Недоступный кардинал

Тип бесконечного числа в теории множеств

В теории множеств несчетный кардинал недостижим , если он не может быть получен из меньших кардиналов с помощью обычных операций кардинальной арифметики . Точнее, кардинал κ строго недостижим , если он удовлетворяет следующим трем условиям: он несчетен, он не является суммой менее κ кардиналов, меньших κ , и подразумевает . ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle 2^{\alpha }<\kappa }$

Термин «недоступный кардинал» неоднозначен. Примерно до 1950 года он означал «слабо недоступный кардинал», но с тех пор он обычно означает «сильно недоступный кардинал». Несчетный кардинал слабо недостижим , если он является регулярным слабым предельным кардиналом . Он сильно недостижим или просто недостижим, если он является регулярным сильным предельным кардиналом (это эквивалентно определению, данному выше). Некоторые авторы не требуют, чтобы слабо и сильно недоступные кардиналы были несчетными (в этом случае ⁠ ⁠ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ является сильно недоступным). Слабо недоступные кардиналы были введены Хаусдорфом (1908), а сильно недоступные — Серпинским и Тарским (1930) и Цермело (1930); в последнем они упоминались вместе с Grenzzahlen ( английские « предельные числа»). ^[1] ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Каждый сильно недостижимый кардинал также слабо недостижим, как каждый сильный предельный кардинал также является слабым предельным кардиналом. Если обобщенная континуум-гипотеза верна, то кардинал сильно недостижим тогда и только тогда, когда он слабо недостижим.

⁠ ⁠ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ( aleph-null ) — это регулярный сильный предельный кардинал. Принимая аксиому выбора , любое другое бесконечное кардинальное число является регулярным или (слабым) пределом. Однако только довольно большое кардинальное число может быть и тем, и другим и, таким образом, быть слабо недостижимым.

Ординал является слабо недостижимым кардиналом тогда и только тогда, когда он является регулярным ординалом и пределом регулярных ординалов. (Ноль, единица и ω являются регулярными ординалами, но не пределами регулярных ординалов.) Кардинал, который является слабо недостижимым, а также сильным предельным кардиналом, является сильно недостижимым.

Предположение о существовании строго недостижимого кардинала иногда применяется в форме предположения о возможности работы внутри вселенной Гротендика , причем эти две идеи тесно связаны.

Модели и последовательность

Предположим, что — кардинальное число. Теория множеств Цермело–Френкеля с выбором (ZFC) подразумевает, что th-й уровень вселенной фон Неймана является моделью ZFC всякий раз, когда является сильно недоступным. Кроме того, ZF подразумевает, что вселенная Гёделя является моделью ZFC всякий раз, когда является слабо недоступным. Таким образом, ZF вместе с «существует слабо недоступный кардинал» подразумевает, что ZFC является непротиворечивым. Следовательно, недоступные кардиналы являются типом большого кардинала . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$

Если — стандартная модель ZFC и — недоступна в , то ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V}$

1. ${\displaystyle V_{\kappa }}$является одной из предполагаемых моделей теории множеств Цермело–Френкеля ;
2. ${\displaystyle Def(V_{\kappa })}$является одной из предполагаемых моделей версии Мендельсона теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя , которая исключает глобальный выбор, заменяя ограничение размера заменой и обычным выбором;
3. и является одной из предполагаемых моделей теории множеств Морса–Келли . ${\displaystyle V_{\kappa +1}}$

Здесь, — это множество Δ ₀ -определяемых подмножеств X (см. конструируемая вселенная ). Стоит отметить, что первое утверждение можно ослабить: не обязательно должно быть недоступным или даже кардинальным числом, чтобы быть стандартной моделью ZF (см. ниже). ${\displaystyle Def(X)}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V}$ _{${\displaystyle \kappa }$}

Предположим, что является моделью ZFC. Либо не содержит сильных недостижимых, либо, принимая за наименьшее сильное недостижимое в , является стандартной моделью ZFC, которая не содержит сильных недостижимых. Таким образом, согласованность ZFC подразумевает согласованность ZFC+"нет сильных недостижимых". Аналогично, либо V не содержит слабых недостижимых, либо, принимая за наименьшее порядковое число, которое слабо недостижимо относительно любой стандартной подмодели , тогда является стандартной моделью ZFC, которая не содержит слабых недостижимых. Таким образом, согласованность ZFC подразумевает согласованность ZFC+"нет слабых недостижимых". Это показывает, что ZFC не может доказать существование недостижимого кардинала, поэтому ZFC согласуется с несуществованием любых недостижимых кардиналов. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$

