Сепарабельная алгебра

В математике сепарабельная алгебра — это разновидность полупростой алгебры . Это обобщение на ассоциативные алгебры понятия сепарабельного расширения поля .

Определение и первые свойства

Кольцевой гомоморфизм (колец с единицей, но не обязательно коммутативных )

${\displaystyle K\to A}$

называется сепарабельным , если отображение умножения

${\displaystyle {\begin{array}{rccc}\mu :&A\otimes _{K}A&\to &A\\&a\otimes b&\mapsto &ab\end{array}}}$

допускает раздел

${\displaystyle \sigma :A\to A\otimes _{K}A}$

это гомоморфизм A - A - бимодулей .

Если кольцо коммутативно и отображается в центр , мы называем сепарабельной алгеброй над . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\to A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$

Полезно описать разделимость в терминах элемента

${\displaystyle p:=\sigma (1)=\sum a_{i}\otimes b_{i}\in A\otimes _{K}A}$

Причина в том, что сечение σ определяется этим элементом. Условие того, что σ является сечением µ , эквивалентно тому, что

${\displaystyle \sum a_{i}b_{i}=1}$

и условие того, что σ является гомоморфизмом A — A- бимодулей, эквивалентно следующему требованию для любого a из A :

${\displaystyle \sum aa_{i}\otimes b_{i}=\sum a_{i}\otimes b_{i}a.}$

Такой элемент p называется идемпотентом сепарабельности , поскольку рассматривается как элемент алгебры, которому он удовлетворяет . ${\displaystyle A\otimes A^{\rm {op}}}$ ${\displaystyle p^{2}=p}$

Примеры

Для любого коммутативного кольца R (некоммутативное) кольцо матриц размера n x n является сепарабельной R -алгеброй. Для любого идемпотент отделимости задается как , где обозначает элементарную матрицу , которая равна 0, за исключением записи в позиции ( i , j ) , которая равна 1. В частности, это показывает, что идемпотенты отделимости не обязательно должны быть уникальными. ${\displaystyle M_{n}(R)}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}e_{ij}\otimes e_{ji}}$ ${\displaystyle e_{ij}}$

Сепарабельные алгебры над полем

Расширение поля L / K конечной степени является сепарабельным расширением тогда и только тогда, когда L сепарабельна как ассоциативная K -алгебра. Если L / K имеет примитивный элемент с неприводимым многочленом , то идемпотент отделимости определяется выражением . Тензоранды являются двойственными базисами для отображения следов: если различные K -мономорфизмы L в алгебраическое замыкание K , отображение следов Tr L в K определяется выражением . Отображение следов и его двойственные базисы явно определяют L как алгебру Фробениуса над K. ${\displaystyle a}$ ${\textstyle p(x)=(x-a)\sum _{i=0}^{n-1}b_{i}x^{i}}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}\otimes _{K}{\frac {b_{i}}{p'(a)}}}$ ${\textstyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}}$ ${\textstyle Tr(x)=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(x)}$

В более общем смысле, сепарабельные алгебры над полем K можно классифицировать следующим образом: они аналогичны конечным произведениям матричных алгебр над конечномерными телами, центры которых являются конечномерными сепарабельными расширениями поля поля K. В частности: каждая сепарабельная алгебра сама по себе конечномерна. Если K — совершенное поле (например, поле нулевой характеристики, или конечное поле, или алгебраически замкнутое поле), то каждое расширение K является сепарабельным, так что сепарабельные K -алгебры являются конечными произведениями матричных алгебр над конечномерным делением. алгебры над полем K . Другими словами, если K — совершенное поле, нет разницы между сепарабельной алгеброй над K и конечномерной полупростой алгеброй над K . С помощью обобщенной теоремы Машке можно показать, что ассоциативная K -алгебра A является сепарабельной, если для любого расширения поля алгебра полупроста. ${\textstyle L/K}$ ${\textstyle A\otimes _{K}L}$

Групповые кольца

Если K — коммутативное кольцо и G — конечная группа такая, что порядок G обратим в K , то групповое кольцо K [ G ] является сепарабельной K -алгеброй. ^[1] Идемпотент отделимости определяется выражением . ${\textstyle {\frac {1}{o(G)}}\sum _{g\in G}g\otimes g^{-1}}$

Эквивалентные характеристики разделимости

Существует несколько эквивалентных определений сепарабельных алгебр. K -алгебра A сепарабельна тогда и только тогда, когда она проективна , если рассматривать ее обычным образом как левый модуль . ^[2] Более того, алгебра A сепарабельна тогда и только тогда, когда она плоская, если рассматривать ее как правый модуль обычным способом. ${\displaystyle A^{e}}$ ${\displaystyle A^{e}}$

Сепарабельные алгебры также можно охарактеризовать с помощью расщепляемых расширений: А сепарабельна над К тогда и только тогда, когда все короткие точные последовательности А — А - бимодулей, расщепляемые как А — К -бимодули, также расщепляются как А — А -бимодули. Действительно, это условие необходимо, поскольку отображение умножения , возникающее в приведенном выше определении, является эпиморфизмом A - A -бимодуля, который расщепляется как A - K -бимодульное отображение правым обратным отображением, заданным формулой . Обратное можно доказать, разумно используя идемпотент отделимости (аналогично доказательству теоремы Машке , применяя его компоненты внутри и без отображений расщепления). ^[3] ${\textstyle \mu :A\otimes _{K}A\rightarrow A}$ ${\textstyle A\rightarrow A\otimes _{K}A}$ ${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}$

