Современная теория портфеля

Математическая основа инвестиционного риска

Современная теория портфеля ( MPT ), или анализ средней дисперсии , представляет собой математическую основу для составления портфеля активов таким образом, чтобы ожидаемая доходность была максимальной для данного уровня риска. Это формализация и расширение диверсификации инвестирования, идея о том, что владение различными видами финансовых активов менее рискованно, чем владение только одним типом. Его ключевая идея заключается в том, что риск и доходность актива следует оценивать не сами по себе, а по тому, как они влияют на общий риск и доходность портфеля. Дисперсия доходности (или ее трансформация, стандартное отклонение ) используется как мера риска, поскольку ее можно контролировать, когда активы объединяются в портфели. ^[1] Часто историческая дисперсия и ковариация доходности используются в качестве показателя прогнозных версий этих величин, ^[2] но доступны и другие, более сложные методы. ^[3]

Экономист Гарри Марковиц представил MPT в эссе 1952 года, ^[1] за которое позже был удостоен Нобелевской премии по экономическим наукам ; см. модель Марковица .

В 1940 году Бруно де Финетти опубликовал ^[4] метод анализа средней дисперсии в контексте пропорционального перестрахования при более сильном предположении. Статья была малоизвестной и стала известна экономистам англоязычного мира только в 2006 году. ^[5]

Математическая модель

Риск и ожидаемая доходность

MPT предполагает, что инвесторы не склонны к риску , а это означает, что при наличии двух портфелей, предлагающих одинаковую ожидаемую доходность, инвесторы предпочтут менее рискованный. Таким образом, инвестор возьмет на себя повышенный риск только в том случае, если он будет компенсирован более высокой ожидаемой доходностью. И наоборот, инвестор, который хочет более высокой ожидаемой прибыли, должен принять на себя больший риск. Точный компромисс не будет одинаковым для всех инвесторов. Разные инвесторы будут оценивать компромисс по-разному в зависимости от индивидуальных особенностей неприятия риска. Подразумевается, что рациональный инвестор не будет инвестировать в портфель, если существует второй портфель с более благоприятным профилем риска по сравнению с ожидаемой доходностью , т. е. если для этого уровня риска существует альтернативный портфель, который имеет лучшую ожидаемую доходность.

По модели:

• Доходность портфеля представляет собой пропорционально взвешенную комбинацию доходностей составляющих его активов.
• Волатильность доходности портфеля является функцией корреляции ρ ij _{составляющих} активов для всех пар активов ( i , j ). Волатильность дает представление о риске, связанном с инвестициями. Чем выше волатильность, тем выше риск. ${\displaystyle \sigma _{p}}$

В общем:

• Ожидаемое возвращение:

${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=\sum _{i}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})\quad }$

где — доходность портфеля, — доходность актива i и — вес компонента актива (т. е. доля актива «i» в портфеле, так что ). ${\displaystyle R_{p}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$

• Отклонение доходности портфеля:

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}\sum _{j\neq i}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$,

где — (выборочное) стандартное отклонение периодической доходности актива i , а — коэффициент корреляции между доходностью активов i и j . Альтернативно выражение можно записать так: ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \rho _{ij}}$

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$,

где для или ${\displaystyle \rho _{ij}=1}$ ${\displaystyle i=j}$

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}}$,

где – (выборочная) ковариация периодической доходности двух активов, или альтернативно обозначаемая как , или . ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$ ${\displaystyle \sigma (i,j)}$ ${\displaystyle {\text{cov}}_{ij}}$ ${\displaystyle {\text{cov}}(i,j)}$

• Волатильность доходности портфеля (стандартное отклонение):

${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\sigma _{p}^{2}}}}$

Для портфеля из двух активов :

• Ожидаемая доходность портфеля: ${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B}).}$
• Отклонение портфеля: ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}}$

Для портфеля из трех активов :

• Ожидаемая доходность портфеля: ${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})+w_{C}\operatorname {E} (R_{C})}$
• Отклонение портфеля: ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+w_{C}^{2}\sigma _{C}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}+2w_{A}w_{C}\sigma _{A}\sigma _{C}\rho _{AC}+2w_{B}w_{C}\sigma _{B}\sigma _{C}\rho _{BC}}$

Алгебру можно значительно упростить, выразив величины, участвующие в матричной записи. ^[6] Расположите доходность N рискованных активов в векторе , где первый элемент — это доходность первого актива, второй элемент — второго актива и так далее. Расположите их ожидаемые доходы в вектор-столбце , а их дисперсии и ковариации в ковариационной матрице . Рассмотрим портфель рискованных активов, веса которого в каждом из N рискованных активов задаются соответствующим элементом вектора весов . Затем: ${\displaystyle N\times 1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle w}$

