Эрмитова матрица

Матрица, равная ее сопряженно-транспонированной

В математике эрмитова матрица (или самосопряженная матрица ) — это комплексная квадратная матрица , равная своему собственному сопряженному транспонированию — то есть элемент в i -й строке и j -м столбце равен комплексно-сопряженному элементу элемент в j -й строке и i -м столбце для всех индексов i и j :

${\displaystyle A{\text{ Hermitian}}\quad \iff \quad a_{ij}={\overline {{a}_{ji}}}}$

или в матричной форме:

$${\displaystyle A{\text{ Hermitian}}\quad \iff \quad A={\overline {A^{\mathsf {T}}}}.}$$

Эрмитовы матрицы можно понимать как комплексное расширение действительных симметричных матриц .

Если сопряженное транспонирование матрицы обозначается, то эрмитово свойство можно кратко записать как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {H}},}$

${\displaystyle A{\text{ Hermitian}}\quad \iff \quad A=A^{\mathsf {H}}}$

Эрмитовы матрицы названы в честь Чарльза Эрмита ^[1] , который в 1855 году продемонстрировал, что матрицы этой формы имеют общее свойство с действительными симметричными матрицами: они всегда имеют действительные собственные значения . Другие, эквивалентные обозначения, широко используемые , хотя в квантовой механике обычно означают только комплексное сопряжение , а не транспонирование сопряженного числа . ${\displaystyle A^{\mathsf {H}}=A^{\dagger }=A^{\ast },}$ ${\displaystyle A^{\ast }}$

Альтернативные характеристики

Эрмитова матрица может быть охарактеризована несколькими эквивалентными способами, некоторые из которых перечислены ниже:

Равенство с присоединенным

Квадратная матрица является эрмитовой тогда и только тогда, когда она равна сопряженной с ней транспонированной , то есть удовлетворяет условию ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {w} ,A\mathbf {v} \rangle =\langle A\mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle ,}$$

скалярного произведения ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} ,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Таким же образом определяется более общее понятие самосопряженного оператора .

Действительная значимость квадратичных форм

Матрица является эрмитовой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n\times {}n}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,A\mathbf {v} \rangle \in \mathbb {R} ,\quad \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}.}$$

Спектральные свойства

Квадратная матрица является эрмитовой тогда и только тогда, когда она унитарно диагонализируема с действительными собственными значениями . ${\displaystyle A}$

Приложения

Эрмитовы матрицы имеют фундаментальное значение для квантовой механики , поскольку они описывают операторы с обязательно действительными собственными значениями. Собственное значение оператора в некотором квантовом состоянии является одним из возможных результатов измерения оператора, который требует, чтобы операторы имели действительные собственные значения. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

При обработке сигналов эрмитовы матрицы используются в таких задачах, как анализ Фурье и представление сигналов. ^[2] Собственные значения и собственные векторы эрмитовых матриц играют решающую роль в анализе сигналов и извлечении значимой информации.

Эрмитовы матрицы широко изучаются в линейной алгебре и численном анализе . Они имеют четко определенные спектральные свойства, и многие численные алгоритмы, такие как алгоритм Ланцоша , используют эти свойства для эффективных вычислений. Эрмитовы матрицы также используются в таких методах, как разложение по сингулярным значениям (SVD) и разложение по собственным значениям .

В статистике и машинном обучении эрмитовы матрицы используются в ковариационных матрицах , где они представляют отношения между различными переменными. Положительная определенность эрмитовой ковариационной матрицы обеспечивает четкость многомерных распределений. ^[3]

Эрмитовы матрицы применяются при проектировании и анализе систем связи , особенно в области систем с множественным входом и множественным выходом (MIMO). Матрицы каналов в системах MIMO часто обладают эрмитовыми свойствами.

В теории графов эрмитовы матрицы используются для изучения спектров графов . Эрмитова матрица Лапласа является ключевым инструментом в этом контексте, поскольку она используется для анализа спектров смешанных графов. ^[4] Эрмитова матрица смежности смешанного графа является еще одним важным понятием, поскольку это эрмитова матрица, которая играет роль в изучении энергий смешанных графов. ^[5]

Примеры и решения

В этом разделе сопряженное транспонирование матрицы обозначается как транспонирование матрицы, обозначается как , а сопряженное транспонирование матрицы обозначается как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {H}},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {A}}.}$

См. следующий пример:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&a-ib&c-id\\a+ib&1&m-in\\c+id&m+in&2\end{bmatrix}}}$$

Диагональные элементы должны быть вещественными , так как они должны быть собственными комплексно-сопряженными.