Эквивалентно, относительные группы когомологий Хохшильда ( R , S ) в любом бимодуле коэффициентов M равны нулю для n > 0 . Примеров сепарабельных расширений много, включая первые сепарабельные алгебры, где R - сепарабельная алгебра и S = ​​1 раз больше основного поля. Любое кольцо R с элементами a и b , удовлетворяющими условию ab = 1 , но ba , отличному от 1, является сепарабельным расширением над подкольцом S, порожденным 1 и bRa . ${\displaystyle H^{n}(R,S;M)}$

Связь с алгебрами Фробениуса

Сепарабельная алгебра называется сильно отделимой, если существует симметричный идемпотент сепарабельности , то есть

${\displaystyle e=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\otimes x_{i}}$

Алгебра является сильно отделимой тогда и только тогда, когда ее следовая форма невырождена, что превращает алгебру в особый вид алгебры Фробениуса, называемый симметричной алгеброй (не путать с симметричной алгеброй , возникающей как фактор тензорной алгебры ).

Если K коммутативен, A — конечно порожденный проективный сепарабельный K -модуль, то A — симметричная алгебра Фробениуса. ^[4]

Отношение к формально неразветвленным и формально этальным расширениям

Любое сепарабельное расширение A / K коммутативных колец формально неразветвлено . Обратное верно, если A — конечно порожденная K -алгебра. ^[5] Сепарабельная плоская (коммутативная) K -алгебра A формально этальна . ^[6]

Дальнейшие результаты

В этой области существует теорема Дж. Куадры о том, что сепарабельное расширение Хопфа–Галуа R | S имеет конечно порожденный естественный S -модуль R . Фундаментальный факт о сепарабельном расширении R | S состоит в том, что это левое или правое полупростое расширение: короткая точная последовательность левых или правых R -модулей, расщепляемая как S -модули, распадается как R -модули. В терминах относительной гомологической алгебры Г. Хохшильда говорят, что все R -модули являются относительными ( R , S ) -проективными. Обычно относительные свойства подколец или расширений колец, такие как понятие сепарабельного расширения, служат для продвижения теорем, которые говорят, что надкольцо разделяет свойства подкольца. Например, сепарабельное расширение R полупростой алгебры S имеет R полупростое, что следует из предыдущего обсуждения.

Существует знаменитая теорема Янса о том, что конечная групповая алгебра A над полем характеристики p имеет конечный тип представления тогда и только тогда, когда ее силовская p -подгруппа циклическая: самое ясное доказательство — отметить этот факт для p -групп, а затем отметить что групповая алгебра является сепарабельным расширением своей силовской p -подгрупповой алгебры B, поскольку индекс взаимно прост с характеристикой. Из приведенного выше условия отделимости следует, что каждый конечно порожденный A -модуль M изоморфен прямому слагаемому в своем ограниченном индуцированном модуле. Но если B имеет конечный тип представления, ограниченный модуль является однозначно прямой суммой кратных конечного числа неразложимых модулей, что приводит к конечному числу составляющих неразложимых модулей, прямой суммой которых является M. Следовательно, A имеет конечный тип представления, если таковым является B. Обратное доказывается аналогичным рассуждением, отмечающим, что каждая подгрупповая алгебра B является прямым B -бимодулем групповой алгебры A .

Цитаты

1. Форд 2017, §4.2
2. Райнер 2003, с. 102
3. Форд 2017, Теорема 4.4.1.
4. Эндо и Ватанабэ 1967, Теорема 4.2. Если A коммутативен, доказательство проще, см. Kadison 1999, лемма 5.11.
5. Форд 2017, следствие 4.7.2, теорема 8.3.6.
6. Форд 2017, следствие 4.7.3.

Рекомендации

• ДеМейер, Ф.; Ингрэм, Э. (1971). Сепарабельные алгебры над коммутативными кольцами . Конспект лекций по математике. Том. 181. Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05371-2. Збл  0215.36602.
• Сэмюэл Эйленберг и Тадаси Накаяма, О размерности модулей и алгебр. II. Алгебры Фробениуса и квазифробениусовые кольца, Nagoya Math. Дж. Том 9 (1955), 1–16.
• Эндо, Шизуо; Ватанабэ, Ютака (1967), «О сепарабельных алгебрах над коммутативным кольцом», Осакский журнал математики , 4 : 233–242, MR  0227211
• Форд, Тимоти Дж. (2017), Сепарабельные алгебры , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-1-4704-3770-1, МР  3618889
• Хирата, Х.; Сугано, К. (1966), «О полупростых и сепарабельных расширениях некоммутативных колец», J. Math. Соц. Япония. , 18 : 360–373
• Кадисон, Ларс (1999), Новые примеры расширений Фробениуса , Серия университетских лекций, том. 14, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, номер документа : 10.1090/ulect/014, ISBN. 0-8218-1962-3, МР  1690111
• Райнер И. (2003), Максимальные порядки , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 28, Издательство Оксфордского университета , ISBN 0-19-852673-3, Збл  1024.16008
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. МР  1269324. OCLC  36131259.