Функторы изображений для пучков

В математике , особенно в теории пучков — области, применяемой в таких областях, как топология , логика и алгебраическая геометрия — существует четыре функтора изображения для пучков , которые связаны друг с другом в различных смыслах.

Дано непрерывное отображение f : X → Y топологических пространств и категория Sh(–) пучков абелевых групп на топологическом пространстве. Рассматриваемые функторы — это

• прямое изображение f _∗  : Sh( X ) → Sh( Y )
• прообраз f ^∗  : Sh( Y ) → Sh( X )
• прямое изображение с компактным носителем f _!  : Sh( X ) → Sh( Y )
• исключительный прообраз Rf ^!  : D (Sh( Y )) → D (Sh( X )).

Восклицательный знак часто произносится как « шрайк » (сленговое название восклицательного знака), а карты называются « ф -шрайк» или « ф- нижний-шрайк» и « ф- верхний-шрайк» — см. также карту шрайка .

Исключительный обратный образ в общем случае определяется только на уровне производных категорий . Аналогичные соображения применимы к этальным пучкам на схемах .

Примыкание

Функторы сопряжены друг с другом, как показано справа, где, как обычно, означает, что F является левым сопряженным к G (эквивалентно G является правым сопряженным к F ), т.е. ${\displaystyle F\leftrightarrows G}$

Hom ( F ( A ), B ) ≅ Hom( A , G ( B ))

для любых двух объектов A , B в двух категориях , смежных с F и G.

Например, f ^∗ — левый сопряженный к f _* . Согласно стандартным рассуждениям с отношениями сопряженности существуют естественные единичные и коединичные морфизмы и для на Y и на X соответственно. Однако они почти никогда не являются изоморфизмами — см. пример локализации ниже. ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{*}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Двойственность Вердье

Двойственность Вердье дает еще одну связь между ними: говоря морально, она меняет местами "∗" и "!", т.е. в приведенном выше синопсисе она меняет местами функторы по диагоналям. Например, прямой образ является двойственным прямому образу с компактным носителем. Это явление изучается и используется в теории извращенных пучков .

Изменение базы

Другим полезным свойством функторов образа является изменение базы . При заданных непрерывных отображениях и , которые индуцируют морфизмы и , существует канонический изоморфизм . ${\displaystyle f:X\rightarrow Z}$ ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$ ${\displaystyle {\bar {f}}:X\times _{Z}Y\rightarrow Y}$ ${\displaystyle {\bar {g}}:X\times _{Z}Y\rightarrow X}$ ${\displaystyle R{\bar {f}}_{*}R{\bar {g}}^{!}\cong Rf^{!}Rg_{*}}$

Локализация

В частной ситуации замкнутого подпространства i : Z ⊂ X и дополнительного открытого подмножества j : U ⊂ X ситуация упрощается настолько, что для j ^∗ = j ^! и i _! = i _∗ и для любого пучка F на X получаются точные последовательности

0 → j _! j ^∗ F → F → i _∗ i ^∗ F → 0

Его Вердье двойное прочтение

я _* Ри ^! F → F → Rj _* j ^* F → я _* Ri ^! Ф [1],

выделенный треугольник в производной категории пучков на X.

Отношения сопряженности в этом случае читаются

${\displaystyle i^{*}\leftrightarrows i_{*}=i_{!}\leftrightarrows i^{!}}$

и

${\displaystyle j_{!}\leftrightarrows j^{!}=j^{*}\leftrightarrows j_{*}}$.

Смотрите также

• Шесть операций

Ссылки

• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, МР  0842190рассматривает топологическую настройку
• Артин, Майкл (1972). Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Том. 305. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. vi+640. дои : 10.1007/BFb0070714. ISBN 978-3-540-06118-2. рассматривает случай этальных пучков на схемах. См. Exposé XVIII, раздел 3.
• Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7является еще одной ссылкой на случай étale.