Скалярно-тензорная теория

Теория в физике, в которой скаляры и тензоры описывают силу или взаимодействие.

В теоретической физике скалярно -тензорная теория — это теория поля , которая включает в себя как скалярное поле , так и тензорное поле для представления определенного взаимодействия. Например, теория гравитации Бранса–Дикке использует как скалярное поле, так и тензорное поле для опосредования гравитационного взаимодействия .

Тензорные поля и теория поля

Современная физика пытается вывести все физические теории из как можно меньшего количества принципов. Таким образом, ньютоновская механика , а также квантовая механика выводятся из принципа наименьшего действия Гамильтона . В этом подходе поведение системы описывается не силами , а функциями, которые описывают энергию системы. Наиболее важными являются энергетические величины, известные как функция Гамильтона и функция Лагранжа . Их производные в пространстве известны как плотность Гамильтона и плотность Лагранжа . Переход к этим величинам приводит к теориям поля.

Современная физика использует теории поля для объяснения реальности. Эти поля могут быть скалярными , векторными или тензорными . Примером скалярного поля является поле температуры. Примером векторного поля является поле скорости ветра. Примером тензорного поля является поле тензора напряжений в напряженном теле, используемое в механике сплошной среды .

Гравитация как теория поля

В физике силы (как векторные величины) задаются как производная (градиент) скалярных величин, называемых потенциалами. В классической физике до Эйнштейна гравитация задавалась таким же образом, как следствие гравитационной силы (векторной), заданной через скалярное потенциальное поле, зависящее от массы частиц. Таким образом, ньютоновская гравитация называется скалярной теорией . Гравитационная сила зависит от расстояния r массивных объектов друг до друга (точнее, от их центра масс). Масса является параметром, а пространство и время неизменны.

Теория гравитации Эйнштейна, Общая теория относительности (ОТО), имеет другую природу. Она объединяет пространство и время в 4-мерном многообразии, называемом пространством-временем. В ОТО нет гравитационной силы, вместо этого действия, которые мы приписали, будучи силой, являются следствием локальной кривизны пространства-времени. Эта кривизна математически определяется так называемой метрикой , которая является функцией полной энергии, включая массу, в области. Производная метрики является функцией, которая в большинстве случаев приближает классическую ньютоновскую силу. Метрика является тензорной величиной степени 2 (ее можно задать как матрицу 4x4, объект, несущий 2 индекса).

Другая возможность объяснить гравитацию в этом контексте — использовать как тензорные (степени n>1), так и скалярные поля, т. е. так, чтобы гравитация не давалась ни исключительно через скалярное поле, ни исключительно через метрику. Это скалярно-тензорные теории гравитации.

Полевое теоретическое начало общей теории относительности дается через плотность Лагранжа. Это скалярная и калибровочно-инвариантная (см. калибровочные теории ) величина, зависящая от скаляра кривизны R. Этот лагранжиан, следуя принципу Гамильтона, приводит к уравнениям поля Гильберта и Эйнштейна . Если в лагранжиане кривизна (или величина, связанная с ней) умножается на квадрат скалярного поля, получаются полевые теории скалярно-тензорных теорий гравитации. В них гравитационная постоянная Ньютона уже не является действительной константой, а величиной, зависящей от скалярного поля.

Математическая формулировка

Действие такой гравитационной скалярно-тензорной теории можно записать следующим образом:

${\displaystyle S={\frac {1}{c}}\int {d^{4}x{\sqrt {-g}}{\frac {1}{2\mu }}}\times \left[\Phi R-{\frac {\omega (\Phi )}{\Phi }}(\partial _{\sigma }\Phi )^{2}-V(\Phi )+2\mu ~{\mathcal {L}}_{m}(g_{\mu \nu },\Psi )\right],}$

где — метрический определитель, — скаляр Риччи, построенный из метрики , — константа связи с размерностями , — потенциал скалярного поля, — материальный лагранжиан и представляет негравитационные поля. Здесь параметр Бранса–Дикке был обобщен до функции. Хотя часто записывается как , следует иметь в виду, что фундаментальная константа там, — это не константа гравитации , которую можно измерить, например, с помощью экспериментов типа Кавендиша . Действительно, эмпирическая гравитационная постоянная , как правило, больше не является константой в скалярно-тензорных теориях, а является функцией скалярного поля . Уравнения метрики и скалярного поля соответственно записывают: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{-1}M^{-1}T^{2}}$ ${\displaystyle V(\Phi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{m}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 8\pi G/c^{4}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {\mu }{\Phi }}T_{\mu \nu }+{\frac {1}{\Phi }}[\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }-g_{\mu \nu }\Box ]\Phi +{\frac {\omega (\Phi )}{\Phi ^{2}}}(\partial _{\mu }\Phi \partial _{\nu }\Phi -{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }(\partial _{\alpha }\Phi )^{2})-g_{\mu \nu }{\frac {V(\Phi )}{2\Phi }},}$

