модуль Юнга

Механическое свойство, измеряющее жесткость твердого материала.

Модуль Юнга — это наклон линейной части кривой зависимости деформации от напряжения для материала, находящегося под действием растяжения или сжатия.

Модуль Юнга (или модуль Юнга ) — это механическое свойство твердых материалов, которое измеряет жесткость при растяжении или сжатии , когда сила приложена в продольном направлении. Это модуль упругости при растяжении или осевом сжатии . Модуль Юнга определяется как отношение напряжения ( силы на единицу площади), приложенного к объекту, к результирующей осевой деформации (смещению или деформации) в линейной упругой области материала.

Хотя модуль Юнга назван в честь британского ученого 19 века Томаса Юнга , эта концепция была разработана в 1727 году Леонардом Эйлером . Первые эксперименты, в которых использовалась концепция модуля Юнга в ее современной форме, были выполнены итальянским ученым Джордано Риккати в 1782 году, на 25 лет раньше работы Юнга. ^[1] Термин модуль происходит от латинского корня modus , что означает мера .

Определение

Модуль Юнга , количественно определяет соотношение между растягивающим или сжимающим напряжением (сила на единицу площади) и осевой деформацией (пропорциональная деформация) в линейно-упругой области материала: ^[2] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}}$$

Модуль Юнга обычно измеряется в Международной системе единиц (СИ) в единицах, кратных паскалям (Па), а общепринятые значения лежат в диапазоне гигапаскалей (ГПа).

Примеры:

• Резина (увеличивается давление: длина быстро увеличивается, что означает низкий уровень ${\displaystyle E}$ )
• Алюминий (увеличивающееся давление: длина увеличивается медленно, т.е. высокая ${\displaystyle E}$ )

Линейная эластичность

Твердый материал претерпевает упругую деформацию , когда к нему прикладывается небольшая нагрузка при сжатии или растяжении. Упругая деформация обратима, то есть материал возвращается к своей первоначальной форме после снятия нагрузки.

При напряжении и деформации, близких к нулю, кривая напряжение-деформация линейна , а соотношение между напряжением и деформацией описывается законом Гука , который гласит, что напряжение пропорционально деформации. Коэффициент пропорциональности — это модуль Юнга. Чем выше модуль, тем большее напряжение требуется для создания той же величины деформации; идеализированное твердое тело имело бы бесконечный модуль Юнга. И наоборот, очень мягкий материал (такой как жидкость) деформировался бы без силы и имел бы нулевой модуль Юнга.

Связанные, но различные свойства

Жесткость материала — это свойство, отличное от следующих:

• Прочность : максимальное количество напряжений, которое может выдержать материал, оставаясь в режиме упругой (обратимой) деформации;
• Геометрическая жесткость: глобальная характеристика тела, зависящая от его формы, а не только от локальных свойств материала; например, двутавровая балка имеет более высокую жесткость на изгиб, чем стержень из того же материала при заданной массе на единицу длины;
• Твёрдость : относительное сопротивление поверхности материала проникновению более твёрдого тела;
• Прочность : количество энергии, которое материал может поглотить до разрушения.
• Точка E является пределом упругости или пределом текучести материала, в пределах которого напряжение пропорционально деформации, и материал восстанавливает свою первоначальную форму после снятия внешней силы.

Использование

Модуль Юнга позволяет рассчитать изменение размера стержня, изготовленного из изотропного упругого материала, под действием растягивающих или сжимающих нагрузок. Например, он предсказывает, насколько образец материала удлиняется при растяжении или укорачивается при сжатии. Модуль Юнга напрямую применяется к случаям одноосного напряжения; то есть, растягивающего или сжимающего напряжения в одном направлении и отсутствия напряжения в других направлениях. Модуль Юнга также используется для прогнозирования прогиба, который возникнет в статически определимой балке , когда нагрузка приложена в точке между опорами балки.

