n-скелет

Понятие в алгебраической топологии

Этот граф гиперкуба является 1- скелетом тессеракта .

В математике , в частности в алгебраической топологии , n - скелет топологического пространства X, представленного как симплициальный комплекс (соответственно CW-комплекс ), относится к подпространству X _n , которое является объединением симплексов X (соответственно ячеек X ) размерностей m ≤ n . Другими словами, при индуктивном определении комплекса n -скелет получается остановкой на n -м шаге .

Эти подпространства увеличиваются с n . 0-скелет является дискретным пространством , а 1-скелет является топологическим графом . Скелеты пространства используются в теории препятствий , для построения спектральных последовательностей с помощью фильтраций и в целом для создания индуктивных аргументов . Они особенно важны, когда X имеет бесконечную размерность, в том смысле, что X _n не становится постоянным при n → ∞.

В геометрии

В геометрии k -скелет n - политопа P (функционально представленный как skel _k ( P )) состоит из всех элементов i -политопа размерности до k . ^[1 ]

Например:

skel ₀ (куб) = 8 вершин

skel ₁ (куб) = 8 вершин, 12 ребер

skel ₂ (куб) = 8 вершин, 12 ребер, 6 квадратных граней

Для симплициальных множеств

Приведенное выше определение скелета симплициального комплекса является частным случаем понятия скелета симплициального множества . Коротко говоря, симплициальное множество может быть описано набором множеств , вместе с гранями и отображениями вырожденности между ними, удовлетворяющими ряду уравнений. Идея n -скелета состоит в том, чтобы сначала отбросить множества с , а затем дополнить набор с до "наименьшего возможного" симплициального множества так, чтобы полученное симплициальное множество не содержало невырожденных симплексов в степенях . ${\displaystyle K_{*}}$ ${\displaystyle K_{i},\ i\geq 0}$ ${\displaystyle sk_{n}(K_{*})}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle i>n}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle i\leq n}$ ${\displaystyle i>n}$

Точнее, функтор ограничения

${\displaystyle i_{*}:\Delta ^{op}Sets\rightarrow \Delta _{\leq n}^{op}Sets}$

имеет левый сопряженный, обозначаемый . ^[2] (Обозначения сравнимы с обозначениями функторов образа для пучков .) n -скелет некоторого симплициального множества определяется как ${\displaystyle i^{*}}$ ${\displaystyle i^{*},i_{*}}$ ${\displaystyle K_{*}}$

${\displaystyle sk_{n}(K):=i^{*}i_{*}K.}$

Коскелет

Более того, имеет правый сопряженный . N -коскелет определяется как ${\displaystyle i_{*}}$ ${\displaystyle i^{!}}$

${\displaystyle cosk_{n}(K):=i^{!}i_{*}K.}$

Например, 0-скелет K — это постоянное симплициальное множество, определяемое . 0-коскелет задается нервом Чеха ${\displaystyle K_{0}}$

${\displaystyle \dots \rightarrow K_{0}\times K_{0}\rightarrow K_{0}.}$

(Граничные и вырожденные морфизмы задаются различными проекциями и диагональными вложениями соответственно.)

Вышеуказанные конструкции работают и для более общих категорий (вместо множеств), при условии, что категория имеет волокнистые произведения . Коскелет необходим для определения концепции гиперпокрытия в гомотопической алгебре и алгебраической геометрии . ^[3]

Ссылки

1. Питер МакМаллен , Эгон Шульте , Абстрактные правильные многогранники, Cambridge University Press, 2002. ISBN  0-521-81496-0 (стр. 29)
2. Goerss, PG; Jardine, JF (1999), Симплициальная гомотопическая теория , Progress in Mathematics, т. 174, Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1, раздел IV.3.2
3. Артин, Майкл ; Мазур, Барри (1969), Этальная гомотопия , Lecture Notes in Mathematics, № 100, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Скелет». MathWorld .