Положительное целое число, которое является целой степенью другого положительного целого числа.
Демонстрация с помощью палочек Кюизенера совершенной силовой природы чисел 4, 8 и 9.
В математике совершенная степень — это натуральное число , являющееся произведением равных натуральных множителей, или, другими словами, целое число , которое можно выразить в виде квадрата или большей целой степени другого целого числа, большего единицы. Более формально, n является полной степенью, если существуют натуральные числа m > 1 и k > 1 такие, что m k = n . В этом случае n можно назвать идеальной k- й степенью . Если k = 2 или k = 3, то n называется совершенным квадратом или совершенным кубом соответственно. Иногда 0 и 1 также считаются совершенными степенями (0 k = 0 для любого k > 0, 1 k = 1 для любого k ).
Примеры и суммы
Последовательность идеальных степеней может быть сгенерирована путем перебора возможных значений m и k . Первые несколько возрастающих совершенных степеней в числовом порядке (показывающие повторяющиеся степени): (последовательность A072103 в OEIS ):
Сумма обратных величин совершенных степеней (включая дубликаты, такие как 3 4 и 9 2 , обе из которых равны 81) равна 1:
Согласно Эйлеру , Гольдбах показал (в ныне утерянном письме), что сумма1/п - 1по множеству совершенных степеней p , исключая 1 и исключая дубликаты, равно 1:
Определить, является ли данное натуральное число n совершенной степенью, можно разными способами с разным уровнем сложности . Один из самых простых таких методов — рассмотреть все возможные значения k для каждого из делителей n , вплоть до . Таким образом, если делители равны , то одно из значений должно быть равно n , если n действительно является совершенной степенью.
Этот метод можно сразу упростить, рассматривая вместо этого только простые значения k . Это потому, что если для составного числа p простое число, то это можно просто переписать как . Благодаря этому результату минимальное значение k обязательно должно быть простым.
Если известна полная факторизация n , скажем, где это различные простые числа, то n является совершенной степенью тогда и только тогда, когда где НОД обозначает наибольший общий делитель . В качестве примера рассмотрим n = 2 96 ·3 60 ·7 24 . Поскольку gcd(96, 60, 24) = 12, n является идеальной 12-й степенью (и идеальной 6-й степенью, 4-й степенью, кубом и квадратом, поскольку 6, 4, 3 и 2 делят 12).
Разрывы между совершенными полномочиями
В 2002 году румынский математик Преда Михайлеску доказал, что единственная пара последовательных совершенных степеней — это 2 3 = 8 и 3 2 = 9, тем самым доказав гипотезу Каталана .
Гипотеза Пиллаи утверждает, что для любого данного положительного целого числа k существует только конечное число пар совершенных степеней, разность которых равна k . Это нерешенная проблема. [2]