Сила между магнитами

Сила, вызванная магнитным полем

Магниты оказывают друг на друга силы и крутящие моменты посредством взаимодействия своих магнитных полей . Силы притяжения и отталкивания являются результатом этих взаимодействий. Магнитное поле каждого магнита обусловлено микроскопическими токами электрически заряженных электронов, вращающихся вокруг ядер, и собственным магнетизмом фундаментальных частиц (таких как электроны), из которых состоит материал. Оба они достаточно хорошо моделируются как крошечные петли тока, называемые магнитными диполями , которые создают собственное магнитное поле и на которые влияют внешние магнитные поля. Самая элементарная сила между магнитами — это магнитное диполь-дипольное взаимодействие . Если все магнитные диполи для каждого магнита известны, то результирующая сила на обоих магнитах может быть определена путем суммирования всех взаимодействий между диполями первого магнита и диполями второго магнита.

Часто бывает удобнее моделировать силу между двумя магнитами как силу между магнитными полюсами, имеющими распределенные по ним магнитные заряды . Положительный и отрицательный магнитный заряд всегда связаны нитью намагниченного материала; изолированного магнитного заряда не существует. Эта модель хорошо подходит для прогнозирования сил между простыми магнитами, где доступны хорошие модели распределения магнитного заряда.

Магнитные полюса против атомных токов

Модель магнитного полюса для H и модель петли Ампера для B дают одинаковое поле снаружи магнита. Внутри они очень разные.

Поле магнита представляет собой сумму полей всех намагниченных объемных элементов, которые состоят из малых магнитных диполей на атомном уровне. Прямое суммирование всех этих дипольных полей требует трехмерной интеграции для получения поля одного магнита, что может быть сложным.

Для однородной намагниченности задачу можно упростить двумя способами, используя теорему Стокса . При интегрировании вдоль направления намагничивания все диполи вдоль линии интегрирования компенсируют друг друга, за исключением торцевой поверхности магнита. Тогда поле возникает только из тех (математических) магнитных зарядов, которые распределены по торцевым граням магнита. Напротив, при интегрировании по намагниченной области, ортогональной направлению намагничивания, диполи внутри этой области компенсируют друг друга , за исключением внешней поверхности магнита, где они (математически) суммируются в кольцевой ток. Это называется моделью петли Ампера. В обеих моделях необходимо рассматривать только двумерные распределения по поверхности магнита, что проще исходной трехмерной задачи.

Модель магнитного полюса : В модели магнитного полюса предполагается, что поверхности полюсов постоянного магнита покрыты так называемым магнитным зарядом , частицами северного полюса на северном полюсе и частицами южного полюса на южном полюсе, которые являются источником линий магнитного поля. Поле, обусловленное магнитными зарядами, получается с помощью закона Кулона с магнитными вместо электрических зарядов. Если распределение магнитных полюсов известно, то модель магнитных полюсов дает точное распределение напряженности магнитного поля H как внутри, так и снаружи магнита. Распределение поверхностного заряда однородно, если магнит однородно намагничивается и имеет плоские торцевые грани (например, цилиндр или призма).

Модель петли Ампера : В модели петли Ампера вся намагниченность обусловлена ​​эффектом микроскопических или атомных круговых связанных токов , также называемых токами Ампера по всему материалу. Чистый эффект этих микроскопических связанных токов заключается в том, что магнит ведет себя так, как будто в магните течет макроскопический электрический ток в петлях с магнитным полем, нормальным к петлям. Поле, обусловленное такими токами, получается с помощью закона Био-Савара . Модель петли Ампера дает правильную плотность магнитного потока B как внутри, так и снаружи магнита. Иногда бывает трудно рассчитать токи Ампера на поверхности магнита.

Магнитный дипольный момент

Вдали от магнита его магнитное поле почти всегда описывается (в хорошем приближении) дипольным полем, характеризующимся его полным магнитным дипольным моментом , m . Это справедливо независимо от формы магнита, пока магнитный момент не равен нулю. Одной из характеристик дипольного поля является то, что напряженность поля убывает обратно пропорционально кубу расстояния от центра магнита.