• Ожидаемая доходность портфеля: ${\displaystyle w'\mu }$

и

• Отклонение портфеля: ${\displaystyle w'\Sigma w}$

В случае инвестиций в безрисковый актив с доходностью веса вектора весов в сумме не равны 1, и ожидаемая доходность портфеля становится . Выражение для отклонения портфеля остается неизменным. ${\displaystyle Rf}$ ${\displaystyle w'\mu +(1-w'1)Rf}$

Диверсификация

Инвестор может снизить риск портфеля (особенно ), просто удерживая комбинации инструментов, которые не имеют идеальной положительной корреляции ( коэффициент корреляции ). Другими словами, инвесторы могут снизить свою подверженность риску отдельных активов, держа диверсифицированный портфель активов. Диверсификация может обеспечить ту же ожидаемую доходность портфеля с меньшим риском. Модель средней дисперсии для построения оптимальных инвестиционных портфелей была впервые предложена Марковицем и с тех пор была усилена и улучшена другими экономистами и математиками, которые продолжили учитывать ограничения этой модели. ${\displaystyle \sigma _{p}}$ ${\displaystyle -1\leq \rho _{ij}<1}$

Если все пары активов имеют корреляцию 0 (они совершенно некоррелированы), дисперсия доходности портфеля представляет собой сумму по всем активам квадрата доли, принадлежащей активу, умноженной на дисперсию доходности актива (а стандартное отклонение портфеля равно квадратному корню). этой суммы).

Если все пары активов имеют корреляцию 1 (они совершенно положительно коррелируют), то стандартное отклонение доходности портфеля представляет собой сумму стандартных отклонений доходности активов, взвешенных по долям, содержащимся в портфеле. Для заданных весов портфеля и стандартных отклонений доходности активов случай, когда все корреляции равны 1, дает максимально возможное стандартное отклонение доходности портфеля.

Граница эффективности без безрисковых активов

Эффективная граница. Гиперболу иногда называют «пулей Марковица», и она является эффективной границей, если нет доступных безрисковых активов. Для безрискового актива эффективной границей является прямая линия.

MPT — это теория средней дисперсии, которая сравнивает ожидаемую (среднюю) доходность портфеля со стандартным отклонением того же портфеля. На изображении показана ожидаемая доходность по вертикальной оси и стандартное отклонение по горизонтальной оси (волатильность). Волатильность описывается стандартным отклонением и служит мерой риска. ^[7] Пространство доходности-стандартного отклонения иногда называют пространством «ожидаемой доходности и риска». Любая возможная комбинация рискованных активов может быть отображена в этом пространстве ожидаемой доходности по риску, а совокупность всех таких возможных портфелей определяет область в этом пространстве. Левая граница этой области является гиперболической ^[8] , а верхняя часть гиперболической границы представляет собой эффективную границу при отсутствии безрискового актива (иногда называемую «пулей Марковица»). Комбинации вдоль этого верхнего края представляют собой портфели (включая отсутствие безрисковых активов), для которых существует наименьший риск для данного уровня ожидаемой доходности. Аналогичным образом, портфель, расположенный на границе эффективности, представляет собой комбинацию, предлагающую наилучшую ожидаемую доходность для данного уровня риска. Касательная к верхней части гиперболической границы является линией распределения капитала (CAL).

Матрицы являются предпочтительными для расчета эффективной границы.

В матричной форме для заданной «толерантности к риску» эффективная граница находится путем минимизации следующего выражения: ${\displaystyle q\in [0,\infty )}$

${\displaystyle w^{T}\Sigma w-q\times R^{T}w}$

где

• ${\displaystyle w}$– вектор весов портфеля и (Веса могут быть отрицательными); ${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1.}$
• ${\displaystyle \Sigma }$– ковариационная матрица доходности активов в портфеле;
• ${\displaystyle q\geq 0}$- фактор «толерантности к риску», где 0 приводит к портфелю с минимальным риском и к портфелю, бесконечно далекому от границы с неограниченным как ожидаемым доходом, так и риском; и ${\displaystyle \infty }$
• ${\displaystyle R}$– вектор ожидаемой доходности.
• ${\displaystyle w^{T}\Sigma w}$– это дисперсия доходности портфеля.
• ${\displaystyle R^{T}w}$– ожидаемая доходность портфеля.

Приведенная выше оптимизация находит точку на границе, в которой обратная величина наклона границы будет равна q , если бы дисперсия доходности портфеля вместо стандартного отклонения была нанесена горизонтально. Граница в целом является параметрической на q .