Другие упругие расчеты обычно требуют использования одного дополнительного упругого свойства, такого как модуль сдвига , объемный модуль и коэффициент Пуассона . Любых двух из этих параметров достаточно для полного описания упругости в изотропном материале. Например, расчет физических свойств раковой ткани кожи был измерен и оказался равным коэффициенту Пуассона 0,43±0,12 и среднему модулю Юнга 52 кПа. Определение упругих свойств кожи может стать первым шагом в превращении упругости в клинический инструмент. ^[3] Для однородных изотропных материалов существуют простые соотношения между упругими константами, которые позволяют вычислить их все, пока известны две из них: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu ).}$

Линейный против нелинейного

Модуль Юнга представляет собой коэффициент пропорциональности в законе Гука , который связывает напряжение и деформацию. Однако закон Гука действителен только при условии упругого и линейного отклика. Любой реальный материал в конечном итоге выйдет из строя и сломается при растяжении на очень большое расстояние или с очень большой силой; однако все твердые материалы демонстрируют почти гуковское поведение при достаточно малых деформациях или напряжениях. Если диапазон, в котором справедлив закон Гука, достаточно велик по сравнению с типичным напряжением, которое, как ожидается, будет приложено к материалу, материал называется линейным. В противном случае (если типичное напряжение, которое можно было бы приложить, находится за пределами линейного диапазона), материал называется нелинейным.

Сталь , углеродное волокно и стекло среди прочих обычно считаются линейными материалами, в то время как другие материалы, такие как резина и грунты, являются нелинейными. Однако это не абсолютная классификация: если очень малые напряжения или деформации применяются к нелинейному материалу, реакция будет линейной, но если очень большое напряжение или деформация применяются к линейному материалу, линейной теории будет недостаточно. Например, поскольку линейная теория подразумевает обратимость , было бы абсурдно использовать линейную теорию для описания разрушения стального моста под высокой нагрузкой; хотя сталь является линейным материалом для большинства применений, в случае катастрофического разрушения она таковой не является.

В механике твердого тела наклон кривой напряжение-деформация в любой точке называется касательным модулем . Он может быть экспериментально определен по наклону кривой напряжение-деформация, полученной во время испытаний на растяжение, проведенных на образце материала.

Направленные материалы

Модуль Юнга не всегда одинаков во всех ориентациях материала. Большинство металлов и керамики, наряду со многими другими материалами, являются изотропными , и их механические свойства одинаковы во всех ориентациях. Однако металлы и керамику можно обрабатывать определенными примесями, а металлы можно механически обрабатывать, чтобы сделать их зернистые структуры направленными. Затем эти материалы становятся анизотропными , и модуль Юнга будет меняться в зависимости от направления вектора силы. ^[4] Анизотропию можно увидеть и во многих композитах. Например, углеродное волокно имеет гораздо более высокий модуль Юнга (гораздо жестче), когда сила приложена параллельно волокнам (вдоль волокон). Другие такие материалы включают дерево и железобетон . Инженеры могут использовать это направленное явление в своих интересах при создании конструкций.

Температурная зависимость

Модуль Юнга металлов изменяется в зависимости от температуры и может быть реализован через изменение межатомных связей атомов, и, следовательно, его изменение оказывается зависящим от изменения работы выхода металла. Хотя классически это изменение предсказывается посредством подгонки и без четкого базового механизма (например, формулы Уотчмана), модель Рахеми-Ли ^[5] демонстрирует, как изменение работы выхода электрона приводит к изменению модуля Юнга металлов, и предсказывает это изменение с помощью вычисляемых параметров, используя обобщение потенциала Леннарда-Джонса на твердые тела. В общем, с ростом температуры модуль Юнга уменьшается через где работа выхода электрона изменяется с температурой как и является вычисляемым свойством материала, которое зависит от кристаллической структуры (например, ОЦК, ГЦК). является работой выхода электрона при T=0 и постоянна на протяжении всего изменения. ${\displaystyle E(T)=\beta (\varphi (T))^{6}}$ ${\displaystyle \varphi (T)=\varphi _{0}-\gamma {\frac {(k_{B}T)^{2}}{\varphi _{0}}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ${\displaystyle \beta }$