Магнитный момент магнита, таким образом, является мерой его силы и ориентации. Контур электрического тока , стержневой магнит , электрон , молекула и планета — все они имеют магнитные моменты. Точнее, термин магнитный момент обычно относится к магнитному дипольному моменту системы , который производит первый член в мультипольном расширении ^{[примечание 1]} общего магнитного поля.

И крутящий момент, и сила, действующие на магнит внешним магнитным полем, пропорциональны магнитному моменту этого магнита. Магнитный момент является вектором : он имеет как величину, так и направление. Направление магнитного момента указывает от южного к северному полюсу магнита (внутри магнита). Например, направление магнитного момента стержневого магнита, такого как тот, что в компасе, — это направление, куда указывает северный полюс.

В физически корректной модели петли Ампера магнитные дипольные моменты обусловлены бесконечно малыми петлями тока. Для достаточно малой петли тока I и площади A магнитный дипольный момент равен: где направление m перпендикулярно площади в направлении, определяемом с помощью тока и правила правой руки . Таким образом, единицей СИ магнитного дипольного момента является ампер -  метр ² . Точнее, для учета соленоидов с большим количеством витков единицей магнитного дипольного момента является ампер-виток метр ² . $${\displaystyle \mathbf {m} =I\mathbf {A} ,}$$

В модели магнитного полюса магнитный дипольный момент обусловлен двумя равными и противоположными магнитными зарядами, которые разделены расстоянием d . В этой модели m аналогичен электрическому дипольному моменту p, обусловленному электрическими зарядами: где q _m — «магнитный заряд». Направление магнитного дипольного момента указывает от отрицательного южного полюса к положительному северному полюсу этого крошечного магнита. $${\displaystyle m=q_{\mathrm {m} }d,}$$

Магнитная сила, вызванная неоднородным магнитным полем

Вверху: , сила, действующая на северные магнитные полюса. Внизу: , сила, действующая на выровненные диполи, такие как частицы железа. ${\displaystyle \mathbf {B} }$
${\displaystyle \mathbf {\nabla } |\mathbf {B} |}$

Магниты притягиваются вдоль градиента магнитного поля. Простейшим примером этого является притяжение противоположных полюсов двух магнитов. Каждый магнит создает магнитное поле, которое сильнее вблизи его полюсов. Если противоположные полюса двух отдельных магнитов обращены друг к другу, каждый из магнитов притягивается в более сильное магнитное поле вблизи полюса другого. Однако если одноименные полюса обращены друг к другу, они отталкиваются от большего магнитного поля.

Модель магнитного полюса предсказывает правильную математическую форму для этой силы и ее легче понять качественно. Так как если магнит помещен в однородное магнитное поле, то оба полюса будут чувствовать одну и ту же магнитную силу, но в противоположных направлениях, поскольку они имеют противоположный магнитный заряд. Но когда магнит помещен в неоднородное поле, например, из-за другого магнита, полюс, испытывающий большое магнитное поле, будет испытывать большую силу, и на магнит будет действовать чистая сила. Если магнит выровнен с магнитным полем, что соответствует двум магнитам, ориентированным в одном направлении вблизи полюсов, то он будет втянут в большее магнитное поле. Если он выровнен противоположно, например, в случае двух магнитов с одинаковыми полюсами, обращенными друг к другу, то магнит будет отталкиваться от области более сильного магнитного поля.

В модели петли Ампера также существует сила на магнитном диполе из-за неоднородного магнитного поля, но это из-за сил Лоренца на токовой петле, которая составляет магнитный диполь. Сила, полученная в случае модели петли тока, равна где градиент ∇ является изменением величины m · B на единицу расстояния, а направление является направлением максимального увеличения m · B. Чтобы понять это уравнение, обратите внимание, что скалярное произведение m · B = mB cos( θ ) , где m и B представляют собой величину векторов m и B, а θ — угол между ними . Если m имеет то же направление, что и B , то скалярное произведение положительно, и градиент указывает «вверх», втягивая магнит в области более высокого B-поля (более строго, большего m  ·  B ). B представляет силу и направление магнитного поля. Это уравнение строго справедливо только для магнитов нулевого размера, но часто является хорошим приближением для не слишком больших магнитов. Магнитная сила, действующая на большие магниты, определяется путем их деления на меньшие области, имеющие собственные m , а затем суммирования сил, действующих на каждую из этих областей. $${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} \right),}$$