Вопрос о том, согласуется ли ZFC с существованием недоступного кардинала, более тонкий. Набросанное в предыдущем абзаце доказательство того, что непротиворечивость ZFC влечет непротиворечивость ZFC + «нет недоступного кардинала», может быть формализовано в ZFC. Однако, предполагая, что ZFC непротиворечива, никакое доказательство того, что непротиворечивость ZFC влечет непротиворечивость ZFC + «есть недоступный кардинал», не может быть формализовано в ZFC. Это следует из второй теоремы Гёделя о неполноте , которая показывает, что если ZFC + «есть недоступный кардинал» непротиворечиво, то оно не может доказать свою собственную непротиворечивость. Поскольку ZFC + «есть недоступный кардинал» действительно доказывает непротиворечивость ZFC, если ZFC доказала, что ее собственная непротиворечивость влечет непротиворечивость ZFC + «есть недоступный кардинал», то эта последняя теория смогла бы доказать свою собственную непротиворечивость, что невозможно, если она непротиворечива.

Существуют аргументы в пользу существования недоступных кардиналов, которые не могут быть формализованы в ZFC. Один из таких аргументов, представленный Hrbáček & Jech (1999, стр. 279), заключается в том, что класс всех ординалов конкретной модели M теории множеств сам по себе был бы недоступным кардиналом, если бы существовала более крупная модель теории множеств, расширяющая M и сохраняющая powerset элементов M .

Существование соответствующего класса недоступных

В теории множеств существует множество важных аксиом, которые утверждают существование надлежащего класса кардиналов, удовлетворяющих интересующему предикату. В случае недоступности соответствующей аксиомой является утверждение, что для каждого кардинала μ существует недостижимый кардинал κ , который строго больше, μ < κ . Таким образом, эта аксиома гарантирует существование бесконечной башни недостижимых кардиналов (и иногда может называться аксиомой недостижимого кардинала). Как и в случае существования любого недостижимого кардинала, аксиома недостижимого кардинала недоказуема из аксиом ZFC. Предполагая ZFC, аксиома недостижимого кардинала эквивалентна аксиоме вселенной Гротендика и Вердье : каждое множество содержится во вселенной Гротендика . Аксиомы ZFC вместе с аксиомой вселенной (или эквивалентно недоступной кардинальной аксиомой) обозначаются как ZFCU (не путать с ZFC с urelements ). Эта аксиоматическая система полезна для доказательства, например, того, что каждая категория имеет соответствующее вложение Йонеды .

Это относительно слабая большая кардинальная аксиома, поскольку она равносильна утверждению, что ∞ является 1-недоступным в языке следующего раздела, где ∞ обозначает наименьший ординал, не входящий в V, т.е. класс всех ординалов в вашей модели.

α-недоступные кардиналы и гипернедоступные кардиналы

Термин « α -недостижимый кардинал» неоднозначен, и разные авторы используют неэквивалентные определения. Одно из определений заключается в том, что кардинал κ называется α -недостижимым для любого ординала α , если κ недостижимо и для любого ординала β < α , множество β -недостижимых элементов, меньших κ, неограничено по κ (и, таким образом, мощности κ , поскольку κ является регулярным). В этом случае 0-недостижимые кардиналы совпадают с сильно недостижимыми кардиналами. Другое возможное определение заключается в том, что кардинал κ называется α -слабо недостижимым, если κ является регулярным и для любого ординала β < α , множество β -слабо недостижимых элементов, меньших κ, неограничено по κ. В этом случае 0-слабо недоступные кардиналы являются обычными кардиналами, а 1-слабо недоступные кардиналы являются слабо недоступными кардиналами.

α -недостижимые кардиналы также можно описать как неподвижные точки функций, которые подсчитывают нижние недостижимости. Например, обозначим через ψ ₀ ( λ ) λ- ^й недостижимый кардинал, тогда неподвижные точки ψ ₀ будут 1-недостижимыми кардиналами. Затем, если ψ _β ( λ ) будет λ ^-м β -недостижимым кардиналом, неподвижные точки ψ _β будут ( β +1)-недостижимыми кардиналами (значениями ψ _{β +1} ( λ )). Если α — предельный ординал, α -недостижимый — это неподвижная точка каждого ψ _β для β < α (значение ψ _α ( λ ) — λ ^-й такой кардинал). Этот процесс взятия неподвижных точек функций, генерирующих последовательно большие кардиналы, обычно встречается при изучении больших кардинальных чисел .

Термин «гипернедоступный» неоднозначен и имеет по крайней мере три несовместимых значения. Многие авторы используют его для обозначения регулярного предела строго недоступных кардиналов (1-недоступный). Другие авторы используют его для обозначения того, что κ является κ -недоступным. (Оно никогда не может быть κ +1 -недоступным.) Иногда его используют для обозначения кардинала Мало .