Гарри Марковиц разработал специальную процедуру для решения вышеуказанной проблемы, названную алгоритмом критической линии ^[9] , которая может обрабатывать дополнительные линейные ограничения, верхние и нижние границы активов и которая, как доказано, работает с полуположительно определенной ковариационной матрицей. Примеры реализации алгоритма критической линии существуют в Visual Basic для приложений , ^[10], в JavaScript ^[11] и в нескольких других языках.

Кроме того, многие пакеты программного обеспечения, включая MATLAB , Microsoft Excel , Mathematica и R , предоставляют общие процедуры оптимизации , поэтому их использование для решения вышеуказанной проблемы возможно, с потенциальными оговорками (низкая численная точность, требование положительной определенности ковариационной матрицы. .).

Альтернативный подход к определению эффективной границы состоит в том, чтобы сделать это параметрически на основе ожидаемой доходности портфеля. Этот вариант задачи требует, чтобы мы минимизировали ${\displaystyle R^{T}w.}$

${\displaystyle w^{T}\Sigma w}$

при условии

${\displaystyle R^{T}w=\mu }$

для параметра . Эту проблему легко решить с помощью множителя Лагранжа , который приводит к следующей линейной системе уравнений: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\Sigma &-R&-{\bf {1}}\\R^{T}&0&0\\{\bf {1}}^{T}&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\\mu \\1\end{bmatrix}}}$

Теорема о двух взаимных фондах

Одним из ключевых результатов приведенного выше анализа является теорема о двух взаимных фондах . ^{[12] [13]} Эта теорема утверждает, что любой портфель на эффективной границе может быть создан путем хранения комбинации любых двух заданных портфелей на границе; последние два заданных портфеля являются «взаимными фондами» в названии теоремы. Таким образом, при отсутствии безрискового актива инвестор может создать любой желаемый эффективный портфель, даже если все, что ему доступно, — это пара эффективных взаимных фондов. Если расположение желаемого портфеля на границе находится между местоположениями двух взаимных фондов, оба взаимных фонда будут храниться в положительных количествах. Если желаемый портфель находится за пределами диапазона, охватываемого двумя взаимными фондами, то один из взаимных фондов должен быть продан без покрытия (удержан в отрицательном объеме), в то время как размер инвестиций в другой взаимный фонд должен быть больше, чем сумма, доступная для инвестиции (избыток финансируется за счет займа из другого фонда).

Безрисковый актив и линия распределения капитала

Безрисковый актив — это (гипотетический) актив, по которому выплачивается безрисковая ставка . На практике краткосрочные государственные ценные бумаги (такие как казначейские векселя США ) используются как безрисковые активы, поскольку по ним выплачивается фиксированная процентная ставка и они имеют исключительно низкий риск дефолта . Безрисковый актив имеет нулевую дисперсию доходности (следовательно, безрисковый); он также не коррелирует ни с каким другим активом (по определению, поскольку его дисперсия равна нулю). В результате, когда он объединяется с любым другим активом или портфелем активов, изменение доходности линейно связано с изменением риска, поскольку пропорции в комбинации изменяются.

Когда вводится безрисковый актив, полулиния, показанная на рисунке, является новой эффективной границей. Он касается гиперболы чистого рискованного портфеля с самым высоким коэффициентом Шарпа . Его вертикальный пересечение представляет собой портфель со 100% активов в безрисковом активе; касание с гиперболой представляет портфель без безрисковых активов и 100% активов, находящихся в портфеле, находящихся в точке касания; точки между этими точками представляют собой портфели, содержащие положительные суммы как портфеля рискованных касаний, так и безрискового актива; а точки на полуоси за точкой касания — это портфели, включающие отрицательные запасы безрискового актива и сумму, инвестированную в портфель касания, равную более 100% первоначального капитала инвестора. Эта эффективная полулиния называется линией распределения капитала (CAL), и можно показать, что ее формула выглядит следующим образом:

${\displaystyle E(R_{C})=R_{F}+\sigma _{C}{\frac {E(R_{P})-R_{F}}{\sigma _{P}}}.}$

В этой формуле P — это подпортфель рискованных активов, соответствующий пуле Марковица, F — безрисковый актив, а C — комбинация портфелей P и F.

Судя по диаграмме, введение безрискового актива в качестве возможного компонента портфеля улучшило диапазон доступных комбинаций ожидаемой доходности с риском, поскольку везде, кроме портфеля касания, полулиния дает более высокую ожидаемую доходность, чем гипербола. делает это на всех возможных уровнях риска. Тот факт, что все точки линейного эффективного локуса могут быть достигнуты за счет комбинации активов безрискового актива и касательного портфеля, известен как теорема об одном взаимном фонде , ^[12] где упомянутый взаимный фонд является касательным портфелем. .