Модель магнитного полюса

Модель магнитного полюса предполагает, что магнитные силы между магнитами возникают из-за магнитных зарядов вблизи полюсов. Эта модель работает даже вблизи магнита, когда магнитное поле становится более сложным и более зависимым от детальной формы и намагниченности магнита, чем просто от вклада магнитного диполя. Формально поле можно выразить как мультипольное расширение : дипольное поле плюс квадрупольное поле , плюс октопольное поле и т. д. в модели петли Ампера, но это может быть очень громоздким математически.

Расчет магнитной силы

Расчет силы притяжения или отталкивания между двумя магнитами в общем случае является очень сложной операцией, поскольку она зависит от формы, намагниченности, ориентации и разделения магнитов. Модель магнитного полюса зависит от некоторых знаний о том, как «магнитный заряд» распределяется по магнитным полюсам. Она действительно полезна только для простых конфигураций, даже тогда. К счастью, это ограничение охватывает много полезных случаев.

Сила между двумя магнитными полюсами

Если оба полюса достаточно малы, чтобы быть представленными как отдельные точки, то их можно считать точечными магнитными зарядами. Классически , сила между двумя магнитными полюсами определяется как: ^[1]

$${\displaystyle F={{\mu q_{m1}q_{m2}} \over {4\pi r^{2}}}}$$где

• F — сила (единица СИ: ньютон )
• q _{m 1} и q _{m 2} — величины магнитного заряда на магнитных полюсах (единица СИ: ампер - метр ).
• μ — проницаемость промежуточной среды (единица СИ: тесла -метр на ампер , генри на метр или ньютон на ампер в квадрате)
• r — расстояние (единица СИ: метр).

Описание полюсов полезно для практикующих магнетиков, которые проектируют реальные магниты, но реальные магниты имеют более сложное распределение полюсов, чем просто север и юг. Поэтому реализация идеи полюсов непроста. В некоторых случаях одна из более сложных формул, приведенных ниже, будет более полезной.

Сила между двумя соседними намагниченными поверхностями площадьюА

Механическую силу между двумя соседними намагниченными поверхностями можно рассчитать с помощью следующего уравнения. Уравнение справедливо только для случаев, когда эффект окантовки незначителен и объем воздушного зазора намного меньше объема намагниченного материала, сила для каждой намагниченной поверхности равна: ^{[2] [3] [4]} где: $${\displaystyle F={\frac {\mu _{0}H^{2}A}{2}}={\frac {B^{2}A}{2\mu _{0}}}}$$

• A — площадь каждой поверхности, в м ²
• H — их намагничивающее поле , в А/м.
• μ ₀ — проницаемость пространства , равная 4π×10 ⁻⁷  Тл·м/А.
• B — плотность потока , в Тл

Вывод этого уравнения аналогичен силе между двумя соседними электрически заряженными поверхностями ^[5], которая предполагает, что поле между пластинами однородно.

Сила между двумя стержневыми магнитами

Поле двух притягивающихся цилиндрических стержневых магнитов

Поле двух отталкивающихся цилиндрических стержневых магнитов

Сила между двумя одинаковыми цилиндрическими стержневыми магнитами, расположенными вплотную друг к другу на большом расстоянии, приблизительно равна: ^[2] где ${\displaystyle x\gg R}$ $${\displaystyle F\simeq \left[{\frac {B_{0}^{2}A^{2}\left(L^{2}+R^{2}\right)}{\pi \mu _{0}L^{2}}}\right]\left[{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{(x+2L)^{2}}}-{\frac {2}{(x+L)^{2}}}\right]}$$

• B ₀ — плотность потока вблизи каждого полюса, в Тл,
• A — площадь каждого полюса, в м ² ,
• L — длина каждого магнита, в м,
• R — радиус каждого магнита в м, а
• x — расстояние между двумя магнитами, в м

$${\displaystyle B_{0}={\frac {\mu _{0}}{2}}M}$$связывает плотность потока на полюсе с намагниченностью магнита.