Расчет

Модуль Юнга рассчитывается путем деления растягивающего напряжения , , на инженерную деформацию растяжения , , в упругой (начальной, линейной) части физической кривой напряжение-деформация : ${\displaystyle \sigma (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

$${\displaystyle E\equiv {\frac {\sigma (\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {F/A}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A\,\Delta L}}}$$где

• ${\displaystyle E}$это модуль Юнга (модуль упругости)
• ${\displaystyle F}$это сила, действующая на объект под напряжением;
• ${\displaystyle A}$— фактическая площадь поперечного сечения, равная площади поперечного сечения, перпендикулярного приложенной силе;
• ${\displaystyle \Delta L}$— величина, на которую изменяется длина объекта ( положительная, если материал растягивается, и отрицательная, если материал сжимается); ${\displaystyle \Delta L}$
• ${\displaystyle L_{0}}$— это исходная длина объекта.

Сила, оказываемая растянутым или сжатым материалом

Модуль Юнга материала можно использовать для расчета силы, которую он оказывает при определенной деформации.

${\displaystyle F={\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}}$

где - сила, оказываемая материалом при сжатии или растяжении . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Delta L}$

Закон Гука для растянутой проволоки можно вывести из этой формулы:

${\displaystyle F=\left({\frac {EA}{L_{0}}}\right)\,\Delta L=kx}$

где это приходит в насыщение

${\displaystyle k\equiv {\frac {EA}{L_{0}}}\,}$и ${\displaystyle x\equiv \Delta L.}$

Но следует отметить, что упругость спиральных пружин определяется модулем сдвига , а не модулем Юнга. ^{[ необходима ссылка ]}

Упругая потенциальная энергия

Упругая потенциальная энергия, запасенная в линейно-упругом материале, определяется интегралом закона Гука:

${\displaystyle U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}.}$

Теперь, объяснив интенсивные переменные:

${\displaystyle U_{e}=\int {\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}\,d\Delta L={\frac {EA}{L_{0}}}\int \Delta L\,d\Delta L={\frac {EA\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}}}}$

Это означает, что плотность упругой потенциальной энергии (то есть на единицу объема) определяется по формуле:

${\displaystyle {\frac {U_{e}}{AL_{0}}}={\frac {E\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {E\,{\Delta L}}{L_{0}}}\times {\frac {\Delta L}{L_{0}}}={\frac {1}{2}}\times \sigma (\varepsilon )\times \varepsilon }$

или, в простой записи, для линейно-упругого материала: , поскольку деформация определяется . ${\textstyle u_{e}(\varepsilon )=\int {E\,\varepsilon }\,d\varepsilon ={\frac {1}{2}}E{\varepsilon }^{2}}$ ${\textstyle \varepsilon \equiv {\frac {\Delta L}{L_{0}}}}$

В нелинейно-упругом материале модуль Юнга является функцией деформации, поэтому второе соотношение больше не выполняется, и упругая энергия не является квадратичной функцией деформации:

${\displaystyle u_{e}(\varepsilon )=\int E(\varepsilon )\,\varepsilon \,d\varepsilon \neq {\frac {1}{2}}E\varepsilon ^{2}}$

Примеры

Влияние выбранных добавок компонентов стекла на модуль Юнга конкретного базового стекла

Модуль Юнга может несколько отличаться из-за различий в составе образца и методе испытания. Скорость деформации оказывает наибольшее влияние на собранные данные, особенно в полимерах . Значения здесь приблизительные и предназначены только для относительного сравнения.

