Падающие и растущие факториалы

Математические функции

В математике убывающий факториал ( иногда называемый убывающим факториалом , ^[1] убывающим последовательным произведением или нижним факториалом ) определяется как многочлен $${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}=x^{\underline {n}}&=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).\end{aligned}}}$$

Возрастающий факториал (иногда называемый функцией Похгаммера , полиномом Похгаммера , восходящим факториалом , ^[1] возрастающим последовательным произведением или верхним факториалом ) определяется как $${\displaystyle {\begin{aligned}(x)^{n}=x^{\overline {n}}&=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{aligned}}}$$

Значение каждого из них принимается равным 1 ( пустое произведение ), когда . Эти символы в совокупности называются факториальными степенями . ^[2] ${\displaystyle n=0}$

Символ Похгаммера , введенный Лео Августом Похгаммером , представляет собой обозначение , где n — неотрицательное целое число . Он может представлять как растущий, так и падающий факториал, при этом разные статьи и авторы используют разные соглашения. Сам Похгаммер фактически использовал его в еще одном значении, а именно для обозначения биномиального коэффициента . ^[3] ${\displaystyle (x)_{n}}$ ${\displaystyle (x)_{n}}$ ${\displaystyle {\tbinom {x}{n}}}$

В этой статье символ используется для представления падающего факториала, а символ используется для восходящего факториала. Эти соглашения используются в комбинаторике , ^[4] хотя обозначения Кнута с подчеркиванием и надчеркиванием и становятся все более популярными. ^{[2] [5]} В теории специальных функций (в частности, гипергеометрической функции ) и в стандартном справочнике Абрамовица и Стигуна символ Похгаммера используется для представления восходящего факториала. ^{[6] [7]} ${\displaystyle (x)_{n}}$ ${\displaystyle x^{(n)}}$ ${\displaystyle x^{\underline {n}}}$ ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$ ${\displaystyle (x)_{n}}$

Когда является положительным целым числом, дает число n -перестановок (последовательностей различных элементов) из x -элементного набора или, что эквивалентно, число инъективных функций из набора размера в набор размера . Возрастающий факториал дает число разбиений набора -элементов на упорядоченные последовательности (возможно, пустые). ^[a] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x)_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{(n)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

Примеры и комбинаторная интерпретация

Первые несколько убывающих факториалов следующие: Первые несколько возрастающих факториалов следующие: Коэффициенты, которые появляются в разложениях, являются числами Стерлинга первого рода (см. ниже). $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x)_{0}&&&=1\\(x)_{1}&&&=x\\(x)_{2}&=x(x-1)&&=x^{2}-x\\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&&=x^{3}-3x^{2}+2x\\(x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x^{(0)}&&&=1\\x^{(1)}&&&=x\\x^{(2)}&=x(x+1)&&=x^{2}+x\\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&&=x^{3}+3x^{2}+2x\\x^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{alignedat}}}$$

Когда переменная является положительным целым числом, число равно числу n -перестановок из набора элементов x , то есть числу способов выбора упорядоченного списка длины n , состоящего из различных элементов, взятых из набора размера . Например, — это число различных подиумов — назначений золотых, серебряных и бронзовых медалей — возможных в гонке из восьми человек. С другой стороны, — это «число способов расположения флагов на флагштоках» ^[8] , где все флаги должны быть использованы, и на каждом флагштоке может быть любое количество флагов. Эквивалентно, это число способов разбить набор размера (флаги) на различимые части (шесты) с линейным порядком элементов, назначенных каждой части (порядок флагов на данном шесте). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x)_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (8)_{3}=8\times 7\times 6=336}$ ${\displaystyle x^{(n)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

Характеристики

Растущие и падающие факториалы просто связаны друг с другом: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{(x)}_{n}&={(x-n+1)}^{(n)}&&=(-1)^{n}(-x)^{(n)},\\x^{(n)}&={(x+n-1)}_{n}&&=(-1)^{n}(-x)_{n}.\end{alignedat}}}$$

Убывающие и возрастающие факториалы целых чисел напрямую связаны с обычным факториалом : $${\displaystyle {\begin{aligned}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\\[6pt](m)_{n}&={\frac {m!}{(m-n)!}},\\[6pt]m^{(n)}&={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.\end{aligned}}}$$

Возрастающие факториалы половинных целых чисел напрямую связаны с двойным факториалом : $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},\quad \left[{\frac {2m+1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2(n+m)-1)!!}{2^{n}(2m-1)!!}}.\end{aligned}}}$$

Убывающие и возрастающие факториалы можно использовать для выражения биномиального коэффициента : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(x)_{n}}{n!}}&={\binom {x}{n}},\\[6pt]{\frac {x^{(n)}}{n!}}&={\binom {x+n-1}{n}}.\end{aligned}}}$$

Таким образом, многие тождества для биномиальных коэффициентов переносятся на падающие и растущие факториалы.