Обратите внимание, что эти формулировки предполагают точечное распределение магнитного заряда вместо равномерного распределения по торцевым граням, что является хорошим приближением только на относительно больших расстояниях. Для промежуточных расстояний необходимо использовать численные методы .

Сила между двумя цилиндрическими магнитами

Точная сила между двумя коаксиальными цилиндрическими стержневыми магнитами для нескольких соотношений сторон.

Для двух цилиндрических магнитов с равными радиусами , и длинами и , и при большом боковом зазоре между ними, в пределе , сила может быть приближенно выражена как ^[6] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle x\gg R}$

${\displaystyle F(x,r)\simeq {\frac {\pi K_{d}}{2}}R^{4}\sum _{i,j=0}^{1}{\left({\frac {(-1)^{i+j}}{(x+iL_{1}+jL_{2})^{2}}}\left(1-{\frac {3}{2}}{\frac {r^{2}}{(x+iL_{1}+jL_{2})^{2}}}\right)\right)}}$

где

• ${\displaystyle R}$радиус каждого из двух магнитов, при условии равенства радиусов
• ${\displaystyle L_{1}}$длина первого магнита
• ${\displaystyle L_{2}}$длина второго магнита
• ${\displaystyle K_{d}}$максимальное энергетическое произведение в единицах Дж/м ³ (Джоули на кубический метр)
• ${\displaystyle x}$это нормальное расстояние между двумя параллельными гранями магнитов
• ${\displaystyle r}$— расстояние между осями магнитного диполя двух магнитов.

При выравнивании их магнитных диполей силу можно вычислить аналитически с использованием эллиптических интегралов . ^[7]

$${\displaystyle F(x)\simeq {\frac {\pi K_{d}}{2}}R^{4}\left[{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{(x+2L)^{2}}}-{\frac {2}{(x+L)^{2}}}\right]}$$

Это можно переписать так:

$${\displaystyle F(x)\simeq {\frac {\pi \mu _{0}}{4}}M^{2}R^{4}\left[{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{(x+2L)^{2}}}-{\frac {2}{(x+L)^{2}}}\right]}$$

Где - намагниченность магнитов, а - расстояние между ними. При малых значениях результаты ошибочны, так как сила становится большой для расстояния, близкого к нулю. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Если магнит длинный ( ), измерение плотности магнитного потока очень близко к магниту примерно связано с формулой ${\displaystyle L\gg R}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle B_{0}={\frac {\mu _{0}}{2}}M.}$$

Эффективный магнитный дипольный момент можно записать как где - объем магнита. Для цилиндра это , а - поле намагничивания диполя. $${\displaystyle m=MV}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=\pi R^{2}L}$ ${\displaystyle M}$

Когда получено приближение точечного диполя, ${\displaystyle L\ll x}$ $${\displaystyle F(x)={\frac {3\pi \mu _{0}}{2}}M^{2}R^{4}L^{2}{\frac {1}{x^{4}}}={\frac {3\mu _{0}}{2\pi }}M^{2}V^{2}{\frac {1}{x^{4}}}={\frac {3\mu _{0}}{2\pi }}m_{1}m_{2}{\frac {1}{x^{4}}}}$$

Что соответствует выражению силы между двумя магнитными диполями.

Модель петли Ампера

Французский ученый Андре Мари Ампер обнаружил, что магнетизм, создаваемый постоянными магнитами, и магнетизм, создаваемый электромагнитами, являются одним и тем же видом магнетизма. Благодаря этому сила постоянного магнита может быть выражена в тех же терминах, что и сила электромагнита.

Сила магнетизма электромагнита, представляющего собой плоский контур провода, по которому течет ток, измеренная на расстоянии, большом по сравнению с размером контура, пропорциональна этому току и пропорциональна площади поверхности этого контура.

