Скорость энерговыделения (механика разрушения)

В механике разрушения скорость выделения энергии - это скорость, с которой энергия преобразуется при разрушении материала . Математически скорость выделения энергии выражается как уменьшение общей потенциальной энергии при увеличении площади поверхности трещины ^{[1] [2]} и, таким образом, выражается в единицах энергии на единицу площади. Могут быть построены различные энергетические балансы, связывающие энергию, выделяющуюся при разрушении, с энергией образующейся новой поверхности, а также с другими диссипативными процессами, такими как пластичность и тепловыделение. Скорость выделения энергии занимает центральное место в области механики разрушения при решении задач и оценке свойств материала, связанных с разрушением и усталостью . ${\displaystyle G}$

Определение

График зависимости нагрузки от смещения

Скорость энерговыделения определяется ^[3] как мгновенная потеря полной потенциальной энергии на единицу площади роста трещины , ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle G\equiv -{\frac {\partial \Pi }{\partial s}},}$

где полная потенциальная энергия выражается через полную энергию деформации , поверхностную тягу , перемещение и массовую силу : ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

${\displaystyle \Pi =\Omega -\left\{\int _{{\mathcal {S}}_{t}}\mathbf {t} \cdot \mathbf {u} \,dS+\int _{\mathcal {V}}\mathbf {b} \cdot \mathbf {u} \,dV\right\}.}$

Первый интеграл – по поверхности материала, второй – по его объему . ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle V}$

На рисунке справа показан график зависимости внешней силы от смещения точки нагрузки , где площадь под кривой представляет собой энергию деформации. Белая область между кривой и осью - называется дополнительной энергией. В случае линейно-упругого материала – прямая линия , а энергия деформации равна дополнительной энергии. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P(q)}$

Предписанное смещение

В случае заданного смещения энергия деформации может быть выражена через заданное перемещение и поверхность трещины , причем на изменение этой энергии деформации влияет только изменение площади поверхности разрушения: . Соответственно, скорость энерговыделения в этом случае выражается как ^[3] ${\displaystyle \Omega (q,s)}$ ${\displaystyle \delta \Omega =(\partial \Omega /\partial s)\delta s}$

${\displaystyle G=-\left.{\frac {\partial \Omega }{\partial s}}\right|_{q}.}$

Именно здесь можно точно назвать скорость выделения энергии деформации. ${\displaystyle G}$

Предписанные нагрузки

Когда вместо смещения задана нагрузка, энергию деформации необходимо изменить как . Затем скорость энерговыделения рассчитывается как ^[3] ${\displaystyle \Omega (q(P,s),s)}$

${\displaystyle G=-\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\right|_{P}\left(\Omega -Pq\right).}$

Если материал линейно-упругий, то вместо этого можно написать ${\displaystyle \Omega =Pq/2}$

${\displaystyle G=\left.{\frac {\partial \Omega }{\partial s}}\right|_{P}.}$

G в двумерных случаях

В случае двумерных задач изменение площади роста трещины представляет собой просто изменение длины трещины, умноженной на толщину образца. А именно, . Следовательно, уравнение для вычислений можно модифицировать для 2D случая: ${\displaystyle \partial s=B\partial a}$ ${\displaystyle G}$

• Предписанное смещение: ${\displaystyle G=-\left.{\frac {1}{B}}{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}\right|_{q}.}$
• Предписанная нагрузка: ${\displaystyle G=-\left.{\frac {1}{B}}{\frac {\partial }{\partial a}}\right|_{P}\left(\Omega -Pq\right).}$
• Предписанная нагрузка, линейная упругость: ${\displaystyle G=\left.{\frac {1}{B}}{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}\right|_{P}.}$

Для получения дополнительной информации можно обратиться к примерам вычислений, приведенным в следующем разделе. Иногда энергию деформации обозначают как энергию на единицу толщины. Это дает ${\displaystyle U=\Omega /B}$

• Предписанное смещение: ${\displaystyle G=-\left.{\frac {\partial U}{\partial a}}\right|_{q}.}$
• Предписанная нагрузка: ${\displaystyle G=-\left.{\frac {\partial }{\partial a}}\right|_{P}\left(U-{\frac {Pq}{B}}\right).}$
• Предписанная нагрузка, линейная упругость: ${\displaystyle G=\left.{\frac {\partial U}{\partial a}}\right|_{P}.}$

Связь с факторами интенсивности стресса

Скорость выделения энергии напрямую связана с коэффициентом интенсивности напряжения , связанным с данным двумерным режимом нагружения ( режим I, режим II или режим III ), когда трещина растет прямо вперед. ^[3] Это применимо к трещинам под действием плоского напряжения , плоской деформации и антиплоского сдвига .

