В математике совершенная степень — это натуральное число , которое является произведением равных натуральных множителей, или, другими словами, целое число , которое может быть выражено как квадрат или более высокая целая степень другого целого числа, большего единицы. Более формально, n является совершенной степенью, если существуют натуральные числа m > 1 и k > 1, такие что m k = n . В этом случае n можно назвать совершенной k -й степенью . Если k = 2 или k = 3, то n называется совершенным квадратом или совершенным кубом соответственно. Иногда 0 и 1 также считаются совершенными степенями (0 k = 0 для любого k > 0, 1 k = 1 для любого k ).
Последовательность совершенных степеней может быть сгенерирована путем перебора возможных значений m и k . Первые несколько возрастающих совершенных степеней в числовом порядке (показывающие повторяющиеся степени) следующие (последовательность A072103 в OEIS ) :
Сумма обратных величин совершенных степеней (включая дубликаты, такие как 3 4 и 9 2 , оба из которых равны 81) равна 1:
что можно доказать следующим образом:
Первые совершенные степени без повторений:
Сумма обратных величин совершенных степеней p без повторений равна: [1]
где μ( k ) — функция Мёбиуса , а ζ( k ) — дзета-функция Римана .
По словам Эйлера , Гольдбах показал (в ныне утерянном письме), что сумма 1/п − 1 по множеству совершенных степеней p , исключая 1 и исключая дубликаты, равно 1:
Это иногда называют теоремой Гольдбаха–Эйлера .
Определение того, является ли заданное натуральное число n совершенной степенью, может быть выполнено многими различными способами с разным уровнем сложности . Один из самых простых таких методов — рассмотреть все возможные значения k для каждого из делителей n , вплоть до . Таким образом, если делители равны , то одно из значений должно быть равно n, если n действительно является совершенной степенью.
Этот метод можно сразу упростить, рассматривая только простые значения k . Это потому, что если для композита , где p является простым числом, то это можно просто переписать как . Из-за этого результата минимальное значение k обязательно должно быть простым.
Если известна полная факторизация n , скажем , где — различные простые числа, то n является совершенной степенью тогда и только тогда, когда где gcd обозначает наибольший общий делитель . В качестве примера рассмотрим n = 2 96 · 3 60 · 7 24 . Поскольку gcd(96, 60, 24) = 12, n является совершенной 12-й степенью (и совершенной 6-й степенью, 4-й степенью, кубом и квадратом, поскольку 6, 4, 3 и 2 делят 12).
В 2002 году румынский математик Преда Михайлеску доказал, что единственной парой последовательных совершенных степеней является 2 3 = 8 и 3 2 = 9, тем самым доказав гипотезу Каталана .
Гипотеза Пиллаи утверждает, что для любого заданного положительного целого числа k существует лишь конечное число пар совершенных степеней, разность которых равна k . Это нерешенная проблема. [2]