Для выражения силы постоянного магнита в тех же терминах, что и у электромагнита, постоянный магнит рассматривается как содержащий небольшие токовые петли по всему своему объему, и тогда оказывается, что магнитная сила этого магнита пропорциональна току каждой петли (в амперах), пропорциональна поверхности каждой петли (в квадратных метрах) и пропорциональна плотности токовых петель в материале (в единицах на кубический метр), поэтому размерность силы магнетизма постоянного магнита равна амперам, умноженным на квадратные метры на кубический метр, то есть амперам на метр.

Вот почему ампер на метр является правильной единицей измерения магнетизма, даже несмотря на то, что эти небольшие токовые петли на самом деле не присутствуют в постоянном магните.

Обоснованность модели Ампера означает, что допустимо рассматривать магнитный материал так, как будто он состоит из токовых петель, а общий эффект представляет собой сумму эффектов каждой токовой петли, и поэтому магнитный эффект реального магнита можно вычислить как сумму магнитных эффектов крошечных кусочков магнитного материала, находящихся на расстоянии, большом по сравнению с размером каждого кусочка.

Это очень полезно для вычисления магнитного силового поля реального магнита; это включает в себя суммирование большого количества малых сил, и вам не следует делать это вручную, а позвольте вашему компьютеру сделать это за вас; все, что нужно знать компьютерной программе, — это сила между небольшими магнитами, которые находятся на большом расстоянии друг от друга.

В таких вычислениях часто предполагается, что каждый (одинаковый по размеру) небольшой кусочек магнитного материала имеет одинаково сильный магнетизм, но это не всегда верно: магнит, который находится рядом с другим магнитом, может изменить намагниченность этого другого магнита. Для постоянных магнитов это обычно лишь небольшое изменение, но если у вас есть электромагнит, состоящий из провода, намотанного вокруг железного сердечника, и вы подносите постоянный магнит близко к этому сердечнику, то намагниченность этого сердечника может кардинально измениться (например, если в проводе нет тока, электромагнит не будет магнитным, но когда постоянный магнит подносится близко, сердечник электромагнита становится магнитным).

Таким образом, модель Ампера подходит для расчета магнитного силового поля постоянного магнита, но для электромагнитов может быть лучше использовать подход магнитной цепи.

Магнитное диполь-дипольное взаимодействие

Если два или более магнитов достаточно малы или достаточно удалены, так что их форма и размер не важны, то оба магнита можно смоделировать как магнитные диполи, имеющие магнитные моменты m ₁ и m ₂ . В случае однородно намагниченных сферических магнитов эта модель точна даже при конечных размерах и расстоянии, поскольку внешнее поле таких магнитов является в точности дипольным полем. ^[8]

Магнитное поле идеального диполя.

Магнитное поле магнитного диполя в векторной записи имеет вид: где $${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {m} ,\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left(3(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} \right)+{\frac {2\mu _{0}}{3}}\mathbf {m} \delta ^{3}(\mathbf {r} )}$$

• B — это поле
• r — вектор от положения диполя до положения, в котором измеряется поле
• r — это абсолютное значение r : расстояние от диполя
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r}$— единичный вектор, параллельный r ;
• m — (векторный) дипольный момент
• μ ₀ — проницаемость свободного пространства
• δ ³ — трехмерная дельта-функция . ^{[примечание 2]}

Это в точности поле точечного диполя, в точности дипольный член в мультипольном разложении произвольного поля и приблизительно поле любой дипольной конфигурации на больших расстояниях.

Системы отсчета для расчета сил между двумя диполями

Сила между коаксиальными цилиндрическими магнитами. Согласно дипольному приближению, сила падает пропорционально для больших расстояний z , что приводит к наклонам −4 на графике в двойном логарифмическом масштабе . ${\displaystyle 1/z^{4}}$

Если сместить систему координат так, чтобы она была центрирована на m ₁ и повернуть так, чтобы ось x указывала в направлении m _1, то предыдущее уравнение упрощается до ^[9] , где переменные r и θ измеряются в системе отсчета с началом в m ₁ и ориентированы так, что m ₁ находится в начале, указывающем в направлении x. Эта система называется локальными координатами и показана на рисунке справа. $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{x}(\mathbf {r} )&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}m_{1}\left({\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{r^{3}}}\right)\\B_{y}(\mathbf {r} )&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}m_{1}\left({\frac {3\cos \theta \sin \theta }{r^{3}}}\right),\end{aligned}}}$$