Для режима I скорость выделения энергии связана с коэффициентом интенсивности напряжения режима I для линейно-упругого материала соотношением ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K_{I}}$

${\displaystyle G={\frac {K_{I}^{2}}{E'}},}$

где связано с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона в зависимости от того, находится ли материал под плоским напряжением или плоской деформацией: ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle E'={\begin{cases}E,&\mathrm {plane~stress} ,\\\\{\dfrac {E}{1-\nu ^{2}}},&\mathrm {plane~strain} .\end{cases}}}$

Для режима II скорость выделения энергии аналогично записывается как

${\displaystyle G={\frac {K_{II}^{2}}{E'}}.}$

Для режима III (антиплоский сдвиг) скорость выделения энергии теперь является функцией модуля сдвига : ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle G={\frac {K_{III}^{2}}{2\mu }}.}$

Для произвольной комбинации всех режимов нагружения эти линейно-упругие решения можно совместить как

${\displaystyle G={\frac {K_{I}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{II}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{III}^{2}}{2\mu }}.}$

Связь с вязкостью разрушения

Рост трещины начинается, когда скорость энерговыделения превышает критическое значение , которое является свойством материала, ${\displaystyle G_{c}}$

${\displaystyle G\geq G_{c},}$

При нагрузке в режиме I критическая скорость выделения энергии связана с вязкостью разрушения в режиме I , еще одним свойством материала, соотношением ${\displaystyle G_{c}}$ ${\displaystyle K_{IC}}$

${\displaystyle G_{c}={\frac {K_{IC}^{2}}{E'}}.}$

Вычисление G

Существует множество методов расчета скорости энерговыделения с учетом свойств материала, геометрии образца и условий нагрузки. Некоторые из них зависят от соблюдения определенных критериев, например, от того, что материал полностью эластичен или даже линейно-эластичен, и/или что трещина должна расти прямо вперед. Единственный представленный метод, работающий произвольно, — это использование полной потенциальной энергии. Если оба метода применимы, они должны давать одинаковые скорости выделения энергии.

Полная потенциальная энергия

Единственный метод расчета для произвольных условий — это вычисление полной потенциальной энергии и дифференцирование ее по площади поверхности трещины. Обычно это делается: ${\displaystyle G}$

• расчет поля напряжений, возникающего в результате нагружения,
• расчет энергии деформации материала, возникающей в результате поля напряжений,
• расчет работы, совершаемой внешними нагрузками,

все с точки зрения площади поверхности трещины.

Метод соответствия

Если материал линейно упругий, расчет скорости его энерговыделения может быть значительно упрощен. В этом случае кривая зависимости нагрузки от смещения точки нагрузки является линейной с положительным наклоном, а смещение на единицу приложенной силы определяется как податливость, ^[3] ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C={\frac {q}{P}}.}$

Соответствующая энергия деформации (площадь под кривой) равна ^[3] ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{2}}Pq={\frac {1}{2}}{\frac {q^{2}}{C}}={\frac {1}{2}}P^{2}C.}$

Используя метод податливости, можно показать, что скорость энерговыделения для обоих случаев заданной нагрузки и перемещения оказывается равной ^[3]

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}P^{2}{\frac {\partial C}{\partial s}}.}$

Методы использования нескольких образцов для нелинейных материалов

Графическое изображение G в условиях фиксированного смещения и фиксированной нагрузки

В случае заданного смещения при фиксированной длине трещины скорость энерговыделения можно рассчитать по формуле ^[3]