Смотрите также

• Жесткость на изгиб
• Отклонение
• Деформация
• Модуль упругости при изгибе
• Методика импульсного возбуждения
• Список свойств материалов
• Выход (инжиниринг)

Ссылки

1. Рациональная механика гибких или упругих тел, 1638–1788 : Введение в Opera Omnia Леонардо Эйлери, т. X и XI, Seriei Secundae. Орелл Фюссли.
2. Ястржебски, Д. (1959). Природа и свойства конструкционных материалов (ред. Wiley International). John Wiley & Sons, Inc.
3. Тиллеман, Тамара Равех; Тиллеман, Майкл М.; Нойман, Мартино HA (декабрь 2004 г.). «Упругие свойства раковой кожи: коэффициент Пуассона и модуль Юнга» (PDF) . Журнал Израильской медицинской ассоциации . 6 (12): 753–755.
4. Городцов, ВА; Лисовенко, ДС (2019). "Экстремальные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона гексагональных кристаллов". Механика материалов . 134 : 1–8. doi :10.1016/j.mechmat.2019.03.017. S2CID  140493258.
5. Rahemi, Reza; Li, Dongyang (апрель 2015 г.). «Изменение работы выхода электрона в зависимости от температуры и его влияние на модуль Юнга металлов». Scripta Materialia . 99 (2015): 41–44. arXiv : 1503.08250 . Bibcode : 2015arXiv150308250R. doi : 10.1016/j.scriptamat.2014.11.022. S2CID  118420968.
6. "Конвертер единиц измерения". MatWeb . Получено 9 мая 2021 г.
7. "Алюминий, Al". MatWeb . Получено 7 мая 2021 г. .
8. Weast, Robert C. (1981). CRC Handbook of Chemistry and Physics (62-е изд.). Boca Raton, FL: CRC Press . doi :10.1002/jctb.280500215. ISBN 978-0-84-930740-9.
9. Росс, Роберт Б. (1992). Справочник по спецификациям металлических материалов (4-е изд.). Лондон: Chapman & Hall . doi :10.1007/978-1-4615-3482-2. ISBN 9780412369407.
10. Нунес, Рафаэль; Адамс, Дж. Х.; Аммонс, Митчелл; и др. (1990). Том 2: Свойства и выбор: цветные сплавы и материалы специального назначения (PDF) . Справочник ASM (10-е изд.). ASM International . ISBN 978-0-87170-378-1.
11. Nayar, Alok (1997). The Metals Databook . Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-462300-8.
12. Лид, Дэвид Р., ред. (1999). "Коммерческие металлы и сплавы". CRC Handbook of Chemistry and Physics (80-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press . ISBN 978-0-84-930480-4.
13. Azuri, Ido; Meirzadeh, Elena; Ehre, David; et al. (9 ноября 2015 г.). "Необычно большие модули Юнга молекулярных кристаллов аминокислот" (PDF) . Angewandte Chemie . 54 (46) (Международное издание). Wiley : 13566–13570. doi :10.1002/anie.201505813. PMID  26373817. S2CID  13717077 – через PubMed .
14. "Техническое руководство по кевларовому арамидному волокну" (PDF) . DuPont . 2017 . Получено 8 мая 2021 .
15. Адлер-Абрамович, Лихи; Кол, Ницан; Янаи, Инбал; и др. (17 декабря 2010 г.). «Самоорганизующиеся органические наноструктуры с металлической жесткостью». Angewandte Chemie . 49 (51) (Международное издание). Wiley-VCH (опубликовано 28 сентября 2010 г.): 9939–9942. doi :10.1002/anie.201002037. PMID  20878815. S2CID  44873277.
16. Кол, Ницан; Адлер-Абрамович, Лихи; Барлам, Дэвид; и др. (8 июня 2005 г.). «Самоорганизующиеся пептидные нанотрубки — уникальные жесткие биоинспирированные супрамолекулярные структуры». Nano Letters . 5 (7). Израиль: Американское химическое общество : 1343–1346. Bibcode : 2005NanoL...5.1343K. doi : 10.1021/nl0505896. PMID  16178235 — через ACS Publications .
