В математике символическая динамика — это изучение динамических систем, определенных на дискретном пространстве, состоящем из бесконечных последовательностей абстрактных символов. Эволюция динамической системы определяется как простой сдвиг последовательности.
Из-за своей явной, дискретной природы такие системы часто относительно легко характеризовать и понимать. Они образуют ключевой инструмент для изучения топологических или гладких динамических систем , поскольку во многих важных случаях можно свести динамику более общей динамической системы к символической системе. Для этого используется марковское разбиение , чтобы обеспечить конечное покрытие для гладкой системы; каждое множество покрытия связано с одним символом, и последовательности символов получаются в результате того, что траектория системы перемещается от одного покрывающего множества к другому.
Идея восходит к статье Жака Адамара 1898 года о геодезических на поверхностях отрицательной кривизны . [1] Она была применена Марстоном Морзе в 1921 году для построения непериодической рекуррентной геодезической. Схожая работа была проделана Эмилем Артином в 1924 году (для системы, которая теперь называется бильярдом Артина ), Пеккой Мирбергом , Полом Кёбе , Якобом Нильсеном , Г. А. Хедлундом .
Первая формальная трактовка была разработана Морзе и Хедлундом в их статье 1938 года. [2] Джордж Биркгофф , Норман Левинсон и пара Мэри Картрайт и Дж. Э. Литтлвуд применили схожие методы к качественному анализу неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка .
Клод Шеннон использовал символьные последовательности и сдвиги конечного типа в своей статье 1948 года «Математическая теория связи , которая дала начало теории информации» .
В конце 1960-х годов метод символической динамики был развит для гиперболических торических автоморфизмов Роем Адлером и Бенджамином Вайсом [3] , а также для диффеоморфизмов Аносова Яковом Синаем , который использовал символическую модель для построения мер Гиббса . [4] В начале 1970-х годов теория была распространена на потоки Аносова Мариной Ратнер и на диффеоморфизмы и потоки Аксиомы А Руфусом Боуэном .
Ярким примером применения методов символической динамики является теорема Шарковского о периодических орбитах непрерывного отображения интервала в себя (1964).
Рассмотрим множество двусторонних бесконечных последовательностей из двух символов 0 и 1. Типичный элемент в этом множестве выглядит так: (..., 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, ... )
Под картой сдвига будет ровно две фиксированные точки: последовательность всех нулей и последовательность всех единиц. Периодическая последовательность будет иметь периодическую орбиту. Например, последовательность (..., 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...) будет иметь период два.
Более сложные концепции, такие как гетероклинические орбиты и гомоклинические орбиты, также имеют простые описания в этой системе. Например, любая последовательность, которая имеет только конечное число единиц, будет иметь гомоклиническую орбиту, стремящуюся к последовательности всех нулей в прямых и обратных итерациях.
Маршрут точки относительно раздела представляет собой последовательность символов. Он описывает динамику точки. [5]
Символическая динамика возникла как метод изучения общих динамических систем; теперь ее методы и идеи нашли значительное применение в хранении и передаче данных , линейной алгебре , движении планет и многих других областях [ требуется ссылка ] . Отличительной чертой символической динамики является то, что время измеряется дискретными интервалами. Таким образом, в каждый временной интервал система находится в определенном состоянии . Каждое состояние связано с символом, и эволюция системы описывается бесконечной последовательностью символов, эффективно представленных в виде строк . Если состояния системы не являются по своей сути дискретными, то вектор состояния должен быть дискретизирован, чтобы получить грубозернистое описание системы.