${\displaystyle G=-\int _{0}^{q}{\frac {\partial P}{\partial s}}\,dq,}$

в то время как в случае предписанной нагрузки ^[3]

${\displaystyle G=\int _{0}^{P}{\frac {\partial q}{\partial s}}\,dP.}$

Как можно видеть, в обоих случаях скорость выделения энергии, умноженная на изменение поверхности, возвращает площадь между кривыми, которая указывает энергию, рассеиваемую на новой площади поверхности, как показано на рисунке справа ^[3] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle Gds=-ds\int _{0}^{q}{\frac {\partial P}{\partial s}}\,dq=ds\int _{0}^{P}{\frac {\partial q}{\partial s}}\,dP.}$

Интегральное закрытие трещины

Поскольку скорость энерговыделения определяется как отрицательная производная полной потенциальной энергии по росту поверхности трещины, скорость энерговыделения можно записать как разницу между потенциальной энергией до и после роста трещины. После некоторых тщательных выводов это приводит к интегралу закрытия трещины ^[3]

${\displaystyle G=\lim _{\Delta s\to 0}-{\frac {1}{\Delta s}}\int _{\Delta s}{\frac {1}{2}}\,t_{i}^{0}\left(\Delta u_{i}^{+}-\Delta u_{i}^{-}\right)\,dS,}$

где – новая площадь поверхности разрушения, – компоненты тяги, возникающие на верхней поверхности разрушения по мере роста трещины, – компоненты смещения раскрытия трещины (разница в шагах смещения между верхней и нижней поверхностями трещины), интеграл находится по поверхности материала . ${\displaystyle \Delta s}$ ${\displaystyle t_{i}^{0}}$ ${\displaystyle \Delta u_{i}^{+}-\Delta u_{i}^{-}}$ ${\displaystyle S}$

Интеграл закрытия трещины справедлив только для упругих материалов, но справедлив и для трещин, растущих в любом направлении. Тем не менее, для двумерной трещины, которая действительно растет прямо вперед, интеграл закрытия трещины упрощается до ^[3]

${\displaystyle G=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{0}^{\Delta a}\sigma _{i2}(x_{1},0)u_{i}(\Delta a-x_{1},\pi )\,dx_{1},}$

где – новая длина трещины, а компоненты смещения записаны в зависимости от полярных координат и . ${\displaystyle \Delta a}$ ${\displaystyle r=\Delta a-x_{1}}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$

J - интеграл

В определенных ситуациях скорость энерговыделения можно рассчитать с помощью J-интеграла , т.е. используя ^[3] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=J}$

${\displaystyle J=\int _{\Gamma }\left(Wn_{1}-t_{i}\,{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{1}}}\right)\,d\Gamma ,}$

где – плотность энергии упругой деформации, – составляющая единичного вектора, нормальная к , кривая, используемая для линейного интеграла, – компоненты вектора тяги , где – тензор напряжений, – компоненты вектора смещения. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle u_{i}}$

Этот интеграл равен нулю на простом замкнутом пути и не зависит от пути , что позволяет использовать для расчета любой простой путь, начинающийся и заканчивающийся на берегах трещины . Для того чтобы приравнять скорость энерговыделения J-интегралу , необходимо выполнение следующих условий: ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle G=J}$

• трещина должна расти прямо вперед, и
• деформация вблизи трещины (обведена ) должна быть упругой (не пластической). ${\displaystyle \Gamma }$

J-интеграл можно вычислить и с нарушением этих условий, но тогда . Если они не нарушены, то можно связать скорость энерговыделения и J-интеграл с модулями упругости и коэффициентами интенсивности напряжений, используя ^[3] ${\displaystyle G\neq J}$

${\displaystyle G=J={\frac {K_{I}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{II}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{III}^{2}}{2\mu }}.}$

Вычислительные методы в механике разрушения

Существует несколько методов вычислений с использованием конечных элементов. Хотя прямой расчет J-интеграла возможен (с использованием деформаций и напряжений, выдаваемых методом FEA ), существуют приближенные подходы для некоторых типов роста трещин, которые обеспечивают достаточную точность при простых расчетах. В этом разделе будут подробно рассмотрены некоторые относительно простые методы анализа трещин с использованием численного моделирования. ${\displaystyle G}$

