В кристаллографии кристаллическая система — это совокупность точечных групп (группа геометрических симметрий хотя бы с одной неподвижной точкой). Решетчатая система — это совокупность решеток Браве . Пространственные группы подразделяются на кристаллические системы в соответствии с их точечными группами и на решеточные системы в соответствии с их решетками Браве. Кристаллические системы, имеющие пространственные группы, отнесенные к общей системе решетки, объединяются в семейство кристаллов .
Семь кристаллических систем — триклинная , моноклинная , ромбическая , тетрагональная , тригональная, гексагональная и кубическая . Неформально два кристалла находятся в одной кристаллической системе, если они имеют схожую симметрию (хотя есть много исключений).
Кристаллы можно классифицировать тремя способами: решетчатые системы, кристаллические системы и семейства кристаллов. Различные классификации часто путают: в частности, тригональную кристаллическую систему часто путают с ромбоэдрической решетчатой системой , а термин «кристаллическая система» иногда используется для обозначения «системы решетки» или «семейства кристаллов».
Решетчатая система — это группа решеток с одинаковым набором точечных групп решетки . 14 решеток Браве сгруппированы в семь систем решеток: триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, ромбоэдрическую, гексагональную и кубическую.
Кристаллическая система — это совокупность точечных групп, в которой сами точечные группы и соответствующие им пространственные группы отнесены к решеточной системе. Из 32 кристаллографических точечных групп , существующих в трех измерениях, большинство отнесено только к одной системе решетки, и в этом случае кристалл и система решетки имеют одно и то же название. Однако пять точечных групп относятся к двум системам решетки, ромбоэдрической и гексагональной, поскольку обе обладают тройной вращательной симметрией. Эти точечные группы отнесены к тригональной кристаллической системе.
Семейство кристаллов определяется решетками и точечными группами. Он образуется путем объединения кристаллических систем, имеющих пространственные группы, отнесенные к общей системе решетки. В трех измерениях гексагональная и тригональная кристаллические системы объединены в одно семейство гексагональных кристаллов.
Пять кристаллических систем по существу аналогичны пяти решетчатым системам. Шестиугольные и тригональные кристаллические системы отличаются от гексагональных и ромбоэдрических решетчатых систем. Они объединены в семейство гексагональных кристаллов.
Связь между трехмерными кристаллическими семействами, кристаллическими системами и системами решеток показана в следующей таблице:
7 кристаллических систем состоят из 32 кристаллических классов (соответствующих 32 кристаллографическим точечным группам), как показано в следующей таблице:
Точечную симметрию конструкции можно дополнительно описать следующим образом. Рассмотрим точки, составляющие структуру, и отразим их все через одну точку так, чтобы ( x , y , z ) превратилось в (− x , − y , − z ). Это «перевернутая структура». Если исходная структура и инвертированная структура идентичны, то структура центросимметрична . В противном случае он нецентросимметричен . Тем не менее, даже в нецентросимметричном случае перевернутую структуру в некоторых случаях можно повернуть, чтобы выровнять ее с исходной структурой. Это нецентросимметричная ахиральная структура. Если инвертированную структуру нельзя повернуть, чтобы совместить с исходной структурой, то структура является киральной или энантиоморфной , а ее группа симметрии энантиоморфной . [1]
Направление (то есть линия без стрелки) называется полярным , если его двунаправленные направления геометрически или физически различны. Полярное направление симметрии кристалла называется полярной осью . [2] Группы, содержащие полярную ось, называются полярными . Полярный кристалл обладает уникальной полярной осью (точнее, все полярные оси параллельны). Некоторые геометрические или физические свойства различны на двух концах этой оси: например, может возникнуть диэлектрическая поляризация, как в пироэлектрических кристаллах . Полярная ось может возникнуть только в нецентросимметричных структурах. Не может быть зеркальной плоскости или двойной оси, перпендикулярной полярной оси, потому что они сделали бы два направления оси эквивалентными.
Кристаллические структуры хиральных биологических молекул (например, белковых структур) могут встречаться только в 65 энантиоморфных пространственных группах (биологические молекулы обычно хиральны ).
Существует семь различных типов решетчатых систем, и каждый тип решетчатой системы имеет четыре различных типа центрирования (примитивное, центрированное по основанию, центрированное по телу, центрированное по граням). Однако не все комбинации уникальны; некоторые комбинации эквивалентны, тогда как другие комбинации невозможны по причинам симметрии. Это уменьшает количество уникальных решеток до 14 решеток Браве.
Распределение 14 решеток Браве на 7 решетчатых систем представлено в следующей таблице.
В геометрии и кристаллографии решетка Браве — это категория групп трансляционной симметрии (также известных как решетки ) в трех направлениях.
Такие группы симметрии состоят из сдвигов векторов вида
где n 1 , n 2 и n 3 — целые числа , а a 1 , a 2 и a 3 — три некомпланарных вектора, называемые примитивными векторами .
Эти решетки классифицируются по пространственной группе самой решетки, рассматриваемой как набор точек; существует 14 решеток Браве в трех измерениях; каждый принадлежит только одной решетчатой системе. Они [ необходимы пояснения ] представляют собой максимальную симметрию, которую может иметь структура с данной трансляционной симметрией.
Все кристаллические материалы (кроме квазикристаллов ) по определению должны соответствовать одному из этих механизмов.
Для удобства решетка Браве изображается в виде элементарной ячейки, которая в 1, 2, 3 или 4 раза больше примитивной ячейки . В зависимости от симметрии кристалла или другой структуры фундаментальная область снова становится меньше, вплоть до 48 раз.
Решетки Браве изучал Мориц Людвиг Франкенгейм в 1842 году, который обнаружил, что существует 15 решеток Браве. Это число было исправлено до 14 А. Браве в 1848 году.
Двумерное пространство имеет одинаковое количество кристаллических систем, семейств кристаллов и систем решеток. В 2D-пространстве существует четыре кристаллические системы: наклонная , прямоугольная , квадратная и шестиугольная .
Четырехмерная элементарная ячейка определяется четырьмя длинами ребер ( a , b , c , d ) и шестью межосевыми углами ( α , β , γ , δ , ε , ζ ). Следующие условия для параметров решетки определяют 23 кристаллических семейства
Имена здесь даны по Уиттакеру. [3] Они почти такие же, как у Brown et al. , [4] за исключением названий кристаллических семейств 9, 13 и 22. Названия этих трех семейств по Brown et al. даны в скобках.
Связь между четырехмерными кристаллическими семействами, кристаллическими системами и системами решеток показана в следующей таблице. [3] [4] Энантиоморфные системы отмечены звездочкой. В скобках указано количество энантиоморфных пар. Здесь термин «энантиоморфный» имеет иное значение, чем в таблице трехмерных классов кристаллов. Последнее означает, что энантиоморфные точечные группы описывают киральные (энантиоморфные) структуры. В текущей таблице «энантиоморфный» означает, что сама группа (рассматриваемая как геометрический объект) энантиоморфна, как и энантиоморфные пары трехмерных пространственных групп P3 1 и P3 2 , P4 1 22 и P4 3 22. Начиная с четырех- В многомерном пространстве точечные группы также могут быть энантиоморфными в этом смысле.