17. Niu, Lijiang; Chen, Xinyong; Allen, Stephanie; et al. (6 июня 2007 г.). «Использование модели изгибающейся балки для оценки эластичности дифенилаланиновых нанотрубок». Langmuir . 23 (14). Американское химическое общество : 7443–7446. doi :10.1021/la7010106. PMID  17550276 – через ACS Publications .
18. Ivanovska, Irena L.; de Pablo, Pedro J.; Ibarra, Benjamin; et al. (7 мая 2004 г.). Lubensky, Tom C. (ред.). «Капсиды бактериофагов: прочные нанооболочки со сложными эластичными свойствами». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 101 (20). Национальная академия наук : 7600–7605. Bibcode : 2004PNAS..101.7600I. doi : 10.1073/pnas.0308198101 . PMC 419652. PMID  15133147 . 
19. Foley, James C.; Abeln, Stephen P.; Stanek, Paul W.; et al. (2010). "Обзор текущих исследований и промышленной практики порошковой металлургии". В Marquis, Fernand DS (ред.). Powder Materials: Current Research and Industrial Practices III . Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc. стр. 263. doi :10.1002/9781118984239.ch32. ISBN 978-1-11-898423-9.
20. Rho, Jae Young; Ashman, Richard B.; Turner, Charles H. (февраль 1993 г.). «Модуль Юнга трабекулярного и кортикального костного материала: ультразвуковые и микрорастяжимые измерения». Журнал биомеханики . 26 (2). Elsevier : 111–119. doi :10.1016/0021-9290(93)90042-d. PMID  8429054 – через Elsevier Science Direct .
21. "Обзор материалов для латуни". MatWeb . Получено 7 мая 2021 г.
22. "Обзор материалов для бронзы". MatWeb . Получено 7 мая 2021 г. .
23. Chowdhury, Shafiul; Laugier, Michael T.; Rahman, Ismet Zakia (апрель–август 2004 г.). «Измерение механических свойств тонких пленок нитрида углерода с помощью кривой нагрузки при наноиндентировании». Diamond and Related Materials . 13 (4–8): 1543–1548. Bibcode :2004DRM....13.1543C. doi :10.1016/j.diamond.2003.11.063 – через Elsevier Science Direct .
24. Summerscales, John (11 сентября 2019 г.). «Проектирование и производство композитов (учебные материалы Плимутского университета)». Advanced Composites Manufacturing Centre . University of Plymouth . Получено 8 мая 2021 г.
25. Копелиович, Дмитрий (3 июня 2012 г.). «Композит на основе эпоксидной матрицы, армированный 70% углеродных волокон». SubsTech . Получено 8 мая 2021 г. .
26. Бозе, Сусмита; Банерджи, Дишари; Бандйопадхай, Амит (2016). «Введение в биоматериалы и устройства для лечения костных заболеваний». В Бозе, Сусмита; Бандйопадхай, Амит (ред.). Материалы для лечения костных заболеваний . Academic Press . стр. 1–27. doi :10.1016/B978-0-12-802792-9.00001-X. ISBN 978-0-12-802792-9.
27. "Copper, Cu; Annealed". MatWeb . Получено 9 мая 2021 г. .
28. Спир, Карл Э.; Дисмьюкс, Джон П., ред. (1994). Синтетический алмаз: развивающаяся наука и технология CVD . Wiley . стр. 315. ISBN 978-0-47-153589-8. ISSN  0275-0171.
29. Subhash, Ghatu; Yao, Shuhuai; Bellinger, Brent; Gretz, Michael R. (январь 2005 г.). «Исследование механических свойств панцирей диатомовых водорослей с использованием наноиндентирования». Журнал нанонауки и нанотехнологий . 5 (1). American Scientific Publishers: 50–56. doi : 10.1166/jnn.2005.006. PMID  15762160 – через Ingenta Connect .
