Символ остатка мощности

В алгебраической теории чисел символ вычета n-й степени ( для целого числа n > 2) является обобщением (квадратичного) символа Лежандра до n -й степени. Эти символы используются в формулировке и доказательстве кубических , четвертичных , Эйзенштейна и связанных с ними высших ^[1] законов взаимности . ^[2]

Предыстория и обозначения

Пусть k — алгебраическое числовое поле с кольцом целых чисел , содержащее примитивный корень n-й степени из единицы. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}.}$

Пусть — простой идеал , и предположим, что n и взаимно просты (т.е. ). ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle n\not \in {\mathfrak {p}}}$

Норма определяется как мощность кольца вычетов (обратите внимание, что поскольку является простым числом, кольцо вычетов является конечным полем ): ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}:=|{\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}}|.}$

Аналог теоремы Ферма имеет место в случае, если тогда ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}.}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{k}-{\mathfrak {p}},}$

${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}\equiv 1{\bmod {\mathfrak {p}}}.}$

И наконец, предположим, что эти факты подразумевают, что ${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}\equiv 1{\bmod {n}}.}$

${\displaystyle \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}\equiv \zeta _{n}^{s}{\bmod {\mathfrak {p}}}}$

хорошо определен и соответствует уникальному корню степени - из единицы ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \zeta _{n}^{s}.}$

Определение

Этот корень из единицы называется символом остатка n -й степени и обозначается как ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k},}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\zeta _{n}^{s}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}{\bmod {\mathfrak {p}}}.}$

Характеристики

Символ n-й степени имеет свойства, полностью аналогичные свойствам классического (квадратичного) символа Якоби ( является фиксированным первообразным корнем n-й степени из единицы): ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}={\begin{cases}0&\alpha \in {\mathfrak {p}}\\1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and }}\exists \eta \in {\mathcal {O}}_{k}:\alpha \equiv \eta ^{n}{\bmod {\mathfrak {p}}}\\\zeta &\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and there is no such }}\eta \end{cases}}}$

Во всех случаях (ноль и не ноль)

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}{\bmod {\mathfrak {p}}}.}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\left({\frac {\alpha \beta }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}}$

${\displaystyle \alpha \equiv \beta {\bmod {\mathfrak {p}}}\quad \Rightarrow \quad \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\left({\frac {\beta }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}}$

Все символы вычета по степеням mod n являются символами Дирихле mod n , а символ вычета по степени m содержит только корни степени m из единицы , символ вычета по степени m mod n существует тогда и только тогда, когда m делится ( лямбда-функция Кармайкла от n ). ${\displaystyle \lambda (n)}$

Связь с символом Гильберта

Символ остатка в n-й степени связан с символом Гильберта для простого числа соотношением ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=(\pi ,\alpha )_{\mathfrak {p}}}$

в случае взаимно простого с n , где — любой униформизирующий элемент для локального поля . ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$

Обобщения

Символ -й степени может быть расширен, чтобы взять в качестве «знаменателя» непростые идеалы или ненулевые элементы, таким же образом, как символ Якоби расширяет символ Лежандра. ${\displaystyle n}$

Любой идеал является продуктом первичных идеалов, и только одним способом: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{g}.}$

Символ -й степени расширяется мультипликативно: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=\left({\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right)_{n}\cdots \left({\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{g}}}\right)_{n}.}$

Тогда мы определяем ${\displaystyle 0\neq \beta \in {\mathcal {O}}_{k}}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}:=\left({\frac {\alpha }{(\beta )}}\right)_{n},}$

где главный идеал, порожденный ${\displaystyle (\beta )}$ ${\displaystyle \beta .}$

Аналогично квадратичному символу Якоби, этот символ является мультипликативным по верхнему и нижнему параметрам.

• Если тогда ${\displaystyle \alpha \equiv \beta {\bmod {\mathfrak {a}}}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=\left({\tfrac {\beta }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}.}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}\left({\tfrac {\beta }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=\left({\tfrac {\alpha \beta }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}.}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}\left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {b}}}\right)_{n}=\left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {ab}}}\right)_{n}.}$

Так как символ всегда является корнем -й степени из единицы, то в силу своей мультипликативности он равен 1 всякий раз, когда один из параметров является -й степенью; обратное неверно. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

• Если тогда ${\displaystyle \alpha \equiv \eta ^{n}{\bmod {\mathfrak {a}}}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=1.}$
• Если то не является -й степенью по модулю ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}\neq 1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}.}$
• Если тогда может быть или не быть -й степенью по модулю ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}.}$

Закон взаимности власти

Закон взаимности степеней , аналог закона квадратичной взаимности , может быть сформулирован в терминах символов Гильберта как ^[4]

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)_{n}^{-1}=\prod _{{\mathfrak {p}}|n\infty }(\alpha ,\beta )_{\mathfrak {p}},}$

всякий раз, когда и являются взаимно простыми. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Смотрите также

• Модульная_арифметика#Остаток_класса
• Квадратичный_остаток#Модуль_простой_степени
• символ Артина
• Лемма Гаусса

Примечания

1. Квадратичный закон взаимности имеет дело с квадратами; высший относится к кубам, четвертым и более высоким степеням.
2. Все факты в этой статье находятся в Lemmermeyer Ch. 4.1 и Ireland & Rosen Ch. 14.2.
3. Нойкирх (1999) стр. 336
4. Нойкирх (1999) стр. 415

Ссылки

• Гра, Жорж (2003), Теория полей классов. От теории к практике , Springer Monographs in Mathematics, Берлин: Springer-Verlag , стр. 204–207, ISBN 3-540-44133-6, ЗБЛ  1019.11032
• Айрленд, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание) , Нью-Йорк: Springer Science+Business Media , ISBN 0-387-97329-X
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Springer Monographs in Mathematics, Берлин: Springer Science+Business Media , doi :10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4, MR  1761696, Zbl  0949.11002
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, ЗБЛ  0956.11021