Математические функции
В математике падающий факториал (иногда называемый нисходящим факториалом , [1] падающим последовательным произведением или нижним факториалом ) определяется как многочлен
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}=x^{\underline {n}} &=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1) )} ^{n{\text{ коэффициенты}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1 }(xk).\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Возрастающий факториал (иногда называемый функцией Поххаммера , полиномом Поххаммера , возрастающим факториалом , [1] возрастающим последовательным произведением или верхним факториалом ) определяется как
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{(n)}=x^{\overline {n}} &=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1) )} ^{n{\text{ коэффициенты}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1 }(x+k).\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Значение каждого принимается равным 1 ( пустой продукт ), когда n = 0 . Эти символы вместе называются факториальными степенями . [2]
Символ Поххаммера , введенный Лео Августом Поххаммером , представляет собой обозначение ( x ) n , где n — неотрицательное целое число . Он может представлять собой либо возрастающий, либо падающий факториал, причем разные статьи и авторы используют разные соглашения. Сам Поххаммер фактически использовал ( x ) n еще в одном значении, а именно для обозначения биномиального коэффициента [3]![{\displaystyle {\tbinom {x}{n}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В этой статье символ ( x ) n используется для обозначения падающего факториала, а символ x ( n ) — для возрастающего факториала. Эти соглашения используются в комбинаторике [4] ,
хотя подчеркивающие и подчеркивающие обозначения Кнута становятся все более популярными. [2] [5]
В теории специальных функций (в частности, гипергеометрической функции ) и в стандартной справочной работе Абрамовица и Стегуна символ Поххаммера ( x ) n используется для обозначения возрастающего факториала. [6] [7]![{\displaystyle x^{\underline {n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x^{\overline {n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Когда x является положительным целым числом, ( x ) n дает количество n -перестановок (последовательностей различных элементов) из набора x -элементов или, что то же самое, количество инъективных функций из набора размера n в набор размера x . . Возрастающий факториал x ( n ) дает количество разбиений набора n -элементов на x упорядоченные последовательности (возможно, пустые). [а]
Примеры и комбинаторная интерпретация
Первые несколько падающих факториалов таковы:
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}(x)_{0}&&=1\\(x)_{1}&&=x\\(x)_{2}&=x(x-1 )&=x^{2}-x\\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&=x^{3}-3x^{2}+2x\\( x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{array} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}x^{(0)}&&=1\\x^{(1)}&&=x\\x^{(2)}&=x(x+1) )&=x^{2}+x\\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&=x^{3}+3x^{2}+2x\\x ^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{array} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
числа Стирлинга первого родаКогда переменная x является целым положительным числом, число ( x ) n равно количеству n -перестановок из набора x элементов , то есть количеству способов выбора упорядоченного списка длины n , состоящего из различных элементов. взято из коллекции размера x . Например, (8) 3 = 8 × 7 × 6 = 336 — это количество различных подиумов — присвоений золотых, серебряных и бронзовых медалей — возможных в гонке из восьми человек. В этом контексте иногда также используются другие обозначения, такие как x P n , x P n , P n x или P ( x , n ) . С другой стороны, x ( n ) — это «количество способов расположить n флагов на x флагштоках», [8]
, где должны использоваться все флаги, и каждый флагшток может иметь любое количество флагов. Эквивалентно, это количество способов разделить набор размера n (флаги) на x различимых частей (полюсов) с линейным порядком элементов, присвоенных каждой части (порядок флагов на данном полюсе). .
Характеристики
Возрастающие и падающие факториалы просто связаны друг с другом:
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}{(x)}_{n}&={(x-n+1)}^{(n)}&=(-1)^{n}(- x)^{(n)},\\x^{(n)}&={(x+n-1)}_{n}&=(-1)^{n}(-x)_{n }.\end{массив}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Падающие и возрастающие факториалы целых чисел напрямую связаны с обычным факториалом :
![{\displaystyle {\begin{aligned}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\\[6pt](m)_{n}&={\frac {m!} {(mn)!}},\\[6pt]m^{(n)}&={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.\end{aligned} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Возрастающие факториалы полуцелых чисел напрямую связаны с двойным факториалом :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n} }},\quad \left[{\frac {2m+1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2(n+m)-1)!!}{2^ {n}(2m-1)!!}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Падающие и возрастающие факториалы можно использовать для выражения биномиального коэффициента :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(x)_{n}}{n!}} &={\binom {x}{n}},\\[6pt]{\frac {x^ {(n)}}{n!}}&={\binom {x+n-1}{n}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Таким образом, многие тождества биномиальных коэффициентов переносятся на падающие и возрастающие факториалы.
Восходящие и нисходящие факториалы четко определены в любом кольце с единицей , и поэтому в качестве x можно взять, например, комплексное число , включая отрицательные целые числа, или многочлен с комплексными коэффициентами, или любую комплексную функцию .