Узловой метод выпуска

Если трещина растет прямолинейно, скорость энерговыделения можно разложить как сумму трех слагаемых , связанных с энергией в каждых трех модах. В результате для определения результатов FEA можно использовать метод Nodal Release (NR). Скорость энерговыделения рассчитывается в узлах сетки конечных элементов для трещины начальной длины и продолженной на небольшое расстояние . Сначала мы вычисляем изменение смещения в интересующем узле (до и после освобождения узла вершины трещины). Во-вторых, мы отслеживаем узловую силу, создаваемую FEA. Наконец, мы можем найти каждый компонент, используя следующие формулы: ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle \Delta a}$ ${\displaystyle \Delta {\vec {u}}={\vec {u}}^{(t+1)}-{\vec {u}}^{(t)}}$ ${\displaystyle {\vec {F}}}$ ${\displaystyle G}$

Рисунок 1: Раскрытие трещины между двумя последовательными временными шагами с использованием узлового освобождения (NR).

$${\displaystyle G_{1}^{\text{NR}}={\frac {1}{\Delta a}}F_{2}{\frac {\Delta u_{2}}{2}}}$$

$${\displaystyle G_{2}^{\text{NR}}={\frac {1}{\Delta a}}F_{1}{\frac {\Delta u_{1}}{2}}}$$

$${\displaystyle G_{3}^{\text{NR}}={\frac {1}{\Delta a}}F_{3}{\frac {\Delta u_{3}}{2}}}$$

${\displaystyle \Delta a}$ ${\displaystyle G=\lim _{\Delta a\to 0}G^{\text{NR}}}$

Если скорость энерговыделения превысит критическое значение, трещина будет расти. В этом случае выполняется новое моделирование FEA (для следующего временного шага), при котором узел на вершине трещины освобождается. Для ограниченной подложки мы можем просто прекратить применять фиксированные граничные условия Дирихле в узле вершины трещины предыдущего временного шага (т. е. смещения больше не ограничиваются). Для симметричной трещины нам потребуется обновить геометрию домена, увеличив раскрытие трещины (и, следовательно, создать новую сетку ^[5] ).

Модифицированный интеграл закрытия трещин

Подобно методу узлового высвобождения, модифицированный интеграл закрытия трещины (MCCI) представляет собой метод расчета скорости выделения энергии с использованием узловых смещений и сил FEA . ^{[6] [7]} Где представляет направление, соответствующее декартовым базисным векторам с началом в вершине трещины, и представляет узловой индекс. MCCI более эффективен в вычислительном отношении, чем метод узлового освобождения, поскольку он требует только одного анализа для каждого приращения роста трещины. ${\displaystyle (u_{i}^{j})}$ ${\displaystyle (F_{i}^{j})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Необходимым условием метода MCCI является равномерная длина элемента вдоль поверхности трещины в направлении. Кроме того, этот метод требует достаточной дискретизации, чтобы по длине одного элемента поля напряжений были самоподобными . Это означает, что трещина распространяется. Ниже приведены примеры метода MCCI с двумя типами общих конечных элементов. ${\displaystyle (\Delta a)}$ ${\displaystyle x_{1}-}$ ${\displaystyle K(a+\Delta a)\approx K(a)}$

4-узловые элементы

Рисунок 2: Схема процесса MCCI для 4-узловых линейных прямоугольных элементов.

Квадратные линейные элементы с 4 узлами, показанные на рисунке 2, имеют расстояние между узлами и равное Рассмотрите трещину с вершиной, расположенной в узле. Аналогично методу узлового освобождения, если бы трещина распространялась на одну длину элемента вдоль линии симметрии ( параллельно оси -) смещение раскрытия трещины будет смещением на вершине предыдущей трещины, т. е. и сила на вершине новой трещины будет равна Поскольку рост трещины предполагается самоподобным, смещение в узле после распространения трещины равен смещению в узле до распространения трещины. Эту же концепцию можно применить к силам в узле. Используя тот же метод, который показан в разделе узлового высвобождения, мы восстанавливаем следующие уравнения для скорости выделения энергии: ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j+1}$ ${\displaystyle \Delta a.}$ ${\displaystyle j.}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u^{j}}}}$ ${\displaystyle (j+1)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{j+1}.}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j-1}$ ${\displaystyle j+1}$ ${\displaystyle j.}$