К хорошо известным семействам эрмитовых матриц относятся матрицы Паули , матрицы Гелла-Манна и их обобщения. В теоретической физике такие эрмитовы матрицы часто умножаются на мнимые коэффициенты, ^{[6] [7]} что приводит к косоэрмитовым матрицам .

Здесь мы предлагаем еще одну полезную эрмитову матрицу на абстрактном примере. Если квадратная матрица равна произведению матрицы на сопряженную ей транспонированную матрицу, то есть она является эрмитовой положительной полуопределенной матрицей . Более того, если строка полного ранга, то она положительно определена. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=BB^{\mathsf {H}},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Характеристики

Значения главных диагоналей действительны

Элементы на главной диагонали (слева сверху вниз справа) любой эрмитовой матрицы действительны .

Доказательство

По определению эрмитовой матрицы

$${\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ji}}$$

поэтому для i = j следует вышеизложенное.

Только основные диагональные записи обязательно являются реальными; Эрмитова матрица может иметь произвольные комплексные элементы в своих недиагональных элементах , если диагонально противоположные элементы являются комплексно-сопряженными.

Симметричный

Матрица, имеющая только вещественные элементы, симметрична тогда и только тогда, когда она является эрмитовой матрицей. Действительная и симметричная матрица — это просто частный случай эрмитовой матрицы.

Доказательство

${\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ji}}$по определению. Таким образом (матричная симметрия) тогда и только тогда, когда ( действительно). ${\displaystyle H_{ij}=H_{ji}}$ ${\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ij}}$ ${\displaystyle H_{ij}}$

Итак, если действительную антисимметричную матрицу умножить на действительное кратное мнимой единице, то она станет эрмитовой. ${\displaystyle i,}$

Нормальный

Каждая эрмитова матрица является нормальной матрицей . То есть, ${\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}A.}$

Доказательство

${\displaystyle A=A^{\mathsf {H}},}$так ${\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=AA=A^{\mathsf {H}}A.}$

Диагонализуемый

Конечномерная спектральная теорема гласит, что любая эрмитова матрица может быть диагонализирована унитарной матрицей и что полученная диагональная матрица имеет только вещественные элементы. Это означает, что все собственные значения эрмитовой матрицы A размерности n вещественны и что A имеет n линейно независимых собственных векторов . Более того, эрмитова матрица имеет ортогональные собственные векторы для различных собственных значений. Даже если имеются вырожденные собственные значения, всегда можно найти ортогональный базис C ⁿ , состоящий из n собственных векторов A .

Сумма эрмитовых матриц

Сумма любых двух эрмитовых матриц является эрмитовой.

Доказательство

$${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}={\overline {A}}_{ji}+{\overline {B}}_{ji}={\overline {(A+B)}}_{ji},}$$

как заявлено.

Обратное является эрмитовым

Обратная обратимая эрмитова матрица также является эрмитовой.

Доказательство

Если тогда так , как заявлено. ${\displaystyle A^{-1}A=I,}$ ${\displaystyle I=I^{\mathsf {H}}=\left(A^{-1}A\right)^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}=A\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}},}$ ${\displaystyle A^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}}$

Ассоциативное произведение эрмитовых матриц

Произведение двух эрмитовых матриц A и B является эрмитовым тогда и только тогда, когда AB = BA .

Доказательство

$${\displaystyle (AB)^{\mathsf {H}}={\overline {(AB)^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}}}\ {\overline {A^{\mathsf {T}}}}=B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=BA.}$$

Таким образом, тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (AB)^{\mathsf {H}}=AB}$ ${\displaystyle AB=BA.}$

Таким образом, ^An является эрмитовым, если A является эрмитовым и n — целое число.

АБА Эрмитиан

Если A и B эрмитовы, то ABA также эрмитовы.