Падающий факториал можно расширить до реальных значений x с помощью гамма-функции при условии, что x и x + n являются действительными числами, которые не являются отрицательными целыми числами:
![{\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\ ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\ .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Падающие факториалы появляются при многократном дифференцировании простых степенных функций:
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} x}}\right)^{n}x^{a}=(a)_{n}\cdot x^{ ан}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Возрастающий факториал также является неотъемлемой частью определения гипергеометрической функции : Гипергеометрическая функция определена для | г | < 1 в степенном ряду
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{ (n)}}{c^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
c ≠ 0, −1, −2, ... .( a ) n Коэффициенты связи и тождества
Падающие и растущие факториалы тесно связаны с числами Стирлинга . Действительно, при разложении произведения появляются числа Стирлинга первого рода.
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\\&=\sum _{k =0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}(-1)^{nk}x^{k}\\x^{(n)}&=\sum _ {k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}\\\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
А для обратных соотношений используются числа Стирлинга второго рода.
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k }\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{nk}x^{(k)}.\ конец {выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Падающие и возрастающие факториалы связаны друг с другом числами Лаха
: [9]
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)x^{(k)}\\x^{(n )}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-1)^{nk}(x)_{k}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поскольку падающие факториалы являются основой кольца многочленов , произведение двух из них можно выразить как линейную комбинацию падающих факториалов: [10]
![{\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}} k!\cdot (x)_{m+nk}\ .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Коэффициенты называются коэффициентами связи и имеют комбинаторную интерпретацию как количество способов идентифицировать (или «склеить») k элементов каждый из набора размера m и набора размера n .![{\displaystyle {\tbinom {m}{k}}{\tbinom {n}{k}}k!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Существует также формула связи для отношения двух возрастающих факториалов, определяемая как
![{\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(ni)},\quad {\text{for }}n\geq я.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Кроме того, мы можем расширить обобщенные законы экспоненты и отрицательные возрастающие и нисходящие степени с помощью следующих тождеств: [11] (стр. 52)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{m+n} &=(x)_{m}(xm)_{n}=(x)_{n}(xn)_{m}\ \[6pt]x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}=x^{(n)}(x+n)^{(m )}\\[6pt]x^{(-n)}&={\frac {\Gamma (xn)}{\Gamma (x)}}={\frac {(xn-1)!}{(x -1)!}}={\frac {1}{(xn)^{(n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}}={\frac {1 }{(x-1)(x-2)\cdots (xn)}}=(-n)!{\binom {xn-1}{-n}}\\[6pt](x)_{-n }&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+n-1)}}={\frac {x!}{(x+n)!}}={\frac {1 }{(x+n)_{n}}}={\frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={\frac {1}{(x+1)(x+ 2)\cdots (x+n)}}=(-n)!{\binom {x}{-n}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Наконец, формулы дублирования и умножения падающих и возрастающих факториалов дают следующие соотношения:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{k+mn} &=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({ \frac {xkj}{m}}\right)_{n}\,,&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt]x^{(k+mn)}& =x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{( n)},&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt](ax+b)^{(n)}&=x^{n}\prod _{j=0 }^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right),&{\text{for }}x&\in \mathbb {Z} ^{+}\\[ 6pt](2x)^{(2n)}&=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.\ конец {выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Связь с теневым исчислением
Падающий факториал встречается в формуле, которая представляет многочлены с помощью оператора прямой разности и формально аналогична теореме Тейлора :![{\displaystyle \Delta f(x){\stackrel {\mathrm {def} {=}}f(x{+}1)-f(x),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{n}f(0)}{n!}}(x)_{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В этой формуле и во многих других местах падающий факториал ( x ) n в исчислении конечных разностей играет роль xn в дифференциальном исчислении. Обратите внимание, например, на сходство Δ ( x ) n = n ( x ) n −1 с д/д х Икс п знак равно пх п -1 .
Аналогичный результат справедлив для возрастающего факториала и оператора обратной разности.
Изучение аналогий такого типа известно как теневое исчисление . Общую теорию, охватывающую такие отношения, включая падающие и возрастающие факториальные функции, дает теория полиномиальных последовательностей биномиального типа и последовательностей Шеффера . Падающие и возрастающие факториалы представляют собой последовательности Шеффера биномиального типа, что показывают соотношения:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)_{nj}( b)_{j}\\[6pt](a+b)^{(n)}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)^ {(nj)}(b)^{(j)}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где коэффициенты те же, что и в биномиальной теореме .
Точно так же производящая функция полиномов Поххаммера тогда равна теневой экспоненте:
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\left(1+t\right)^{ Икс},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
с
![{\displaystyle \operatorname {\Delta } _{x}\left(1+t\right)^{x}=t\cdot \left(1+t\right)^{x}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Альтернативные обозначения
Альтернативное обозначение возрастающего факториала
![{\displaystyle x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+m} \equiv (x)_{m} =\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1) } ^{m{\text{ коэффициенты}}}\quad {\text{для целого числа }}m\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и для падающего факториала
![{\displaystyle x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-m} = \overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{факторы }}}\quad {\text{для целого числа }}m\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
восходит к А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно. [2] Грэм, Кнут и Паташник [11] (стр. 47, 48)
предлагают произносить эти выражения как « x до m, поднимающегося» и « x до m падающего», соответственно.
