Идеальный комплекс

В алгебре совершенный комплекс модулей над коммутативным кольцом A — это объект в производной категории A -модулей, который квазиизоморфен ограниченному комплексу конечных проективных A -модулей. Совершенный модуль — это модуль, который является совершенным, если его рассматривать как комплекс, сосредоточенный в нулевой степени. Например, если A — нётерово , модуль над A является совершенным тогда и только тогда, когда он конечно порождён и имеет конечную проективную размерность .

Другие характеристики

Совершенные комплексы — это в точности компактные объекты в неограниченной производной категории A - модулей. ^[1] Они также являются в точности дуализуемыми объектами в этой категории. ^[2] ${\displaystyle D(A)}$

Компактный объект в ∞-категории (скажем, правых) спектров модулей над кольцевым спектром часто называют совершенным; ^[3] см. также спектр модуля .

Псевдокогерентный пучок

Когда структурный пучок не является когерентным, работа с когерентными пучками становится неудобной (а именно, ядро ​​конечного представления может оказаться некогерентным). По этой причине SGA 6 Expo I вводит понятие псевдокогерентного пучка . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

По определению, для заданного окольцованного пространства -модуль называется псевдокогерентным, если для каждого целого числа локально существует свободное представление конечного типа длины n ; т.е. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle L_{n}\to L_{n-1}\to \cdots \to L_{0}\to F\to 0}$.

Комплекс F -модулей называется псевдокогерентным, если для каждого целого числа n локально существует квазиизоморфизм , при котором L имеет степень, ограниченную сверху, и состоит из конечных свободных модулей в степени . Если комплекс состоит только из члена нулевой степени, то он псевдокогерентен тогда и только тогда, когда он таков как модуль. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle L\to F}$ ${\displaystyle \geq n}$

Грубо говоря, псевдокогерентный комплекс можно рассматривать как предел совершенных комплексов.

Смотрите также

• Теорема Гильберта–Берча
• Эллиптический комплекс (родственное понятие; обсуждалось на SGA 6 Exposé II, Приложение II.)

Ссылки

1. См., например, Бен-Цви, Фрэнсис и Надлер (2010).
2. Лемма 2.6. Керца, Странка и Тамме (2018)
3. Лурье (2014)

• Бен-Цви, Дэвид; Фрэнсис, Джон; Надлер, Дэвид (2010), «Интегральные преобразования и центры Дринфельда в производной алгебраической геометрии», Журнал Американского математического общества , 23 (4): 909–966, arXiv : 0805.0157 , doi : 10.1090/S0894-0347-10-00669-7, MR  2669705, S2CID  2202294

Библиография

• Бертло, Пьер ; Александр Гротендик ; Люк Иллюзи , ред. (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Теория пересечений и теория Римана-Роха - (SGA 6) (Конспекты лекций по математике 225 ) . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Том. 225. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . xii+700. дои : 10.1007/BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8. МР  0354655.
• Керц, Мориц; Штрунк, Флориан; Тамме, Георг (2018). «Алгебраическая K-теория и спуск для раздутий». Inventiones Mathematicae . 211 (2): 523–577. arXiv : 1611.08466 . Bibcode : 2018InMat.211..523K. doi : 10.1007/s00222-017-0752-2.
• Лурье, Якоб (2014). «Алгебраическая K-теория и топология многообразий (математика 281), лекция 19: K-теория кольцевых спектров» (PDF) .

Внешние ссылки

• «Определяющие тождества для совершенных комплексов». MathOverflow .
• «Альтернативное определение псевдокогерентного комплекса». MathOverflow .
• "15.74 Идеальные комплексы". Проект Stacks .
• "идеальный модуль". ncatlab.org .