Доказательство

$${\displaystyle (ABA)^{\mathsf {H}}=(A(BA))^{\mathsf {H}}=(BA)^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=ABA}$$

v H A v веществен для комплексного v

Для произвольного вектора с комплексными значениями произведение является действительным, поскольку Это особенно важно в квантовой физике, где эрмитовы матрицы представляют собой операторы , измеряющие свойства системы, например, полный спин , который должен быть вещественным. ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} =\left(\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} \right)^{\mathsf {H}}.}$

Векторное пространство комплексных эрмитовых форм над R

Эрмитовы комплексные матрицы размером n на n не образуют векторное пространство над комплексными числами C , поскольку единичная матрица I _n является эрмитовой, а i I n _— нет. Однако комплексные эрмитовы матрицы образуют векторное пространство над действительными числами R . В 2n2 ^- мерном векторном пространстве комплексных матриц размера n  ×  n ^над R комплексные эрмитовы матрицы образуют подпространство размерности n2 . Если E _jk обозначает матрицу размером n x n с 1 в позиции j , k и нулями в других местах, базис (ортонормированный относительно внутреннего произведения Фробениуса) можно описать следующим образом: 

$${\displaystyle E_{jj}{\text{ for }}1\leq j\leq n\quad (n{\text{ matrices}})}$$

вместе с набором матриц вида

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}+E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)}$$

и матрицы

$${\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}-E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)}$$

где обозначает мнимую единицу , ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}~.}$

Примером может служить то, что четыре матрицы Паули образуют полную основу для векторного пространства всех комплексных эрмитовых матриц 2 на 2 над R .

Собственное разложение

Если n ортонормированных собственных векторов эрмитовой матрицы выбраны и записаны как столбцы матрицы U , то одно собственное разложение A равно где и, следовательно , ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$ ${\displaystyle A=U\Lambda U^{\mathsf {H}}}$ ${\displaystyle UU^{\mathsf {H}}=I=U^{\mathsf {H}}U}$

$${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}\mathbf {u} _{j}\mathbf {u} _{j}^{\mathsf {H}},}$$

${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle \Lambda .}$

Сингулярные значения

Сингулярные значения - это абсолютные значения его собственных значений: ${\displaystyle A}$

Так как имеет собственное разложение , где – унитарная матрица (ее столбцы – ортонормированные векторы; см. выше), разложение по сингулярным значениям is , где и – диагональные матрицы, содержащие абсолютные значения и знаки собственных значений соответственно. является унитарным, поскольку столбцы умножаются только на . содержит сингулярные значения , а именно, абсолютные значения его собственных значений. ^[8] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=U\Lambda U^{H}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=U|\Lambda |{\text{sgn}}(\Lambda )U^{H}}$ ${\displaystyle |\Lambda |}$ ${\displaystyle {\text{sgn}}(\Lambda )}$ ${\displaystyle |\lambda |}$ ${\displaystyle {\text{sgn}}(\lambda )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\Lambda )U^{H}}$ ${\displaystyle U^{H}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle |\Lambda |}$ ${\displaystyle A}$

Реальный определитель

Определитель эрмитовой матрицы действителен:

Доказательство

${\displaystyle \det(A)=\det \left(A^{\mathsf {T}}\right)\quad \Rightarrow \quad \det \left(A^{\mathsf {H}}\right)={\overline {\det(A)}}}$Поэтому, если ${\displaystyle A=A^{\mathsf {H}}\quad \Rightarrow \quad \det(A)={\overline {\det(A)}}.}$

(В качестве альтернативы, определитель является произведением собственных значений матрицы, и, как упоминалось ранее, собственные значения эрмитовой матрицы действительны.)

Разложение на эрмитовы и косоэрмитовые матрицы

Дополнительные факты, связанные с эрмитовыми матрицами, включают:

• Сумма квадратной матрицы и сопряженной с ней транспонированной матрицы является эрмитовой. ${\displaystyle \left(A+A^{\mathsf {H}}\right)}$
• Разность квадратной матрицы и сопряженной ей транспонированной матрицы является косоэрмитовой (также называемой антиэрмитовой). Отсюда следует, что коммутатор двух эрмитовых матриц является косоэрмитовым. ${\displaystyle \left(A-A^{\mathsf {H}}\right)}$
• Произвольную квадратную матрицу C можно записать как сумму эрмитовой матрицы A и косоэрмитовой матрицы B. Это известно как разложение Теплица C . ^{[9] : 227}
  $${\displaystyle C=A+B\quad {\text{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\text{and}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(C-C^{\mathsf {H}}\right)}$$

коэффициент Рэлея

В математике для данной комплексной эрмитовой матрицы M и ненулевого вектора x фактор Рэлея ^[10] определяется как: ^{[9] : p. 234  [11]} ${\displaystyle R(M,\mathbf {x} ),}$

$${\displaystyle R(M,\mathbf {x} ):={\frac {\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}M\mathbf {x} }{\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}\mathbf {x} }}.}$$

