В математике аксиома Смейла A определяет класс динамических систем , которые были широко изучены и динамика которых относительно хорошо понята. Ярким примером является подковообразное отображение Смейла . Термин «аксиома A» возник благодаря Стивену Смейлу . [1] [2] Важность таких систем демонстрируется хаотической гипотезой, которая утверждает, что «для всех практических целей» многочастичная термостатированная система аппроксимируется системой Аносова . [3]
Пусть M — гладкое многообразие с диффеоморфизмом f : M → M. Тогда f — аксиома диффеоморфизма A, если выполняются следующие два условия:
Для поверхностей гиперболичность неблуждающего множества подразумевает плотность периодических точек, но это уже не так в более высоких измерениях. Тем не менее, диффеоморфизмы аксиомы A иногда называют гиперболическими диффеоморфизмами , поскольку часть M , где происходит интересная динамика, а именно, Ω ( f ), демонстрирует гиперболическое поведение.
Аксиома А. Диффеоморфизмы обобщают системы Морса–Смейла , которые удовлетворяют дополнительным ограничениям (конечное число периодических точек и трансверсальность устойчивых и неустойчивых подмногообразий). Подковообразное отображение Смейла — это аксиома А. Диффеоморфизм с бесконечным числом периодических точек и положительной топологической энтропией .
Любой диффеоморфизм Аносова удовлетворяет аксиоме А. В этом случае все многообразие M является гиперболическим (хотя остается открытым вопрос, составляет ли неблуждающее множество Ω ( f ) все M ).
Руфус Боуэн показал, что неблуждающее множество Ω ( f ) любого диффеоморфизма аксиомы A поддерживает марковское разбиение . [2] [4] Таким образом, ограничение f на определенное общее подмножество Ω ( f ) сопряжено со сдвигом конечного типа .
Плотность периодических точек в неблуждающем множестве подразумевает его локальную максимальность: существует открытая окрестность U множества Ω ( f ) такая, что
Важным свойством систем Аксиомы А является их структурная устойчивость по отношению к малым возмущениям. [5] То есть траектории возмущенной системы остаются в топологическом соответствии 1-1 с невозмущенной системой. Это свойство важно, поскольку оно показывает, что системы Аксиомы А не являются исключительными, но в некотором смысле «устойчивы».
Точнее, для каждого C 1 - возмущения f ε функции f ее неблуждающее множество образовано двумя компактными, f ε -инвариантными подмножествами Ω 1 и Ω 2 . Первое подмножество гомеоморфно Ω ( f ) посредством гомеоморфизма h , который сопрягает ограничение f на Ω ( f ) с ограничением f ε на Ω 1 :
Если Ω 2 пусто, то h лежит на Ω ( f ε ). Если это так для каждого возмущения f ε , то f называется омега-устойчивым . Диффеоморфизм f является омега-устойчивым тогда и только тогда, когда он удовлетворяет аксиоме A и условию отсутствия цикла (что орбита, однажды покинув инвариантное подмножество, не возвращается).