и

${\displaystyle {\frac {2\omega (\Phi )+3}{\Phi }}\Box \Phi ={\frac {\mu }{\Phi }}T-{\frac {\omega '(\Phi )}{\Phi }}(\partial _{\sigma }\Phi )^{2}+V'(\Phi )-2{\frac {V(\Phi )}{\Phi }}.}$

Кроме того, теория удовлетворяет следующему уравнению сохранения, подразумевающему, что тестовые частицы следуют геодезическим линиям пространства-времени , как в общей теории относительности:

${\displaystyle \nabla _{\sigma }T^{\mu \sigma }=0,}$

где тензор энергии-напряжения определяется как ${\displaystyle T^{\mu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{m})}{\delta g^{\mu \nu }}}.}$

Ньютоновское приближение теории

Развивая пертурбативно теорию, определенную предыдущим действием вокруг минковского фона, и предполагая нерелятивистские гравитационные источники, первый порядок дает ньютоновское приближение теории. В этом приближении и для теории без потенциала метрика записывается как

${\displaystyle g_{00}=-1+2{\frac {U}{c^{2}}}+{\mathcal {O}}(c^{-3}),~g_{0i}={\mathcal {O}}(c^{-2}),~g_{ij}=\delta _{ij}+{\mathcal {O}}(c^{-1}),}$

с удовлетворением следующего обычного уравнения Пуассона в низшем порядке приближения: ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \triangle U=8\pi G_{\mathrm {eff} }~\rho +{\mathcal {O}}(c^{-1}),}$

где — плотность гравитационного источника и (нижний индекс указывает, что соответствующее значение берется в настоящее космологическое время и место). Таким образом, эмпирическая гравитационная постоянная является функцией текущего значения фона скалярного поля и, следовательно, теоретически зависит от времени и места. ^[1] Однако никаких отклонений от постоянства ньютоновской гравитационной постоянной не было измерено, ^[2] что означает, что фон скалярного поля довольно стабилен с течением времени. Такая стабильность теоретически не ожидается, но может быть теоретически объяснена несколькими механизмами. ^[3] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G_{\mathrm {eff} }={\frac {2\omega _{0}+4}{2\omega _{0}+3}}{\frac {G}{\Phi _{0}}}}$ ${\displaystyle _{0}}$ ${\displaystyle \Phi _{0}}$ ${\displaystyle \Phi _{0}}$

Первое постньютоновское приближение теории

Развитие теории на следующем уровне приводит к так называемому первому постньютоновскому порядку. Для теории без потенциала и в системе координат, соблюдающей слабое условие изотропии ^[4] (т.е. ), метрика принимает следующий вид: ${\displaystyle g_{ij}\propto \delta _{ij}+{\mathcal {O}}(c^{-3})\,}$

${\displaystyle g_{00}=-1+{\frac {2W}{c^{2}}}-\beta {\frac {2W^{2}}{c^{4}}}+{\mathcal {O}}(c^{-5})}$

${\displaystyle g_{0i}=-(\gamma +1){\frac {2W_{i}}{c^{3}}}+{\mathcal {O}}(c^{-4})}$

${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}\left(1+\gamma {\frac {2W}{c^{2}}}\right)+{\mathcal {O}}(c^{-3})}$

с ^[5]

${\displaystyle \Box W+{\frac {1+2\beta -3\gamma }{c^{2}}}W\triangle W+{\frac {2}{c^{2}}}(1+\gamma )\partial _{t}J=-4\pi G_{\mathrm {eff} }\Sigma +{\mathcal {O}}(c^{-3})~,}$

${\displaystyle \triangle W_{i}-\partial x_{i}J=-4\pi G_{\mathrm {eff} }\Sigma ^{i}+{\mathcal {O}}(c^{-1})~,}$

где - функция, зависящая от системы координат ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J=\partial _{t}W+\partial _{k}W_{k}+{\mathcal {O}}(c^{-1})~.}$

Это соответствует оставшейся степени свободы диффеоморфизма , которая не фиксируется слабым условием изотропии. Источники определяются как