Термин α -гипернедоступный также неоднозначен. Некоторые авторы используют его для обозначения α -недоступного. Другие авторы используют определение, что для любого ординала α кардинал κ является α -гипернедоступным тогда и только тогда, когда κ является гипернедоступным, и для любого ординала β < α множество β -гипернедоступных, меньших κ, неограничено в κ .

Гипер-гипер-недоступные кардиналы и т. д. можно определить аналогичным образом, и, как обычно, этот термин неоднозначен.

Используя «слабо недоступный» вместо «недоступный», можно дать аналогичные определения для «слабо α -недоступный», «слабо гипер-недоступный» и «слабо α -гипер-недоступный».

Кардиналы Мало бывают недоступными, гипер-недоступными, гипер-гипер-недоступными, ... и так далее.

Две модельно-теоретические характеристики недоступности

Во-первых, кардинал κ недостижим тогда и только тогда, когда κ обладает следующим свойством отражения : для всех подмножеств существует такое, что является элементарной подструктурой . (На самом деле, множество таких α замкнуто и неограниченно в κ .) Следовательно, является - неописуемым для всех n ≥ 0. С другой стороны, не обязательно существует ординал такой, что , и если это так, то должен быть -м недостижимым кардиналом. ^[2] ${\displaystyle U\subset V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle (V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })}$ ${\displaystyle (V_{\kappa },\in ,U)}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$ ${\displaystyle \alpha >\kappa }$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Это доказуемо в ZF, который имеет несколько более слабое свойство отражения, где подструктура должна быть «элементарной» только по отношению к конечному набору формул. В конечном счете, причина этого ослабления заключается в том, что в то время как модельно-теоретическое отношение удовлетворения ⊧ может быть определено, сама семантическая истина (т.е. ) не может быть определена из-за теоремы Тарского . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })}$ ${\displaystyle \vDash _{V}}$

Во-вторых, в рамках ZFC можно показать теорему категоричности Цермело , которая утверждает, что является недостижимой тогда и только тогда, когда является моделью ZFC второго порядка . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (V_{\kappa },\in )}$

В этом случае, по свойству отражения выше, существует такое, что является стандартной моделью ( первого порядка ) ZFC. Следовательно, существование недостижимого кардинала является более сильной гипотезой, чем существование транзитивной модели ZFC. ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle (V_{\alpha },\in )}$

Недоступность является свойством над , ^[3] в то время как кардинальное свойство , являющееся недоступным (в некоторой заданной модели, содержащей ), является . ^[4] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathrm {ZF} }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Pi _{1}}$

Смотрите также

• Мирской кардинал , более слабое понятие
• Мало кардинал , более сильное понятие
• Клубный набор
• Внутренняя модель
• Вселенная фон Неймана
• Конструируемая вселенная

Цитируемые работы

• Дрейк, Ф. Р. (1974), Теория множеств: Введение в большие кардиналы , Исследования по логике и основам математики, т. 76, Elsevier Science, ISBN 0-444-10535-2
• Хаусдорф, Феликс (1908), «Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen», Mathematische Annalen , 65 (4): 435–505, doi : 10.1007/BF01451165, hdl : 10338.dmlcz/100813 , ISSN  0025-5831, S2CID  119648544
• Грбачек, Карел ; Джех, Томас (1999), Введение в теорию множеств (3-е изд.), Нью-Йорк: Деккер, ISBN 978-0-8247-7915-3
• Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00384-3
• Серпинский, Вацлав ; Тарский, Альфред (1930), «Sur une proprieté caractéristique des nombres unaccessibles» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 15 : 292–300, doi : 10.4064/fm-15-1-292-300, ISSN  0016-2736
• Цермело, Эрнст (1930), «Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 16 : 29–47, doi : 10.4064/fm-16-1-29-47, ISSN  0016 -2736Английский перевод: Эвальд, Уильям Б. (1996), «О граничных числах и областях множеств: новые исследования в основаниях теории множеств», От Иммануила Канта до Давида Гильберта: Учебник по основаниям математики , Oxford University Press, стр. 1208–1233, ISBN 978-0-19-853271-2.

Ссылки

1. A. Kanamori, "Zermelo and Set Theory", стр. 526. Bulletin of Symbolic Logic т. 10, № 4 (2004). Доступ 21 августа 2023 г.
2. А. Энаят, «Аналоги теоремы Макдауэлла-Спеккера для теории множеств» (2020), стр. 10. Доступ 9 марта 2024 г.
3. К. Хаузер, «Неописуемые кардиналы и элементарные вложения». Журнал символической логики т. 56, вып. 2 (1991), стр. 439--457.
4. KJ Devlin, "Свойства неописуемости и малые большие кардиналы" (1974). В ISILC Logic Conference: Proceedings of the International Summer Institute and Logic Colloquium, Kiel 1974 , Lecture Notes in Mathematics, т. 499 (1974) ${\displaystyle \vDash }$