Обобщенные силы

Концепция в механике Лагранжа

В аналитической механике (особенно в механике Лагранжа ) обобщенные силы сопряжены с обобщенными координатами . Они получаются из приложенных сил F _i , i = 1, …, n , действующих на систему , конфигурация которой определена в терминах обобщенных координат. В формулировке виртуальной работы каждая обобщенная сила является коэффициентом вариации обобщенной координаты.

Виртуальная работа

Обобщенные силы могут быть получены путем вычисления виртуальной работы δW приложенных сил. ^{[1] : 265}

Виртуальная работа сил F _i , действующих на частицы P _i , i = 1, ..., n , определяется выражением

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}}$

где δ r _i — виртуальное смещение частицы P _i .

Обобщенные координаты

Пусть векторы положения каждой из частиц, r _i , являются функцией обобщенных координат, q _j , j = 1, ..., m . Тогда виртуальные смещения δ r _i задаются как

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n,}$

где δq _j — виртуальное смещение обобщенной координаты q _j .

Виртуальная работа для системы частиц становится

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{1}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{n}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.}$

Соберите коэффициенты δq _j так, чтобы

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{1}}}\delta q_{1}+\ldots +\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{m}}}\delta q_{m}.}$

Обобщенные силы

Виртуальную работу системы частиц можно записать в виде

${\displaystyle \delta W=Q_{1}\delta q_{1}+\ldots +Q_{m}\delta q_{m},}$

где

${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m,}$

называются обобщенными силами, связанными с обобщенными координатами q _j , j = 1, ..., m .

Формулировка скорости

При применении принципа виртуальной работы часто бывает удобно получать виртуальные перемещения из скоростей системы. Для системы из n частиц пусть скорость каждой частицы P _i будет V _i , тогда виртуальное перемещение δ r _i можно также записать в виде ^[2]

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n.}$

Это означает, что обобщенная сила Q _j также может быть определена как

${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$

Принцип Даламбера

Д'Аламбер сформулировал динамику частицы как равновесие приложенных сил с силой инерции ( кажущейся силой ), называемой принципом Д'Аламбера . Сила инерции частицы P _i , массы m _i равна

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{*}=-m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad i=1,\ldots ,n,}$

где A _i — ускорение частицы.

Если конфигурация системы частиц зависит от обобщенных координат q _j , j = 1, ..., m , то обобщенная сила инерции определяется выражением

${\displaystyle Q_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{*}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$

Форма принципа виртуальной работы Даламбера дает

${\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\ldots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}.}$

Ссылки

1. Торби, Брюс (1984). «Энергетические методы». Advanced Dynamics for Engineers . Серия HRW по машиностроению. Соединенные Штаты Америки: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.
2. TR Kane и DA Levinson, Динамика, теория и приложения, McGraw-Hill, Нью-Йорк, 2005.

Смотрите также

• Лагранжева механика
• Обобщенные координаты
• Степени свободы (физика и химия)
• Виртуальная работа