${\displaystyle \Sigma ={\frac {1}{c^{2}}}(T^{00}+\gamma T^{kk})~,\qquad \Sigma ^{i}={\frac {1}{c}}T^{0i}~,}$

так называемые постньютоновские параметры

${\displaystyle \gamma ={\frac {\omega _{0}+1}{\omega _{0}+2}}~,}$

${\displaystyle \beta =1+{\frac {\omega _{0}^{\prime }}{(2\omega _{0}+3)(2\omega _{0}+4)^{2}}}~,}$

и, наконец, эмпирическая гравитационная постоянная определяется как ${\displaystyle G_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle G_{\mathrm {eff} }={\frac {2\omega _{0}+4}{~2\omega _{0}+3~}}\,G~,}$

где — (истинная) константа, которая появляется в константе связи, определенной ранее. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$

Наблюдательные ограничения теории

Текущие наблюдения показывают, что , ^[2] что означает, что . Хотя объяснение такого значения в контексте исходной теории Бранса–Дикке невозможно, Дэймур и Нордтведт обнаружили, что уравнения поля общей теории часто приводят к эволюции функции к бесконечности в ходе эволюции Вселенной. ^[3] Следовательно, по их мнению, текущее высокое значение функции может быть простым следствием эволюции Вселенной. ${\displaystyle \gamma -1=(2.1\pm 2.3)\times 10^{-5}}$ ${\displaystyle \omega _{0}>40000}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Данные, полученные за семь лет в ходе миссии NASA MESSENGER, ограничивают постньютоновский параметр смещения перигелия Меркурия значением . ^[6] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle |\beta -1|<1.6\times 10^{-5}}$

Оба ограничения показывают, что, хотя теория все еще является потенциальным кандидатом на замену общей теории относительности, скалярное поле должно быть очень слабо связано, чтобы объяснить текущие наблюдения.

Обобщенные скалярно-тензорные теории также предлагались в качестве объяснения ускоренного расширения Вселенной, но измерение скорости гравитации с помощью гравитационно-волнового события GW170817 исключило это. ^{[7] [8] [9] [10] [11]}

Многомерная теория относительности и скалярно-тензорные теории

После постулирования общей теории относительности Эйнштейна и Гильберта Теодор Калуца ​​и Оскар Клейн предложили в 1917 году обобщение в 5-мерном многообразии: теорию Калуцы–Клейна . Эта теория обладает 5-мерной метрикой (с компактифицированной и постоянной 5-й компонентой метрики, зависящей от калибровочного потенциала ) и объединяет гравитацию и электромагнетизм , т. е. имеет место геометризация электродинамики.

Эта теория была модифицирована в 1955 году П. Джорданом в его проективной теории относительности , в которой, следуя групповым рассуждениям, Джордан взял функциональную 5-ю метрическую компоненту, что привело к переменной гравитационной постоянной G. В своей оригинальной работе он ввел параметры связи скалярного поля, чтобы также изменить закон сохранения энергии, согласно идеям Дирака .

Следуя теории конформной эквивалентности , многомерные теории гравитации конформно эквивалентны теориям обычной общей теории относительности в 4 измерениях с дополнительным скалярным полем. Один из случаев этого дается теорией Джордана, которая, не нарушая закона сохранения энергии (как это должно быть справедливо, следуя из того, что микроволновое фоновое излучение является абсолютно черным телом), эквивалентна теории К. Бранса и Роберта Х. Дикке 1961 года, так что обычно говорят о теории Бранса–Дикке . Теория Бранса–Дикке следует идее модификации теории Гильберта-Эйнштейна для совместимости с принципом Маха . Для этого гравитационная постоянная Ньютона должна была быть переменной, зависящей от распределения масс во Вселенной, как функция скалярной переменной, связанной как поле в лагранжиане. Он использует скалярное поле бесконечной шкалы длины (т.е. дальнодействующее), поэтому на языке теории ядерной физики Юкавы это скалярное поле является безмассовым полем . Эта теория становится эйнштейновской при больших значениях параметра скалярного поля.

В 1979 году Р. Ваггонер предложил обобщение скалярно-тензорных теорий, использующее более одного скалярного поля, связанного со скалярной кривизной.

Теории JBD, хотя и не меняют геодезическое уравнение для тестовых частиц, изменяют движение составных тел на более сложное. Связывание универсального скалярного поля непосредственно с гравитационным полем приводит к потенциально наблюдаемым эффектам для движения конфигураций материи, в которые гравитационная энергия вносит значительный вклад. Это известно как эффект «Дике–Нордтведта», который приводит к возможным нарушениям как сильного, так и слабого принципа эквивалентности для протяженных масс.

