Число Маха ( M или Ma ), часто только Маха , ( / m ɑː k / ; немецкий: [max] ) — безразмерная величина в гидродинамике , представляющая отношение скорости потока за границей к локальной скорости звука . [1] [2] Он назван в честь чешского физика и философа Эрнста Маха .
где:
По определению, при скорости 1 Маха локальная скорость потока u равна скорости звука. При скорости 0,65 Маха u составляет 65% скорости звука (дозвуковая), а при скорости 1,35 Маха u на 35% быстрее скорости звука (сверхзвуковой). Пилоты высотных аэрокосмических аппаратов используют число Маха полета, чтобы выразить истинную воздушную скорость транспортного средства , но поле потока вокруг транспортного средства варьируется в трех измерениях с соответствующими вариациями местного числа Маха.
Локальная скорость звука и, следовательно, число Маха зависят от температуры окружающего газа. Число Маха в основном используется для определения приближения, с помощью которого поток можно рассматривать как несжимаемый поток . Средой может быть газ или жидкость. Граница может перемещаться в среде или быть неподвижной, пока среда течет вдоль нее, или они могут двигаться обе с разными скоростями : значение имеет их относительная скорость по отношению друг к другу. Граница может быть границей объекта, погруженного в среду, или канала, такого как сопло , диффузор или аэродинамическая труба , направляющая среду. Поскольку число Маха определяется как отношение двух скоростей, оно является безразмерной величиной. Если M <0,2–0,3 и поток квазистационарный и изотермический , эффекты сжимаемости будут небольшими, и можно использовать упрощенные уравнения потока несжимаемой жидкости. [1] [2]
Число Маха названо в честь физика и философа Эрнста Маха [3] по предложению авиационного инженера Якоба Акерета в 1929 году. [4] Слово Мах всегда пишется с заглавной буквы, поскольку оно происходит от имени собственного, и поскольку число Маха является безразмерной величиной, а не единицей измерения , число стоит после слова Мах; второе число Маха - 2 Маха вместо 2 Маха (или Маха). Это чем-то напоминает раннюю современную единицу измерения океана ( синоним сажени ), которая также была первой единицей измерения и, возможно, повлияла на использование термина Мах. В течение десятилетия, предшествовавшего полету человека со скоростью, превышающей скорость звука , авиационные инженеры называли скорость звука числом Маха , а не 1 Маха . [5]
Число Маха является мерой характеристик сжимаемости потока жидкости : жидкость (воздух) ведет себя под влиянием сжимаемости аналогичным образом при заданном числе Маха, независимо от других переменных. [6] Согласно модели Международной стандартной атмосферы , сухой воздух на среднем уровне моря , стандартная температура 15 °C (59 °F), скорость звука составляет 340,3 метра в секунду (1116,5 футов/с; 761,23 миль в час; 1225,1 км). /ч; 661,49 узлов). [7] Скорость звука не является константой; в газе она увеличивается пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры , а поскольку температура атмосферы обычно снижается с увеличением высоты от уровня моря до 11 000 метров (36 089 футов), скорость звука также уменьшается. Например, в стандартной модели атмосферы температура снижается до -56,5 ° C (-69,7 ° F) на высоте 11 000 метров (36 089 футов) с соответствующей скоростью звука ( 1 Маха) 295,0 метров в секунду (967,8 футов / с); 659,9 миль/ч; 1062 км/ч; 573,4 узлов), 86,7% от значения уровня моря.
В качестве меры сжимаемости потока число Маха может быть получено из соответствующего масштабирования уравнения неразрывности . [8] Полное уравнение неразрывности для обычного потока жидкости: где – производная материала , – плотность , – скорость потока . Для изменений плотности, вызванных изэнтропическим давлением, где – скорость звука. Затем уравнение неразрывности можно немного изменить, чтобы учесть это соотношение: Следующий шаг — обезразмерить переменные как таковые: где — характерный масштаб длины, — характерный масштаб скорости, — эталонное давление и — эталонная плотность. Тогда безразмерная форма уравнения неразрывности может быть записана как: где число Маха . В пределе уравнение неразрывности сводится к — это стандартное требование для несжимаемого потока .
Хотя термины «дозвуковой» и «сверхзвуковой» в самом чистом смысле относятся к скоростям ниже и выше местной скорости звука соответственно, аэродинамики часто используют одни и те же термины, чтобы говорить об определенных диапазонах значений Маха. Это происходит из-за наличия трансзвукового режима вокруг полета (набегающего потока) M = 1, где аппроксимации уравнений Навье-Стокса , используемые для дозвукового проектирования, больше не применимы; Самое простое объяснение состоит в том, что обтекание планера локально начинает превышать M = 1, хотя число Маха набегающего потока ниже этого значения.
Между тем, сверхзвуковой режим обычно используется, чтобы говорить о наборе чисел Маха, для которых можно использовать линеаризованную теорию, когда, например, поток ( воздуха ) не вступает в химическую реакцию и где теплообменом между воздухом и транспортным средством можно разумно пренебречь. в расчетах.
В следующей таблице указаны режимы или диапазоны значений Маха , а не чистые значения слов «дозвуковой» и «сверхзвуковой» .
Как правило, НАСА определяет высокий гиперзвук как любое число Маха от 10 до 25, а скорость входа в атмосферу - как любое число, превышающее 25 Маха. К самолетам, работающим в этом режиме, относятся космические шаттлы и различные космические самолеты, находящиеся в стадии разработки.