${\displaystyle G_{1}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}F_{2}^{j}{\Delta u_{2}^{j-1}}}$

${\displaystyle G_{2}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}F_{1}^{j}{\Delta u_{1}^{j-1}}}$

${\displaystyle G_{3}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}F_{3}^{j}{\Delta u_{3}^{j-1}}}$

Где (смещение выше и ниже поверхности трещины соответственно). Поскольку у нас есть линия симметрии, параллельная трещине, мы можем предположить ${\displaystyle \Delta u_{i}^{j-1}=u_{i}^{(+)j-1}-u_{i}^{(-)j-1}}$ ${\displaystyle u_{i}^{(+)j-1}=-u_{i}^{(-)j-1}.}$

Таким образом, ${\displaystyle \Delta u_{i}^{j-1}=2u_{i}^{(+)j-1}.}$

8-узловые элементы

Рисунок 3: Схема процесса MCCI для 9-узловых квадратных прямоугольных элементов.

Прямоугольные элементы с 8 узлами, показанные на рисунке 3, имеют квадратичные базисные функции . Процесс расчета G такой же, как и для 4-узловых элементов, за исключением того, что (рост трещины по одному элементу) теперь представляет собой расстояние от узла до. Еще раз, делая предположение о самоподобном прямолинейном росте трещины, скорость энерговыделения можно рассчитать с помощью следующих уравнений: ${\displaystyle \Delta a}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j+2.}$

${\displaystyle G_{1}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}\left(F_{2}^{j}{\Delta u_{2}^{j-2}}+F_{2}^{j+1}{\Delta u_{2}^{j-1}}\right)}$

${\displaystyle G_{2}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}\left(F_{1}^{j}{\Delta u_{1}^{j-2}}+F_{1}^{j+1}{\Delta u_{1}^{j-1}}\right)}$

${\displaystyle G_{3}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}\left(F_{3}^{j}{\Delta u_{3}^{j-2}}+F_{3}^{j+1}{\Delta u_{3}^{j-1}}\right)}$

Как и в случае метода узлового освобождения, точность MCCI сильно зависит от уровня дискретизации вдоль вершины трещины, т.е. точность также зависит от выбора элемента. Сетка из 8-узловых квадратных элементов может давать более точные результаты, чем сетка из 4-узловых линейных элементов с тем же количеством степеней свободы ^[8] в сетке. ${\displaystyle G=\lim _{\Delta a\to 0}G^{\text{MCCI}}.}$

Интегральный подход для J

Рисунок 4: Контурный интеграл для J-интеграла

J-интеграл может быть рассчитан непосредственно с использованием сетки конечных элементов и функций формы. ^[9] Мы рассматриваем контур области, как показано на рисунке 4, и выбираем произвольную гладкую функцию такую, что on и on . ${\displaystyle {\tilde {q}}(x_{1},x_{2})=\sum _{i}N_{i}(x_{1},x_{2}){\tilde {q}}_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {q}}=1}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\tilde {q}}=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$

Для линейно-упругих трещин, растущих прямолинейно, . Затем скорость выделения энергии можно рассчитать по площади, ограниченной контуром, используя обновленную формулировку: ${\displaystyle G=J}$ ${\displaystyle J=\int _{\mathcal {A}}(\sigma _{ij}u_{i,1}{\tilde {q}}_{,j}-W{\tilde {q}}_{,1})d{\mathcal {A}}}$

Приведенную выше формулу можно применить к любой кольцевой области, окружающей вершину трещины (в частности, можно использовать набор соседних элементов). Этот метод очень точен даже при наличии крупной сетки вокруг вершины трещины (можно выбрать область интегрирования, расположенную далеко, где напряжения и перемещения менее чувствительны к измельчению сетки).