Теории типа JBD с короткодействующими скалярными полями используют, согласно теории Юкавы, массивные скалярные поля . Первая из этих теорий была предложена А. Зи в 1979 году. Он предложил теорию гравитации с нарушенной симметрией, объединив идею Бранса и Дикке с идеей нарушения симметрии, которая является существенной в Стандартной модели элементарных частиц (СМ) , где так называемое нарушение симметрии приводит к образованию массы (в результате взаимодействия частиц с полем Хиггса). Зи предложил поле Хиггса СМ в качестве скалярного поля и, таким образом, поле Хиггса для генерации гравитационной постоянной.

Взаимодействие поля Хиггса с частицами, которые достигают массы через него, является короткодействующим (т. е. типа Юкавы) и гравитационно-подобным (из него можно получить уравнение Пуассона), даже в рамках СМ, так что идея Зи была принята в 1992 году для скалярно-тензорной теории с полем Хиггса как скалярным полем с механизмом Хиггса. Там массивное скалярное поле взаимодействует с массами, которые в то же время являются источником скалярного поля Хиггса, которое генерирует массу элементарных частиц посредством нарушения симметрии. Для исчезающего скалярного поля эти теории обычно переходят в стандартную Общую теорию относительности, и из-за природы массивного поля для таких теорий возможно, что параметр скалярного поля (константа связи) не должен быть таким высоким, как в стандартных теориях JBD. Хотя пока не ясно, какая из этих моделей лучше объясняет феноменологию, обнаруженную в природе, и действительно ли такие скалярные поля даны или необходимы в природе. Тем не менее, теории JBD используются для объяснения инфляции (для безмассовых скалярных полей говорят о поле инфлатона) после Большого взрыва, а также квинтэссенции . Кроме того, они являются вариантом для объяснения динамики, обычно даваемой через стандартные модели холодной темной материи , а также MOND , Axions (также из Breaking of a Symmetry), MACHOS ,...

Связь с теорией струн

Общим предсказанием всех моделей теории струн является то, что гравитон со спином 2 имеет партнера со спином 0, называемого дилатоном . [ ^12] Следовательно, теория струн предсказывает, что фактическая теория гравитации является скалярно-тензорной теорией, а не общей теорией относительности. Однако точная форма такой теории в настоящее время неизвестна, поскольку нет математических инструментов для решения соответствующих непертурбативных вычислений. Кроме того, точная эффективная 4-мерная форма теории также сталкивается с так называемой проблемой ландшафта .

Смотрите также

• Вырожденные скалярно-тензорные теории высшего порядка  – Теория гравитации
• Дилатон  – Гипотетическая частица
• Частица-хамелеон  – гипотетическая скалярная частица, которая взаимодействует с материей слабее, чем гравитация.
• Прессурон  – Гипотетическая гравитационная частица
• Теория Хорндески  – Обобщенная теория гравитации