Полет можно условно разделить на шесть категорий:
Для сравнения: требуемая скорость для низкой околоземной орбиты составляет примерно 7,5 км/с = 25,4 Маха в воздухе на больших высотах.
На околозвуковых скоростях поле течения вокруг объекта включает как дозвуковую, так и сверхзвуковую части. Трансзвуковой период начинается с появлением вокруг объекта первых зон течения М > 1. В случае аэродинамического профиля (например, крыла самолета) это обычно происходит над крылом. Сверхзвуковой поток может замедлиться до дозвукового только при нормальном толчке; обычно это происходит перед задней кромкой. (Рис.1а)
С увеличением скорости зона течения М > 1 увеличивается как в сторону передней, так и в сторону задней кромки. При достижении и прохождении М = 1 нормальный скачок достигает задней кромки и становится слабым косым скачком: течение над скачком замедляется, но остается сверхзвуковым. Впереди объекта создается нормальный скачок уплотнения, и единственной дозвуковой зоной в поле потока является небольшая область вокруг передней кромки объекта. (Рис.1б)
Рис. 1. Число Маха при околозвуковом обтекании профиля; М < 1 (а) и М > 1 (б).
Когда самолет превышает 1 Маха (т.е. звуковой барьер ), прямо перед самолетом создается большая разница давления . Эта резкая разница давлений, называемая ударной волной , распространяется назад и наружу от самолета в форме конуса (так называемый конус Маха ). Именно эта ударная волна вызывает звуковой удар , слышимый, когда над головой пролетает быстро движущийся самолет. Человек внутри самолета этого не услышит. Чем выше скорость, тем уже конус; при чуть большем M = 1 это вообще не конус, а ближе к слегка вогнутой плоскости.
На полностью сверхзвуковой скорости ударная волна начинает принимать форму конуса, и течение либо полностью сверхзвуковое, либо (в случае тупого объекта) между носовой частью объекта и создаваемой им впереди ударной волной остается лишь очень маленькая дозвуковая область потока. самого себя. (В случае острого предмета между носом и ударной волной воздуха нет: ударная волна начинается от носа.)
По мере увеличения числа Маха увеличивается и сила ударной волны , и конус Маха становится все более узким. Когда поток жидкости пересекает ударную волну, его скорость уменьшается, а температура, давление и плотность увеличиваются. Чем сильнее шок, тем значительнее изменения. При достаточно больших числах Маха температура над ударной волной возрастает настолько, что начинается ионизация и диссоциация молекул газа за ударной волной. Такие течения называются гиперзвуковыми.
Понятно, что любой объект, движущийся с гиперзвуковой скоростью, будет также подвергаться воздействию тех же экстремальных температур, что и газ за носовой ударной волной, и, следовательно, выбор термостойких материалов становится важным.
Когда поток в канале становится сверхзвуковым, происходит одно существенное изменение. Сохранение массового расхода заставляет ожидать, что сжатие канала потока приведет к увеличению скорости потока (т.е. сужение канала приводит к более быстрому потоку воздуха), и на дозвуковых скоростях это справедливо. Однако как только поток становится сверхзвуковым, соотношение площади потока и скорости меняется на противоположное: расширение канала фактически увеличивает скорость.
Очевидный результат: для ускорения потока до сверхзвука необходимо сужающееся-расширяющееся сопло, в котором сужающаяся часть ускоряет поток до звуковых скоростей, а расширяющаяся часть продолжает ускорение. Такие сопла называются соплами Лаваля, и в крайних случаях они способны развивать гиперзвуковую скорость (13 Маха (15 900 км/ч; 9 900 миль в час) при 20 ° C).
Авиационный махометр или электронная система полетной информации ( EFIS ) может отображать число Маха, полученное на основе давления торможения ( трубка Пито ) и статического давления.
Если известна скорость звука, число Маха, с которым летит самолет, можно рассчитать по формуле
где:
а скорость звука зависит от термодинамической температуры как:
где:
Если скорость звука неизвестна, число Маха можно определить путем измерения различных давлений воздуха (статического и динамического) и использования следующей формулы, полученной из уравнения Бернулли для чисел Маха меньше 1,0. Предполагая, что воздух является идеальным газом , формула для расчета числа Маха в дозвуковом сжимаемом потоке выглядит следующим образом: [9]
где:
Формула для расчета числа Маха в сверхзвуковом сжимаемом потоке получена из сверхзвукового уравнения Пито Рэлея :
Число Маха является функцией температуры и истинной воздушной скорости. Однако летные приборы самолета используют для расчета числа Маха перепад давления, а не температуру.
Предполагая, что воздух является идеальным газом , формула для расчета числа Маха в дозвуковом сжимаемом потоке находится из уравнения Бернулли для M <1 (выше): [9]
Формулу для расчета числа Маха в сверхзвуковом сжимаемом потоке можно найти из сверхзвукового уравнения Пито Рэлея (см. выше) с использованием параметров для воздуха:
где:
Как можно видеть, M появляется в обеих частях уравнения, и для практических целей для численного решения необходимо использовать алгоритм поиска корня (уравнение представляет собой септическое уравнение в M 2 и, хотя некоторые из них могут быть решены явно , теорема Абеля–Руффини гарантирует, что не существует общего вида корней этих многочленов). Сначала определяется, действительно ли M больше 1,0, путем расчета M из дозвукового уравнения. Если в этой точке M больше 1,0, то значение M из дозвукового уравнения используется в качестве начального условия для итерации сверхзвукового уравнения с фиксированной точкой, которое обычно сходится очень быстро. [9] Альтернативно можно использовать метод Ньютона .