Особые элементы вершины двумерной трещины

Упомянутые выше методы расчета скорости энерговыделения асимптотически приближаются к реальному решению с повышенной дискретностью, но не могут полностью уловить сингулярность вершины трещины. Более точное моделирование можно выполнить, используя элементы четверти точки вокруг вершины трещины. ^[10] Эти элементы имеют встроенную особенность, которая более точно создает поля напряжений вокруг вершины трещины. Преимущество метода четверти точки заключается в том, что он позволяет создавать более грубые сетки конечных элементов и значительно снижает вычислительные затраты. Более того, эти элементы получены в результате небольших модификаций обычных конечных элементов без необходимости использования специальных вычислительных программ для анализа. Для целей этого раздела будут рассмотрены упругие материалы, хотя этот метод можно распространить на механику упругопластического разрушения . ^{[11] [12] [13] [14]} При условии идеальной упругости поля напряжений будут испытывать сингулярность вершины трещины. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$

8-узловой изопараметрический элемент

Рисунок 5: Сопоставленный и родительский элемент 8-узлового изопараметрического конечного элемента. Обратите внимание на расположение узлов в отображаемом элементе.

Квадратичный элемент с 8 узлами описывается на рисунке 5 как в родительском пространстве с локальными координатами, так и отображаемым элементом в физическом/глобальном пространстве с помощью и Родительский элемент отображается из локального пространства в физическое пространство с помощью функций формы и координаты степени свободы. Вершина трещины расположена в точке или ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle N_{i}(\xi ,\eta )}$ ${\displaystyle (x_{i},y_{i}).}$ ${\displaystyle \xi =-1,\eta =-1}$ ${\displaystyle x=0,y=0.}$

${\displaystyle x(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )x_{i}}$

${\displaystyle y(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )y_{i}}$

Аналогичным образом можно также отобразить смещения (определяемые как ). ${\displaystyle u\equiv u_{1},v\equiv u_{2}}$

${\displaystyle u(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )u_{i}}$

${\displaystyle v(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )v_{i}}$

Свойством функций формы в методе конечных элементов является компактная поддержка , в частности свойство дельты Кронекера (т. е. в узле и ноль во всех остальных узлах). Это приводит к следующим функциям формы для 8-узловых квадратичных элементов: ^[8] ${\displaystyle N_{i}=1}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle N_{1}={\frac {-(\xi -1)(\eta -1)(1+\eta +\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{2}={\frac {(\xi +1)(\eta -1)(1+\eta -\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{3}={\frac {(\xi +1)(\eta +1)(-1+\eta +\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{4}={\frac {-(\xi -1)(\eta +1)(-1+\eta -\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{5}={\frac {(1-\xi ^{2})(1-\eta )}{2}}}$

${\displaystyle N_{6}={\frac {(1+\xi )(1-\eta ^{2})}{2}}}$

${\displaystyle N_{7}={\frac {(1-\xi ^{2})(1+\eta )}{2}}}$

${\displaystyle N_{8}={\frac {(1-\xi )(1-\eta ^{2})}{2}}}$

При рассмотрении линии перед трещиной, которая коллинеарна оси - (т.е. ), все базисные функции равны нулю, за исключением ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N_{i}(\xi ,\eta =-1)}$ ${\displaystyle N_{1,2,5}.}$

${\displaystyle N_{1}(\xi ,-1)=-{\frac {\xi (1-\xi )}{2}}}$

${\displaystyle N_{2}(\xi ,-1)={\frac {\xi (1+\xi )}{2}}}$

${\displaystyle N_{5}(\xi ,-1)=(1-\xi ^{2})}$

Расчет нормальной деформации включает использование цепного правила для получения производной смещения по отношению к ${\displaystyle x.}$

${\displaystyle \gamma _{xx}={\frac {\partial u}{\partial x}}=\sum _{i=1,2,5}{\frac {\partial N_{i}}{\partial \xi }}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}u_{i}}$

Рисунок 6: Треугольный элемент, сопоставленный с прямоугольным элементом с 8 узлами.

