Случайное поле

В физике и математике случайное поле — это случайная функция в произвольной области (обычно в многомерном пространстве, таком как ). То есть это функция , которая принимает случайное значение в каждой точке (или какой-то другой области). Его также иногда считают синонимом случайного процесса с некоторым ограничением на набор индексов. То есть, согласно современным определениям, случайное поле представляет собой обобщение случайного процесса , в котором базовый параметр больше не обязательно должен быть вещественным или целочисленным «временем», а вместо этого может принимать значения, которые являются многомерными векторами или точками на некотором многообразии . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Формальное определение

В вероятностном пространстве X -значное случайное поле представляет собой набор X -значных случайных величин , индексированных элементами в топологическом пространстве T. То есть случайное поле F представляет собой набор ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}$

где каждая представляет собой случайную величину со значением X. ${\displaystyle F_{t}}$

Примеры

В дискретном варианте случайное поле представляет собой список случайных чисел, индексы которых отождествляются с дискретным набором точек пространства (например, n- мерного евклидова пространства ). Предположим, что имеются четыре случайные величины , , и , расположенные в двумерной сетке в точках (0,0), (0,2), (2,2) и (2,0) соответственно. Предположим, что каждая случайная величина может принимать значение -1 или 1, и вероятность значения каждой случайной величины зависит от ее непосредственно соседних соседей. Это простой пример дискретного случайного поля. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X_{3}}$ ${\displaystyle X_{4}}$

В более общем смысле, значения, которые каждое из них может принимать, могут быть определены в непрерывной области. В более крупных сетках также может быть полезно рассматривать случайное поле как случайную величину с «функциональным значением», как описано выше. В квантовой теории поля это понятие обобщается на случайный функционал , который принимает случайные значения в пространстве функций (см. Интеграл Фейнмана ). ${\displaystyle X_{i}}$

Существует несколько видов случайных полей, среди них случайное поле Маркова (MRF), случайное поле Гиббса , условное случайное поле (CRF) и гауссово случайное поле . В 1974 году Джулиан Бесаг предложил метод аппроксимации, основанный на связи между MRF и RF Гиббса. ^{[ нужна цитата ]}

Примеры свойств

MRF демонстрирует свойство Маркова.

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},j\in \partial _{i}),\,}$

для каждого выбора значений . Здесь каждый представляет собой набор соседей . Другими словами, вероятность того, что случайная величина примет значение, зависит от ближайших соседних случайных величин. Вероятность случайной величины в MRF ^{[ необходимы разъяснения ]} определяется выражением ${\displaystyle (x_{j})_{j}}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(X_{i}=x_{i},\partial _{i})}{\sum _{k}P(X_{i}=k,\partial _{i})}},}$

где сумма (может быть целым числом) равна возможным значениям k. ^{[ нужны разъяснения ]} Иногда трудно точно вычислить эту величину.

Приложения

При использовании в естественных науках значения в случайном поле часто пространственно коррелируют. Например, соседние значения (т.е. значения с соседними индексами) не отличаются так сильно, как значения, находящиеся дальше друг от друга. Это пример ковариационной структуры , множество различных типов которой можно смоделировать в случайном поле. Одним из примеров является модель Изинга , в которую иногда взаимодействия ближайших соседей включаются только в качестве упрощения, чтобы лучше понять модель.

Обычно случайные поля используются при создании компьютерной графики, особенно той, которая имитирует естественные поверхности, такие как вода и земля . Случайные поля также использовались в моделях недр, как в ^[2]

В нейробиологии , особенно в исследованиях функциональной визуализации мозга, связанных с задачами, с использованием ПЭТ или фМРТ , статистический анализ случайных полей является одной из распространенных альтернатив коррекции множественных сравнений для поиска областей с действительно значимой активацией. ^[3]

Они также используются в приложениях машинного обучения (см. графические модели ).

Тензорные случайные поля

Случайные поля находят большое применение при изучении природных процессов методом Монте-Карло , в котором случайные поля соответствуют естественно изменяющимся в пространстве свойствам. Это приводит к тензорным случайным полям ^{[ нужны пояснения ]} , в которых ключевую роль играет элемент статистического объема (СВЭ), представляющий собой пространственный ящик, по которому можно усреднить свойства; когда SVE становится достаточно большим, его свойства становятся детерминированными, и можно восстановить представительный элемент объема (RVE) детерминированной физики сплошной среды. Второй тип случайных полей, появляющийся в теориях континуума, — это поля зависимых величин (температура, смещение, скорость, деформация, вращение, объемные и поверхностные силы, напряжение и т. д.). ^{[4] [ нужны разъяснения ]}

Смотрите также

• Ковариация
• Кригинг
• Вариограмма
• Ресел
• Случайный процесс
• Взаимодействующая система частиц
• Стохастические клеточные автоматы

Рекомендации

1. Ванмарке, Эрик (2010). Случайные поля: анализ и синтез . Мировое научное издательство. ISBN 978-9812563538.
2. Карденас, IC (2023). «Двумерный подход к количественной оценке стратиграфической неопределенности на основе скважинных данных с использованием неоднородных случайных полей». Инженерная геология . дои : 10.1016/j.enggeo.2023.107001 .
3. Уорсли, К.Дж.; Эванс, AC; Марретт, С.; Нилин, П. (ноябрь 1992 г.). «Трехмерный статистический анализ исследований активации CBF в человеческом мозге». Журнал церебрального кровотока и метаболизма . 12 (6): 900–918. дои : 10.1038/jcbfm.1992.127 . ISSN  0271-678X. ПМИД  1400644.
4. Маляренко, Анатолий; Остоя-Старжевски, Мартин (2019). Тензорные случайные поля для физики сплошных сред . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781108429856.

дальнейшее чтение

• Адлер, Р.Дж. и Тейлор, Джонатан (2007). Случайные поля и геометрия . Спрингер. ISBN 978-0-387-48112-8.
• Бесаг, Дж. Э. (1974). «Пространственное взаимодействие и статистический анализ решетчатых систем». Журнал Королевского статистического общества . Серия Б. 36 (2): 192–236. doi :10.1111/j.2517-6161.1974.tb00999.x.
• Гриффит, Дэвид (1976). «Случайные поля». В Кемени, Джон Г .; Снелл, Лори ; Кнапп, Энтони В. (ред.). Счетные цепи Маркова (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-90177-9.
• Давар Хошневисан (2002). Многопараметрические процессы: введение в случайные поля . Спрингер. ISBN 0-387-95459-7.