Ссылки

1. Галиаутдинов, Андрей; Копейкин, Сергей М. (2016-08-10). "Постньютоновская небесная механика в скалярно-тензорной космологии". Physical Review D. 94 ( 4): 044015. arXiv : 1606.09139 . Bibcode : 2016PhRvD..94d4015G. doi : 10.1103/PhysRevD.94.044015. S2CID  32869795.
2. Uzan, Jean-Philippe (2011-12-01). "Переменные константы, гравитация и космология". Living Reviews in Relativity . 14 (1): 2. arXiv : 1009.5514 . Bibcode : 2011LRR....14....2U. doi : 10.12942/lrr-2011-2 . ISSN  2367-3613. PMC 5256069. PMID 28179829  . 
3. Damour, Thibault ; Nordtvedt, Kenneth (1993-04-12). "Общая теория относительности как космологический аттрактор тензорно-скалярных теорий". Physical Review Letters . 70 (15): 2217–2219. Bibcode :1993PhRvL..70.2217D. doi :10.1103/PhysRevLett.70.2217. PMID  10053505.
4. Дамур, Тибо; Соффель, Майкл; Сюй, Чонгминг (1991-05-15). «Общерелятивистская небесная механика. I. Метод и определение систем отсчета». Physical Review D. 43 ( 10): 3273–3307. Bibcode : 1991PhRvD..43.3273D. doi : 10.1103/PhysRevD.43.3273. PMID  10013281.
5. Минаццоли, Оливье; Шовино, Бертран (2011). «Скалярно-тензорное распространение света во внутренней солнечной системе, включая соответствующие вклады c^{-4} для измерения дальности и передачи времени». Классическая и квантовая гравитация . 28 (8): 085010. arXiv : 1007.3942 . Bibcode : 2011CQGra..28h5010M. doi : 10.1088/0264-9381/28/8/085010. S2CID  119118136.
6. Дженова, Антонио; Мазарико, Эрван; Гуссенс, Сандер; Лемуан, Фрэнк Г.; Нойман, Грегори А.; Смит, Дэвид Э.; Зубер, Мария Т. (18.01.2018). «Расширение Солнечной системы и сильный принцип эквивалентности, наблюдаемый миссией NASA MESSENGER». Nature Communications . 9 (1). Springer Science and Business Media LLC: 289. Bibcode : 2018NatCo...9..289G. doi : 10.1038/s41467-017-02558-1 . ISSN  2041-1723. PMC 5773540. PMID 29348613  . 
7. Ломбрайзер, Лукас ; Лима, Нельсон (2017). «Проблемы самоускорения в модифицированной гравитации из гравитационных волн и крупномасштабной структуры». Physics Letters B. 765 : 382–385. arXiv : 1602.07670 . Bibcode : 2017PhLB..765..382L. doi : 10.1016/j.physletb.2016.12.048. S2CID  118486016.
8. «Поиск разгадки теории Эйнштейна может скоро закончиться». phys.org . 10 февраля 2017 г. Получено 29 октября 2017 г.
9. "Теоретическая битва: Темная энергия против модифицированной гравитации". Ars Technica . 25 февраля 2017 г. Получено 27 октября 2017 г.
10. Ezquiaga, Jose María; Zumalacárregui, Miguel (2017-12-18). «Темная энергия после GW170817: тупики и дорога вперед». Physical Review Letters . 119 (25): 251304. arXiv : 1710.05901 . Bibcode : 2017PhRvL.119y1304E. doi : 10.1103/PhysRevLett.119.251304. PMID  29303304. S2CID  38618360.
11. Creminelli, Paolo; Vernizzi, Filippo (2017-12-18). "Темная энергия после GW170817 и GRB170817A". Physical Review Letters . 119 (25): 251302. arXiv : 1710.05877 . Bibcode : 2017PhRvL.119y1302C. doi : 10.1103/PhysRevLett.119.251302. PMID  29303308. S2CID  206304918.
12. Дамур, Тибо ; Пьяцца, Федерико; Венециано, Габриэле (2002-08-05). «Убегающий Дилатон и нарушения принципа эквивалентности». Physical Review Letters . 89 (8): 081601. arXiv : gr-qc/0204094 . Bibcode : 2002PhRvL..89h1601D. doi : 10.1103/PhysRevLett.89.081601. PMID  12190455. S2CID  14136427.

• П. Джордан, Schwerkraft und Weltall , Vieweg (Брауншвейг), 1955: Проективная теория относительности. Первая статья по теориям JBD.
• CH Brans и RH Dicke, Phys. Rev. 124 : 925, 1061: Теория Бранса–Дикке, исходящая из принципа Маха.
• Р. Вагонер, Phys. Rev. D1 (812): 3209, 2004: Теории JBD с более чем одним скалярным полем.
• A. Zee, Phys. Rev. Lett. 42 (7): 417, 1979: Сломанно-симметричная скалярно-тензорная теория.
• Х. Денен и Х. Фроммерт, Int. J. Theor. Phys. 30 (7): 985, 1991: Гравитационно-подобное и короткодействующее взаимодействие полей Хиггса в рамках Стандартной модели элементарных частиц.
• H. Dehnen et al. , Int. J. Theor. Phys. 31 (1): 109, 1992: Скалярно-тензорная теория с полем Хиггса.
• CH Brans, июнь 2005 г.: Корни скалярно-тензорных теорий. arXiv :gr-qc/0506063. Обсуждается история попыток построения теорий гравитации со скалярным полем и связь с принципом эквивалентности и принципом Маха.
• PG Bergmann (1968). «Комментарии к скалярно-тензорной теории». Int. J. Theor. Phys . 1 (1): 25–36. Bibcode :1968IJTP....1...25B. doi :10.1007/BF00668828. S2CID  119985328.
• Р. Вагонер (1970). «Теория скалярного тензора и гравитационные волны». Phys. Rev. D1 ( 12): 3209–3216. Bibcode :1970PhRvD...1.3209W. doi :10.1103/physrevd.1.3209.