Если узлы расположены на прямоугольном элементе равномерно, то деформация не будет содержать особенности. Переместив положение узлов 5 и 8 на четверть длины элемента ближе к вершине трещины, как показано на рисунке 5, отображение будет выглядеть следующим образом: ${\displaystyle ({\tfrac {L}{4}})}$ ${\displaystyle \xi \rightarrow x}$

${\displaystyle x(\xi )={\frac {\xi (1+\xi )}{2}}L+(1-\xi ^{2}){\frac {L}{4}}}$

Решение и получение производной приводит к: ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi (x)=-1+2{\sqrt {\frac {x}{L}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \xi }{\partial x}}={\frac {1}{\sqrt {xL}}}}$

Подставляя этот результат в уравнение деформации, получаем окончательный результат:

${\displaystyle \gamma _{xx}={\frac {4}{L}}\left({\frac {u_{2}}{2}}-u_{5}\right)+{\frac {1}{\sqrt {xL}}}\left(2u_{5}-{\frac {u_{2}}{5}}\right)}$

Перемещение средних узлов в четверть положения приводит к правильной сингулярности вершины трещины. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$

Другие типы элементов

Рисунок 7. Элемент естественного треугольника.

Метод прямоугольных элементов не позволяет легко создавать сетку отдельных элементов вокруг вершины трещины. Это препятствует возможности улавливать угловую зависимость полей напряжений, что имеет решающее значение для определения пути трещины. Кроме того, за исключением краев элемента, сингулярность существует в очень маленькой области вблизи вершины трещины. На рисунке 6 показан другой метод четверти точки для моделирования этой особенности. Прямоугольный элемент с 8 узлами можно преобразовать в треугольник. ^[15] Это делается путем свертывания узлов на линии в положение среднего узла и перемещения средних узлов в положение четверти точки. Свернутый прямоугольник может легче окружить вершину трещины, но требует, чтобы края элемента были прямыми, иначе точность расчета коэффициента интенсивности напряжений будет снижена. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$ ${\displaystyle \xi =-1}$ ${\displaystyle \eta =\pm 1}$

Лучшим кандидатом для метода четверти точки является естественный треугольник, как показано на рисунке 7. Геометрия элемента позволяет легко окружить вершину трещины и упростить построение сетки. Следуя той же процедуре, описанной выше, поле перемещений и деформаций для треугольных элементов составляет:

${\displaystyle u=u_{3}+{\sqrt {\frac {x}{L}}}\left[4u_{6}-3u_{3}-u_{1}\right]+{\frac {x}{L}}\left[2u_{1}+2u_{3}-4u_{6}\right]}$

${\displaystyle \gamma _{xx}={\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {1}{\sqrt {xL}}}\left[-{\frac {u_{1}}{2}}-{\frac {3u_{3}}{2}}+2u_{6}\right]+{\frac {1}{L}}\left[2u_{1}+2u_{3}-4u_{6}\right]}$

Этот метод воспроизводит первые два члена решения Вильямса ^[16] с постоянным и сингулярным членом.

Преимущество метода четверти точки состоит в том, что его можно легко обобщить на трехмерные модели. Это может значительно сократить объем вычислений по сравнению с другими трехмерными методами, но может привести к ошибкам, если кончик трещины распространяется с большой степенью кривизны. ^[17]

Смотрите также

• Механика разрушения
• Коэффициент интенсивности напряжения
• Вязкость разрушения
• J-интеграл