Растущие и убывающие факториалы хорошо определены в любом единичном кольце и, следовательно, могут быть приняты, например, за комплексное число , включая отрицательные целые числа, или за многочлен с комплексными коэффициентами, или за любую комплекснозначную функцию . ${\displaystyle x}$

Действительные числа и отрицательныен

Убывающий факториал можно расширить до действительных значений с помощью предоставленной гамма-функции , и это действительные числа, которые не являются отрицательными целыми числами: то же самое можно сделать и с возрастающим факториалом: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+n}$ $${\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\ ,}$$ $${\displaystyle x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\ .}$$

Исчисление

Убывающие факториалы появляются при многократном дифференцировании простых степенных функций: $${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}x^{a}=(a)_{n}\cdot x^{a-n}.}$$

Возрастающий факториал также является неотъемлемой частью определения гипергеометрической функции : Гипергеометрическая функция определяется для степенным рядом при условии, что . Обратите внимание, однако, что в литературе по гипергеометрическим функциям обычно используется обозначение для возрастающих факториалов. ${\displaystyle |z|<1}$ $${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}$$ ${\displaystyle c\neq 0,-1,-2,\ldots }$ ${\displaystyle (a)_{n}}$

Коэффициенты связи и тождества

Падающие и растущие факториалы тесно связаны с числами Стирлинга . Действительно, расширение произведения выявляет числа Стирлинга первого рода $${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{k}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}\\\end{aligned}}}$$

А обратные соотношения используют числа Стерлинга второго рода $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{(k)}.\end{aligned}}}$$

Убывающие и возрастающие факториалы связаны друг с другом через числа Лаха ${\textstyle L(n,k)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}}$ : ^[9] $${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)x^{(k)}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-1)^{n-k}(x)_{k}\end{aligned}}}$$

Поскольку убывающие факториалы являются основой для кольца полиномов , можно выразить произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов: ^[10] $${\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}k!\cdot (x)_{m+n-k}\ .}$$

Коэффициенты называются коэффициентами связи и имеют комбинаторную интерпретацию как число способов идентифицировать (или «склеить») k элементов из набора размера m и набора размера n . ${\displaystyle {\tbinom {m}{k}}{\tbinom {n}{k}}k!}$

Существует также формула связи для отношения двух возрастающих факториалов, заданная как $${\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)},\quad {\text{for }}n\geq i.}$$

Кроме того, мы можем расширить обобщенные законы экспоненты и отрицательные возрастающие и убывающие степени с помощью следующих тождеств: ^{[11] (стр. 52)}

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}=(x)_{n}(x-n)_{m}\\[6pt]x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}=x^{(n)}(x+n)^{(m)}\\[6pt]x^{(-n)}&={\frac {\Gamma (x-n)}{\Gamma (x)}}={\frac {(x-n-1)!}{(x-1)!}}={\frac {1}{(x-n)^{(n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}}={\frac {1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}}\\[6pt](x)_{-n}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+n+1)}}={\frac {x!}{(x+n)!}}={\frac {1}{(x+n)_{n}}}={\frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}\end{aligned}}}$$

Наконец, формулы умножения и умножения для убывающих и возрастающих факториалов дают следующие соотношения: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{k+mn}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x-k-j}{m}}\right)_{n}\,,&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt]x^{(k+mn)}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{(n)},&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt](ax+b)^{(n)}&=x^{n}\prod _{j=0}^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right),&{\text{for }}x&\in \mathbb {Z} ^{+}\\[6pt](2x)^{(2n)}&=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.\end{aligned}}}$$

Отношение к теневому исчислению

Убывающий факториал встречается в формуле, которая представляет полиномы с использованием оператора прямой разности и которая формально аналогична теореме Тейлора : ${\displaystyle \Delta f(x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x{+}1)-f(x),}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{n}f(0)}{n!}}(x)_{n}.}$$

В этой формуле и во многих других местах падающий факториал в исчислении конечных разностей играет роль в дифференциальном исчислении. Обратите внимание, например, на сходство с . ${\displaystyle (x)_{n}}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle \Delta (x)_{n}=n(x)_{n-1}}$ ${\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}x^{n}=nx^{n-1}}$

Аналогичный результат справедлив для растущего факториала и оператора обратной разности.

Изучение аналогий этого типа известно как теневое исчисление . Общая теория, охватывающая такие отношения, включая падающие и растущие факториальные функции, дается теорией полиномиальных последовательностей биномиального типа и последовательностей Шеффера . Падающие и растущие факториалы являются последовательностями Шеффера биномиального типа, как показано в соотношениях:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)_{n-j}(b)_{j}\\[6pt](a+b)^{(n)}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{(n-j)}b^{(j)}\end{aligned}}}$$

где коэффициенты такие же, как в биномиальной теореме .