30. Bodros, Edwin; Baley, Christophe (15 мая 2008 г.). «Исследование свойств растяжения волокон жгучей крапивы ( Urtica dioica )». Materials Letters . 62 (14): 2143–2145. CiteSeerX 10.1.1.299.6908 . doi :10.1016/j.matlet.2007.11.034 – через Elsevier Science Direct . 
31. "Флоат-стекло – свойства и применение". AZO Materials . 16 февраля 2001 г. Получено 9 мая 2021 г.
32. Копелиович, Дмитрий (6 марта 2012 г.). «Композит на основе полиэфирной матрицы, армированный стеклянными волокнами (стекловолокно)». SubsTech . Получено 7 мая 2021 г. .
33. "Данные о свойствах золотого материала". MatWeb . Получено 8 сентября 2021 г. .
34. Лю, Фан; Мин, Пинбин; Ли, Цзюй (28 августа 2007 г.). "Ab initio расчет идеальной прочности и фононной нестабильности графена под напряжением" (PDF) . Physical Review B. 76 ( 6). Американское физическое общество : 064120. Bibcode : 2007PhRvB..76f4120L. doi : 10.1103/PhysRevB.76.064120 – через APS Physics .
35. Сахеб, Наби; Джог, Джоти (15 октября 1999 г.). «Композиты из полимеров на основе натуральных волокон: обзор». Достижения в области полимерных технологий . 18 (4). John Wiley & Sons, Inc. : 351–363. doi : 10.1002/(SICI)1098-2329(199924)18:4<351::AID-ADV6>3.0.CO;2-X .
36. "Полиэтилен высокой плотности (HDPE)". База данных полимеров . Химический поиск в Интернете . Получено 9 мая 2021 г.
37. Кардарелли, Франсуа (2008). «Цементы, бетон, строительные камни и строительные материалы». Справочник по материалам: краткий настольный справочник (2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag . С. 1421–1439. doi :10.1007/978-3-319-38925-7_15. ISBN 978-3-319-38923-3.
38. "Обзор материалов для полиэтилена низкой плотности (LDPE), формованного". MatWeb . Получено 7 мая 2021 г. .
39. "Обзор материалов для магниевого сплава". MatWeb . Получено 9 мая 2021 г. .
40. "Древесноволокнистая плита средней плотности (MDF)". MakeItFrom . 30 мая 2020 г. Получено 8 мая 2021 г.
41. "Молибден, Mo, отожженный". MatWeb . Получено 9 мая 2021 г. .
42. Джексон, Эндрю П.; Винсент, Джулиан Ф.В.; Тернер, Р.М. (22 сентября 1988 г.). «Механический дизайн перламутра». Труды Королевского общества B. 234 ( 1277). Королевское общество : 415–440. Bibcode :1988RSPSB.234..415J. doi :10.1098/rspb.1988.0056. eISSN  2053-9193. ISSN  0080-4649. S2CID  135544277 – через The Royal Society Publishing .
43. "Nylon® 6/6 (полиамид)". Poly-Tech Industrial, Inc. 2011. Получено 9 мая 2021 г.
44. Pandey, Dharmendra Kumar; Singh, Devraj; Yadawa, Pramod Kumar (2 апреля 2009 г.). «Ультразвуковое исследование осмия и рутения» (PDF) . Platinum Metals Review . 53 (4). Johnson Matthey : 91–97. doi : 10.1595/147106709X430927 . Получено 7 мая 2021 г. – через Ingenta Connect .
45. Gaillac, Romain; Coudert, François-Xavier (26 июля 2020 г.). "ELATE: Анализ упругого тензора". ELATE . Получено 9 мая 2021 г. .
46. "Поликарбонат". DesignerData . Получено 9 мая 2021 г. .
47. "Обзор материалов для полиэтилентерефталата (ПЭТ), неармированного". MatWeb . Получено 9 мая 2021 г. .
48. "Обзор материалов для полипропилена, формованного". MatWeb . Получено 9 мая 2021 г.
49. "Модуль Юнга: единицы упругости при растяжении, факторы и таблица материалов". Omnexus . SpecialChem . Получено 9 мая 2021 г. .
50. "Технические данные – Рекомендации по применению. Средства определения размеров". Stryodur . BASF . Август 2019. Получено 7 мая 2021 .