Рекомендации

1. Ли, ФЗ; Ши, CF; Нидлман, А. (1985). «Сравнение методов расчета скорости энерговыделения». Инженерная механика разрушения . 21 (2): 405–421. дои : 10.1016/0013-7944(85)90029-3. ISSN  0013-7944.
2. Райс, младший; Будянский, Б. (1973). «Законы сохранения и скорости энерговыделения». Журнал прикладной механики . 40 (1): 201–3. Бибкод : 1973JAM....40..201B. дои : 10.1115/1.3422926. S2CID  13910502.
3. Алан Цендер (2012). Механика разрушения . Лондон; Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. ISBN 9789400725942.
4. Собоеджо, Вирджиния (2003). «11.6.5 Эквивалентность G и K». Механические свойства конструкционных материалов. Марсель Деккер. ISBN 0-8247-8900-8 . ОСЛК 300921090. 
5. Трейдгард, А. (15 июля 1998 г.). «Техника изменения сетки методом МКЭ, применяемая для решения проблем роста трещин». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 160 (1–2): 115–131. Бибкод : 1998CMAME.160..115T. дои : 10.1016/s0045-7825(97)00287-9.
6. Рыбицкий, Э.Ф.; Каннинен, МФ (январь 1977 г.). «Конечно-элементный расчет коэффициентов интенсивности напряжений с помощью модифицированного интеграла закрытия трещины». Инженерная механика разрушения . 9 (4): 931–938. дои : 10.1016/0013-7944(77)90013-3. ISSN  0013-7944.
7. Сетураман, Р.; Маити, Словакия (январь 1988 г.). «Вычисление скорости выделения энергии деформации на основе конечных элементов с помощью модифицированного интеграла закрытия трещины». Инженерная механика разрушения . 30 (2): 227–231. дои : 10.1016/0013-7944(88)90226-3. ISSN  0013-7944.
8. Цендер, Алан Т. (3 января 2012 г.). Механика разрушения . Дордрехт. ISBN 9789400725959. ОСЛК  773034407.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
9. Зендер, Алан Т. (2012). Механика разрушения . Конспект лекций по прикладной и вычислительной механике. Том. 62. Дордрехт: Springer Нидерланды. дои : 10.1007/978-94-007-2595-9. ISBN 9789400725942.
10. Хеншелл, РД; Шоу, КГ (1975). «Конечные элементы вершины трещины не нужны». Международный журнал численных методов в технике . 9 (3): 495–507. Бибкод : 1975IJNME...9..495H. дои : 10.1002/nme.1620090302. ISSN  0029-5981.
11. Барсум, Рошди С. (1977). «Треугольные четвертьточечные элементы как упругие и идеально пластичные элементы вершины трещины». Международный журнал численных методов в технике . 11 (1): 85–98. Бибкод : 1977IJNME..11...85B. дои : 10.1002/nme.1620110109. ISSN  0029-5981.
12. Солнце, Коннектикут; Джин, З.-Х. (2012), «Критерии упруго-пластического разрушения», Механика разрушения , Elsevier, стр. 171–187, doi : 10.1016/b978-0-12-385001-0.00007-9, ISBN 9780123850010
13. Стерн, Моррис (1979). «Семейства согласованных согласованных элементов с сингулярными производными полями». Международный журнал численных методов в технике . 14 (3): 409–421. Бибкод : 1979IJNME..14..409S. дои : 10.1002/nme.1620140307. ISSN  0029-5981.
14. Леви, Н.; Марсал, П.В.; Остергрен, WJ; Райс, младший (июнь 1971 г.). «Мелкомасштабная текучесть вблизи трещины при плоской деформации: анализ методом конечных элементов». Международный журнал механики разрушения . 7 (2): 143–156. дои : 10.1007/bf00183802. ISSN  0020-7268. S2CID  11088286.
15. Барсум, Рошди С. (1976). «О применении изопараметрических конечных элементов в линейной механике разрушения». Международный журнал численных методов в технике . 10 (1): 25–37. Бибкод : 1976IJNME..10...25B. дои : 10.1002/nme.1620100103. ISSN  0029-5981.
16. Уильямс, ML (1959). «Напряжения вокруг дефекта или трещины в разнородных средах» (PDF) . Бюллетень Сейсмологического общества Америки . 49 (2): 199–204. Бибкод : 1959BuSSA..49..199W. doi : 10.1785/BSSA0490020199.
17. Пеано, А.; Пасини, А. (февраль 1982 г.). «Предупреждение против неправильного использования элементов четверти очка». Международный журнал численных методов в технике . 18 (2): 314–320. Бибкод : 1982IJNME..18..314P. дои : 10.1002/nme.1620180212. ISSN  0029-5981.

Внешние ссылки

• Заметки профессора Джона Хатчинсона (из Гарвардского университета) по нелинейной механике разрушения.
• Скорость выделения энергии деформации Гриффита на сайте www.fracturemechanics.org.