Сила одного магнитного диполя на другой определяется с помощью магнитного поля первого диполя, приведенного выше, и определения силы, вызванной магнитным полем на втором диполе, с помощью уравнения силы, приведенного выше. Используя векторную запись, сила магнитного диполя m 1 _на магнитный диполь m ₂ равна: где r — вектор расстояния от дипольного момента m ₁ до дипольного момента m ₂ , причем r = ‖ r ‖ . Сила, действующая на m ₁ , направлена ​​в противоположном направлении. Например, магнитная сила для двух магнитов, направленных в направлении z и выровненных по оси z и разделенных расстоянием z, равна: $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\frac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\frac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right]}$$

${\displaystyle \mathbf {F} (z,m_{1},m_{2})=-{\frac {3\mu _{0}m_{1}m_{2}}{2\pi z^{4}}}}$, z-направление.

Далее показаны окончательные формулы, выраженные в глобальной системе координат, $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}(\mathbf {r} ,\alpha ,\beta )&=-{\frac {3\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {m_{2}m_{1}}{r^{4}}}\left[2\cos(\phi -\alpha )\cos(\phi -\beta )-\sin(\phi -\alpha )\sin(\phi -\beta )\right]\\F_{\phi }(\mathbf {r} ,\alpha ,\beta )&=-{\frac {3\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {m_{2}m_{1}}{r^{4}}}\sin(2\phi -\alpha -\beta )\end{aligned}}}$$

Примечания

1. Магнитную дипольную часть магнитного поля можно понимать как обусловленную одной парой северного/южного полюсов. Члены более высокого порядка, такие как квадруполь, можно рассматривать как обусловленные 2 или более северными/южными полюсами, упорядоченными таким образом, что они не имеют вклада низшего порядка. Например, конфигурация квадруполя не имеет чистого дипольного момента.
2. δ ³ ( r ) = 0, за исключением r = (0, 0, 0) , поэтому этот член игнорируется в мультипольном разложении.

Ссылки

1. "Basic Relationships". Geophysics.ou.edu. Архивировано из оригинала 2010-07-09 . Получено 2009-10-19 .
2. "Магнитные поля и силы". Архивировано из оригинала 20 февраля 2012 г. Получено 24 декабря 2009 г.
3. "Сила, создаваемая магнитным полем". Архивировано из оригинала 2010-03-17 . Получено 2013-11-07 .
4. "Учебник: Теория и применение тензонапряжения Максвелла" (PDF) . Получено 28.11.2018 .
5. "Сила, действующая на пластины конденсатора — Сборник решенных задач". physicstasks.eu . Получено 20.01.2020 .
6. Vokoun, David; Beleggia, Marco; Heller, Ludek; Sittner, Petr (2009). «Магнитостатические взаимодействия и силы между цилиндрическими постоянными магнитами». Журнал магнетизма и магнитных материалов . 321 (22): 3758–3763. Bibcode : 2009JMMM..321.3758V. doi : 10.1016/j.jmmm.2009.07.030 .
7. Раво, Р.; Лемаркан, Г.; Бабич, С.; Лемаркан, В.; Акьел, К. (2010). «Цилиндрические магниты и катушки: поля, силы и индуктивности». Труды IEEE по магнетизму . 46 (9): 3585–3590. Bibcode : 2010ITM....46.3585R. doi : 10.1109/TMAG.2010.2049026. S2CID  25586523.
8. Ленер, Гюнтер (2008). Теория электромагнитного поля для инженеров и физиков . стр. 309. doi :10.1007/978-3-540-76306-2. ISBN 978-3-540-76305-5. S2CID  117970017.
9. Schill, RA (2003). "Общее соотношение для векторного магнитного поля кругового контура тока: более пристальный взгляд". IEEE Transactions on Magnetics . 39 (2): 961–967. Bibcode : 2003ITM....39..961S. doi : 10.1109/TMAG.2003.808597.

Смотрите также

• Магнитный двигатель