51. "Обзор материалов для политетрафторэтилена (ПТФЭ), формованного". MatWeb . Получено 9 мая 2021 г. .
52. Boyd, Euan J.; Uttamchandani, Deepak (2012). «Измерение анизотропии модуля Юнга в монокристаллическом кремнии». Журнал микроэлектромеханических систем . 21 (1). Институт инженеров по электротехнике и электронике : 243–249. doi : 10.1109/JMEMS.2011.2174415. eISSN  1941-0158. ISSN  1057-7157. S2CID  39025763 – через IEEE Xplore .
53. "Свойства и применение карбида кремния (SiC)". AZO Materials . 5 февраля 2001 г. Получено 9 мая 2021 г.
54. Forró, László; Salvetat, Jean-Paul; Bonard, Jean-Marc; et al. (январь 2002 г.). Thorpe, Michael F.; Tománek, David ; Enbody, Richard J. (ред.). "Электронные и механические свойства углеродных нанотрубок". Science and Application of Nanotubes . Fundamentals Materials Research. Boston, MA: Springer : 297–320. doi :10.1007/0-306-47098-5_22. ISBN 978-0-306-46372-3– через ResearchGate .
55. Yang, Yi-Hsuan; Li, Wenzhi (24 января 2011 г.). «Радиальная упругость однослойной углеродной нанотрубки, измеренная с помощью атомно-силовой микроскопии». Applied Physics Letters . 98 (4). Американский институт физики : 041901. Bibcode : 2011ApPhL..98d1901Y. doi : 10.1063/1.3546170.
56. "ASTM A36 Mild/Low Carbon Steel". AZO Materials . 5 июля 2012 г. Получено 9 мая 2021 г.
57. «Титан, Ти». МатВеб . Проверено 7 мая 2021 г.
58. Boyer, Rodney; Welsch, Gerhard; Collings, Edward W., ред. (1994). Справочник по свойствам материалов: титановые сплавы . Materials Park, OH: ASM International . ISBN 978-0-87-170481-8.
59. US Titanium Industry Inc. (30 июля 2002 г.). «Титановые сплавы – Ti6Al4V Grade 5». AZO Materials . Получено 9 мая 2021 г.
60. Staines, Michael; Robinson, WH; Hood, JAA (сентябрь 1981 г.). «Сферическое вдавливание зубной эмали». Journal of Materials Science . 16 (9). Springer : 2551–2556. Bibcode : 1981JMatS..16.2551S. doi : 10.1007/bf01113595. S2CID  137704231 – через Springer Link .
61. "Tungsten Carbide – An Overview". AZO Materials . 21 января 2002 г. Получено 9 мая 2021 г.
62. Green, David W.; Winandy, Jerrold E.; Kretschmann, David E. (1999). «Механические свойства древесины». Wood Handbook: Wood as an Engineering Material (PDF) . Madison, WI: Forest Products Laboratory . стр. 4–8. Архивировано из оригинала (PDF) 20 июля 2018 г.
63. "Wrought Iron – Properties and Applications". AZO Materials . 13 августа 2013 г. Получено 9 мая 2021 г.
64. Chou, Hung-Ming; Case, ED (ноябрь 1988 г.). «Характеристика некоторых механических свойств поликристаллического иттриевого железного граната (YIG) неразрушающими методами». Journal of Materials Science Letters . 7 (11): 1217–1220. doi :10.1007/BF00722341. S2CID  135957639 – через SpringerLink .
65. "Иттриевый железный гранат". Deltronic Crystal Industries, Inc. 28 декабря 2012 г. Получено 7 мая 2021 г.
66. "Введение в цинк". AZO Materials . 23 июля 2001 г. Получено 9 мая 2021 г.

Дальнейшее чтение

• ASTM E 111, «Стандартный метод испытаний для модуля Юнга, касательного модуля и модуля хорды»
• ASM Handbook (различные тома) содержит модуль Юнга для различных материалов и информацию по расчетам. Онлайн-версия (требуется подписка)

Внешние ссылки

• Matweb: бесплатная база данных инженерных свойств для более чем 175 000 материалов
• Модуль Юнга для групп материалов и их стоимость