Для вещественных матриц и векторов условие эрмитовости сводится к условию симметричности, а сопряженное транспонирование — к обычному транспонированию для любого ненулевого действительного скаляра . Кроме того, напомним, что эрмитова (или вещественная симметричная) матрица имеет действительные собственные значения. ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {H}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}.}$ ${\displaystyle R(M,c\mathbf {x} )=R(M,\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle c.}$

Можно показать ^[9] , что для данной матрицы коэффициент Рэлея достигает своего минимального значения (наименьшего собственного значения матрицы M), когда равен (соответствующий собственный вектор). Аналогично и ${\displaystyle \lambda _{\min }}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\min }}$ ${\displaystyle R(M,\mathbf {x} )\leq \lambda _{\max }}$ ${\displaystyle R(M,\mathbf {v} _{\max })=\lambda _{\max }.}$

Фактор Рэлея используется в теореме о мин-максе для получения точных значений всех собственных значений. Он также используется в алгоритмах собственных значений для получения аппроксимации собственных значений из аппроксимации собственных векторов. В частности, это основа итерации фактора Рэлея.

Диапазон коэффициента Рэлея (для матрицы, которая не обязательно является эрмитовой) называется числовым диапазоном (или спектром в функциональном анализе). Когда матрица эрмитова, числовой диапазон равен спектральной норме. Еще в функциональном анализе он известен как спектральный радиус. В контексте C*-алгебр или алгебраической квантовой механики функция, которая с M связывает фактор Рэлея R ( M , x ) для фиксированных x и M , изменяющихся в алгебре, будет называться «векторным состоянием» алгебры. . ${\displaystyle \lambda _{\max }}$

Смотрите также

• Комплексная симметричная матрица  - матрица, равная ее транспонированию.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Формула аддитивности инерции Хейнсворта  - подсчитывает положительные, отрицательные и нулевые собственные значения эрмитовой матрицы, разделенной на блоки.
• Эрмитова форма  - обобщение билинейной формы.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Нормальная матрица  - матрица, которая коммутирует с сопряженным ей транспонированием.
• Теорема Шура – ​​Хорна  - характеризует диагональ эрмитовой матрицы с заданными собственными значениями.
• Самосопряженный оператор  - линейный оператор, равный своему сопряженному оператору.
• Косо-эрмитова матрица  - матрица, сопряженная транспонирование которой является ее отрицательным (аддитивным обратным) (антиэрмитова матрица).
• Унитарная матрица  - Комплексная матрица, сопряженное транспонирование которой равно ее обратной.
• Векторное пространство  - алгебраическая структура в линейной алгебре

Рекомендации

1. Арчибальд, Том (31 декабря 2010 г.), Гауэрс, Тимоти; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре (ред.), «VI.47 Чарльз Эрмит», Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 773–773, doi : 10.1515/9781400830398.773a, ISBN 978-1-4008-3039-8, получено 15 ноября 2023 г.
2. Рибейро, Алехандро. «Обработка сигналов и информации» (PDF) .
3. «МНОГОМЕРНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ» (PDF) .
4. Лау, Иван. «Эрмитова спектральная теория смешанных графов» (PDF) .
5. Лю, Цзяньси; Ли, Сюэлян (февраль 2015 г.). «Матрицы эрмитовой смежности и эрмитовы энергии смешанных графов». Линейная алгебра и ее приложения . 466 : 182–207. дои : 10.1016/j.laa.2014.10.028 .
6. Франкель, Теодор (2004). Геометрия физики: введение. Издательство Кембриджского университета . п. 652. ИСБН 0-521-53927-7.
7. Конспекты курса физики 125 в Калифорнийском технологическом институте
8. Трефетан, Ллойд Н.; Бау, III, Дэвид (1997). Численная линейная алгебра. Филадельфия, Пенсильвания, США: СИАМ . п. 34. ISBN 0-89871-361-7.
9. Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ, второе издание . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521839402.
10. Также известно как соотношение Рэлея-Ритца ; назван в честь Вальтера Ритца и лорда Рэлея .
11. Парлет Б.Н. Симметричная проблема собственных значений , SIAM, Классика прикладной математики, 1998.

Внешние ссылки

• «Эрмитова матрица», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Визуализация эрмитовой матрицы как эллипса с доктором Гео, выполненная Чао-Куэй Хунгом из Университета Чаоян, дает более геометрическое объяснение.
• «Эрмитовы матрицы». MathPages.com .