафной функции после приравнивания ее к нулю. Поскольку уравнение нелинейное, обычно применяется численный подход к поиску, такой как метод Ньютона–Рафсона . Метод Ньютона–Рафсона является итеративным методом поиска корней с итерацией

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\ \ (10)}$.

Поиск начинается с начальной догадки . Если метод поиска Ньютона-Рафсона используется для минимизации штрафной функции формирования луча, то полученный формирователь луча называется формирователем луча Ньютона ML. Несколько известных формирователей луча ML описаны ниже без предоставления дополнительных подробностей из-за сложности выражений. ${\displaystyle x_{0}}$

Детерминированный формирователь луча максимального правдоподобия

В детерминированном формирователе луча максимального правдоподобия ( DML ) шум моделируется как стационарный гауссов белый случайный процесс, в то время как форма сигнала является детерминированной (но произвольной) и неизвестной.

Стохастический формирователь луча максимального правдоподобия

В стохастическом формирователе луча максимального правдоподобия ( SML ) шум моделируется как стационарные гауссовские белые случайные процессы (такие же, как в DML), тогда как форма сигнала — как гауссовские случайные процессы.

Метод оценки направления

Метод оценки направления ( MODE ) — это формирователь луча максимального правдоподобия подпространства, точно так же, как MUSIC — это формирователь луча на основе подпространственного спектра. Формирование луча ML подпространства получается путем собственного разложения матрицы ковариации выборки.

Ссылки

1. Capon, J. (1969). «Анализ спектра частот и волновых чисел высокого разрешения». Труды IEEE . 57 (8): 1408–1418. doi :10.1109/PROC.1969.7278.
2. Асен, Джон Петтер; Бускенес, Джо Инге; Нильсен, Карл-Инге Коломбо; Остенг, Андреас; Холм, Сверре (2014). «Реализация формирования луча капона на графическом процессоре для ультразвуковой визуализации сердца в реальном времени». Труды IEEE по ультразвуку, сегнетоэлектрикам и управлению частотой . 61 (1): 76–85. doi :10.1109/TUFFC.2014.6689777. PMID  24402897. S2CID  251750.

Дальнейшее чтение

• Van Trees, Harry L. (2002). Теория обнаружения, оценки и модуляции. 4: Оптимальная обработка массивов . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Wiley. doi :10.1002/0471221104. ISBN 9780471093909.
• Х. Крим и М. Виберг, «Два десятилетия исследований обработки сигналов массивов», IEEE Transactions on Signal Processing Magazine, июль 1996 г.
• С. Хайкин, редактор, «Обработка сигналов массива», Иглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, 1985
• SU Pillai, «Обработка сигналов массива», Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1989
• П. Стоика и Р. Мозес, «Введение в спектральный анализ», Prentice-Hall, Энглвуд Клиффс, США, 1997. доступно для скачивания.
• Дж. Ли и П. Стойка, «Надежное адаптивное формирование луча», John Wiley, 2006.
• J. Cadzow, «Расположение множественных источников — подход на основе подпространства сигналов», Труды IEEE по акустике, речи и обработке сигналов, том 38, № 7, июль 1990 г.
• G. Bienvenu и L. Kopp, «Оптимальность обработки массивов высокого разрешения с использованием подхода собственной системы», IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, Vol. ASSP-31, стр. 1234–1248, октябрь 1983 г.
• И. Зискинд и М. Вакс, «Локализация множественных источников с максимальной вероятностью путем чередования проекций», Труды IEEE по акустике, речи и обработке сигналов, том ASSP-36, стр. 1553–1560, октябрь 1988 г.
• Б. Оттерстен, М. Верберг, П. Стойка и А. Нехорай, «Точные и большие выборочные методы максимального правдоподобия для оценки параметров и обнаружения при обработке массивов», Radar Array Processing, Springer-Verlag, Берлин, стр. 99–151, 1993
• М. Виберг, Б. Оттерстен и Т. Кайлат, «Обнаружение и оценка в сенсорных решетках с использованием весовой подгонки подпространства», IEEE Transactions on Signal Processing, т. SP-39, стр. 2346–2449, ноябрь 1991 г.
• Федер, М.; Вайнштейн, Э. (апрель 1988 г.). «Оценка параметров наложенных сигналов с использованием алгоритма EM». Труды IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 36 (4): 477–489. doi :10.1109/29.1552.
• Y. Bresler и Macovski, «Точная оценка параметра максимального правдоподобия наложенных экспоненциальных сигналов в шуме», IEEE Transactions on Acoustic, Speech and Signal Proceeding, том ASSP-34, стр. 1081–1089, октябрь 1986 г.
• РО Шмидт, «Новые математические инструменты в пеленгации и спектральном анализе», Труды 27-го ежегодного симпозиума SPIE, Сан-Диего, Калифорния, август 1983 г.