Другие обозначения падающего факториала включают P ( x , n ) , xPn , Px , n , Pnx или xPn . _ _ _ (См. перестановку и комбинацию .)
Альтернативное обозначение возрастающего факториала x ( n ) является менее распространенным ( x )+
н . Когда ( х )+
ниспользуется для обозначения возрастающего факториала, обозначение ( x )−
побычно используется для обычного падающего факториала, чтобы избежать путаницы. [3]
Обобщения
Символ Поххаммера имеет обобщенную версию, называемую обобщенным символом Поххаммера , используемую в многомерном анализе . Существует также q -аналог , q- символ Похгаммера .
Обобщение падающего факториала, в котором функция вычисляется по убывающей арифметической последовательности целых чисел и значения умножаются :
![{\displaystyle {\bigl [}f(x){\bigr ]}^{k/-h}=f(x)\cdot f(xh)\cdot f(x-2h)\cdots f{\bigl ( }x-(k-1)h{\bigr )},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где − h — декремент, а k — количество факторов. Соответствующее обобщение восходящего факториала имеет вид
![{\displaystyle {\bigl [}f(x){\bigr ]}^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f{\bigl (}x+(k-1)h{\bigr )}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это обозначение объединяет возрастающие и падающие факториалы, которые равны [ x ] k /+1 и [ x ] k /−1 соответственно.
Для любой фиксированной арифметической функции и символьных параметров x , t соответствующие обобщенные факториальные произведения вида![{\displaystyle е:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=0}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}} }\верно)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
может быть изучено с точки зрения классов обобщенных чисел Стирлинга первого рода , определяемых следующими коэффициентами при степенях x в разложениях ( x ) n , f , t , а затем следующим соответствующим треугольным рекуррентным соотношением :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t} &=\left[x^{k-1}\ right](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix} }\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n, 0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эти коэффициенты удовлетворяют ряду свойств, аналогичных свойствам чисел Стирлинга первого рода, а также рекуррентным соотношениям и функциональным уравнениям, связанным с f -гармоническими числами, [12]
![{\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}{\frac {t^{k}}{f(k)^{r}}}\, .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Симметричное обобщение можно определить как
![{\displaystyle x^{\underline {\overline {m}}}\equiv {\frac {x^{\overline {m}}x^{\underline {m}}}{x}}=x^{{ \overline {m}}+{\underline {m}}-1}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Здесь части различны; например, когда x = n = 2 , (2) (2) = 6 разделов равны , , , , , и , где − обозначает пустую часть.
![{\displaystyle (12,-)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (21,-)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (1,2)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (2,1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (-,12)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (-,21)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ Аб Стеффенсен, JF (17 марта 2006 г.). Интерполяция (2-е изд.). Дуврские публикации. п. 8. ISBN 0-486-45009-0.- Перепечатка издания 1950 года издательством Chelsea Publishing.
- ^ abc Кнут, DE Искусство компьютерного программирования . Том. 1 (3-е изд.). п. 50.
- ^ Аб Кнут, DE (1992). «Две заметки об обозначениях». Американский математический ежемесячник . 99 (5): 403–422. arXiv : математика/9205211 . дои : 10.2307/2325085. JSTOR 2325085. S2CID 119584305.Замечание о символе Поххаммера находится на странице 414.
- ^ Олвер, П.Дж. (1999). Классическая теория инвариантов . Издательство Кембриджского университета. п. 101. ИСБН 0-521-55821-2. МР 1694364.
- ^ Харрис; Херст; Моссингхофф (2008). Комбинаторика и теория графов . Спрингер. гл. 2. ISBN 978-0-387-79710-6.
- ^ Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А., ред. (декабрь 1972 г.) [июнь 1964 г.]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Национального бюро стандартов по прикладной математике . Том. 55. Вашингтон, округ Колумбия: Министерство торговли США . п. 256 экв. 6.1.22. LCCN 64-60036.
- ^ Слейтер, Люси Дж. (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Издательство Кембриджского университета. Приложение I. МР 0201688.— Дает полезный список формул для управления возрастающим факториалом в обозначениях ( x ) n .
- ^ Феллер, Уильям. Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Том. 1. Ч. 2.
- ^ «Введение в факториалы и биномы». Сайт функций Wolfram .
- ^ Росас, Мерседес Х. (2002). «Специализации симметричных функций Мак-Магона и алгебра полиномов». Дискретная математика . 246 (1–3): 285–293. дои : 10.1016/S0012-365X(01)00263-1. hdl : 11441/41678 .
- ^ Аб Грэм, Рональд Л .; Кнут, Дональд Э. и Паташник, Орен (1988). Конкретная математика . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. стр. 47, 48, 52. ISBN. 0-201-14236-8.
- ↑ Шмидт, Макси Д. (29 марта 2017 г.). «Комбинаторные тождества для обобщенных чисел Стирлинга, расширяющих f -факториальные функции и f -гармонические числа». arXiv : 1611.04708v2 [math.CO].
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Символ Поххаммера». Математический мир .
- «Сборник математических демонстраций». scribd.com . Архивировано из оригинала 14 февраля 2016 г.— Элементарные доказательства