Коллапс (топология)

В топологии , разделе математики, коллапс сводит симплициальный комплекс (или, в более общем смысле, комплекс CW ) к гомотопически эквивалентному подкомплексу. Коллапсы, как и сами комплексы CW, были изобретены Дж. Х. Уайтхедом . ^[1] Коллапсы находят применение в вычислительной гомологии . ^[2]

Определение

Пусть — абстрактный симплициальный комплекс . ${\displaystyle K}$

Предположим, что существуют два симплекса, такие, что выполняются следующие два условия: ${\displaystyle \tau ,\sigma }$ ${\displaystyle K}$

1. ${\displaystyle \tau \subseteq \sigma ,}$в частности ${\displaystyle \dim \tau <\dim \sigma ;}$
2. ${\displaystyle \sigma }$является максимальной гранью и никакая другая максимальная грань не содержит ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \tau ,}$

то называется свободным лицом . ${\displaystyle \tau }$

Симплициальный коллапс — это удаление всех симплексов, таких, что где есть свободная грань. Если дополнительно у нас есть то это называется элементарным коллапсом . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \tau \subseteq \gamma \subseteq \sigma ,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \dim \tau =\dim \sigma -1,}$

Симплициальный комплекс, имеющий последовательность сжатий, приводящих к точке, называется сжимаемым . Каждый сжимаемый комплекс является сжимаемым , но обратное неверно.

Это определение может быть распространено на CW-комплексы и является основой для концепции простой гомотопической эквивалентности . ^[3]

Примеры

• Комплексы, не имеющие свободной грани, не могут быть сворачиваемыми. Два таких интересных примера — дом с двумя комнатами Р. Х. Бинга и шляпа дурака Кристофера Зеемана ; они стягиваемы (гомотопически эквивалентны точке), но не сворачиваемы.
• Любое n -мерное PL-многообразие , которое является сжимаемым, на самом деле кусочно-линейно изоморфно n -шару. ^[1]

Смотрите также

• Дискретная теория Морзе
• Оболочка (топология)  – Математическая концепция

Ссылки

1. Whitehead, JHC (1938). «Симплициальные пространства, ядра и m -группы». Труды Лондонского математического общества . 45 : 243–327.
2. Качиньский, Томаш (2004). Вычислительная гомология . Мишайков, Константин Михаил, Мрозек, Мариан. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9780387215976. OCLC  55897585.
3. Коэн, Маршалл М. (1973) Курс по теории простых гомотопий , Springer-Verlag, Нью-Йорк