Аналогично, производящая функция полиномов Похгаммера тогда сводится к теневой экспоненте,

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\left(1+t\right)^{x},}$$

с

$${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{x}\left(1+t\right)^{x}=t\cdot \left(1+t\right)^{x}.}$$

Альтернативные обозначения

Альтернативная запись для возрастающего факториала $${\displaystyle x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+m}\equiv (x)_{m}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$

и для падающего факториала $${\displaystyle x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-m}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$

восходит к А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно. ^[2] Грэхем, Кнут и Паташник ^{[11] (стр. 47, 48)} предлагают произносить эти выражения как « to the rise» и « to the fall» соответственно. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$

Альтернативная нотация для восходящего факториала менее распространена . Когда используется для обозначения восходящего факториала, нотация обычно используется для обычного нисходящего факториала, чтобы избежать путаницы. ^[3] ${\displaystyle x^{(n)}}$ ${\displaystyle (x)_{n}^{+}}$ ${\displaystyle (x)_{n}^{+}}$ ${\displaystyle (x)_{n}^{-}}$

Обобщения

Символ Похгаммера имеет обобщенную версию, называемую обобщенным символом Похгаммера , используемую в многомерном анализе . Существует также q -аналог , q -символ Похгаммера .

Для любой фиксированной арифметической функции и символических параметров x , t , соответствующие обобщенные факториальные произведения имеют вид ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$

$${\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=0}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)}$$

можно изучать с точки зрения классов обобщенных чисел Стирлинга первого рода, определяемых следующими коэффициентами при степенях x в разложениях ( x ) _{n , f , t ,} а затем следующим соответствующим треугольным рекуррентным соотношением:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=\left[x^{k-1}\right](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}$$

Эти коэффициенты удовлетворяют ряду аналогичных свойств для чисел Стирлинга первого рода , а также рекуррентным соотношениям и функциональным уравнениям, связанным с f -гармоническими числами, ^[12] $${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}{\frac {t^{k}}{f(k)^{r}}}\,.}$$

Смотрите также

• Поххаммер k -символ
• идентичность Вандермонда

Ссылки

1. Здесь части различны; например, когда x = n = 2 , то (2) ⁽²⁾ = 6 разбиениями являются , , , , , и , где − обозначает пустую часть. ${\displaystyle (12,-)}$ ${\displaystyle (21,-)}$ ${\displaystyle (1,2)}$ ${\displaystyle (2,1)}$ ${\displaystyle (-,12)}$ ${\displaystyle (-,21)}$

1. Steffensen, JF (17 марта 2006 г.). Интерполяция (2-е изд.). Dover Publications. стр. 8. ISBN 0-486-45009-0.— Переиздание издания 1950 года издательством Chelsea Publishing.
2. Кнут, DE Искусство программирования . Т. 1 (3-е изд.). С. 50.
3. Knuth, DE (1992). «Две заметки о нотации». American Mathematical Monthly . 99 (5): 403–422. arXiv : math/9205211 . doi :10.2307/2325085. JSTOR  2325085. S2CID  119584305.Замечание о символе Поххаммера находится на странице 414.
4. Olver, PJ (1999). Классическая инвариантная теория . Cambridge University Press. стр. 101. ISBN 0-521-55821-2. МР  1694364.
5. Харрис; Хёрст; Моссингхофф (2008). Комбинаторика и теория графов . Springer. гл. 2. ISBN 978-0-387-79710-6.
6. Абрамовиц, Милтон; Стиган, Ирен А., ред. (декабрь 1972 г.) [июнь 1964 г.]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика» Национального бюро стандартов . Т. 55. Вашингтон, округ Колумбия: Министерство торговли США . стр. 256, уравнение 6.1.22. LCCN  64-60036.
7. Слейтер, Люси Дж. (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Cambridge University Press. Приложение I. MR  0201688.— Дает полезный список формул для манипулирования растущим факториалом в нотации ( x ) _n .
8. Феллер, Уильям. Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Т. 1. Гл. 2.
9. "Введение в факториалы и биномы". Сайт Wolfram Functions .
10. Росас, Мерседес Х. (2002). «Специализации симметричных функций Мак-Магона и полиномиальная алгебра». Дискретная математика . 246 (1–3): 285–293. doi :10.1016/S0012-365X(01)00263-1. hdl : 11441/41678 .
11. Graham, Ronald L. ; Knuth, Donald E. & Patashnik, Oren (1988). Конкретная математика . Reading, MA: Addison-Wesley. стр. 47, 48, 52. ISBN 0-201-14236-8.
12. Шмидт, Макси Д. (2018). "Комбинаторные тождества для обобщенных чисел Стирлинга, расширяющих f -факториальные функции и f -гармонические числа". Журнал целочисленных последовательностей . 21 (2) 18.2.7. arXiv : 1611.04708v2 . MR  3779776.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Символ Поххаммера». MathWorld .