Геометрическая интуиция

Эффективную границу можно представить как задачу о квадратичных кривых . ^[12] На рынке у нас есть активы . У нас есть какие-то средства, и портфель — это способ разделить наши средства на активы. Каждый портфель можно представить в виде вектора , такого , что и мы держим активы в соответствии с ним . ${\displaystyle R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$ ${\displaystyle w^{T}R=\sum _{i}w_{i}R_{i}}$

Марковицкая пуля

Эллипсоид — это контур постоянной дисперсии. Плоскость — это пространство возможных портфелей. Другая плоскость — это контур постоянной ожидаемой доходности. Эллипсоид пересекает плоскость, образуя эллипс портфелей постоянной дисперсии. На этом эллипсе точка максимальной (или минимальной) ожидаемой доходности — это точка, где она касается контура постоянной ожидаемой доходности. Все эти портфели лежат на одной линии. ${\displaystyle x+y+z=1}$

Поскольку мы хотим максимизировать ожидаемую доходность при минимизации стандартного отклонения доходности, нам нужно решить задачу квадратичной оптимизации:

$${\displaystyle {\begin{cases}E[w^{T}R]=\mu \\\min \sigma ^{2}=Var[w^{T}R]\\\sum _{i}w_{i}=1\end{cases}}}$$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$ ${\displaystyle w^{T}E[R]=\mu }$ ${\displaystyle \sum _{ij}w_{i}\rho _{ij}w_{j}}$ ${\displaystyle \rho _{ij}}$ ${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$ ${\displaystyle \{w:w^{T}E[R]=\mu {\text{ and }}\sum _{i}w_{i}=1\}}$

По мере того, как мы меняемся , точка касания также меняется, но всегда попадает на одну линию (это теорема о двух взаимных фондах ). ${\displaystyle \mu }$

Пусть строка параметризована как . Мы находим это вдоль линии, ${\displaystyle \{w+w't:t\in \mathbb {R} \}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\mu &=(w'^{T}E[R])t+w^{T}E[R]\\\sigma ^{2}&=(w'^{T}\rho w')t^{2}+2(w^{T}\rho w')t+(w^{T}\rho w)\end{cases}}}$$

портфеля с минимальной дисперсией ${\displaystyle (\sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle \mu _{MVP}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{mid}}$

Касательное портфолио

Иллюстрация эффекта изменения нормы доходности безрисковых активов. Когда безрисковая доходность приближается к доходности глобального портфеля с минимальной дисперсией, портфель касательных стремится к бесконечности. Анимация из источника [2].

Портфель касаний существует тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle \mu _{RF}<\mu _{MVP}}$

В частности, если безрисковая доходность больше или равна , то касательный портфель не существует . Линия рынка капитала (CML) становится параллельной верхней линии асимптоты гиперболы. Точки на CML становятся недостижимыми, хотя к ним можно подойти снизу. ${\displaystyle \mu _{MVP}}$

Обычно предполагается, что безрисковая доходность меньше доходности глобального MVP, чтобы существовал касательный портфель. Однако даже в этом случае при подходе снизу портфель касаний расходится к портфелю с бесконечной доходностью и дисперсией. Поскольку на рынке существует лишь ограниченное количество активов, такой портфель должен сильно сокращать некоторые активы и одновременно сильно тянуться к некоторым другим активам. На практике такого портфеля касания было бы невозможно достичь, потому что нельзя слишком сильно шортить актив из-за ограничений коротких продаж , а также из-за влияния на цену , то есть покупка большого количества актива приведет к повышению его цены. нарушение предположения о том, что цены активов не зависят от портфеля. ${\displaystyle \mu _{RF}}$ ${\displaystyle \mu _{MVP}}$

Необратимая ковариационная матрица

Если ковариационная матрица необратима, то существует некоторый ненулевой вектор , такой, что является случайной величиной с нулевой дисперсией, то есть он вообще не является случайной. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v^{T}R}$

Предположим и , тогда это означает, что один из активов может быть точно воспроизведен с использованием других активов по той же цене и той же доходности. Следовательно, никогда не будет причин покупать этот актив, и мы можем удалить его с рынка. ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=0}$ ${\displaystyle v^{T}R=0}$

Предположим и , тогда это означает, что есть свободные деньги, что нарушает предположение об отсутствии арбитража . ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=0}$ ${\displaystyle v^{T}R\neq 0}$

Предположим , тогда мы можем масштабировать вектор до . Это означает, что мы создали безрисковый актив с доходностью . Мы можем удалить каждый такой актив с рынка, создав один безрисковый актив для каждого такого удаленного актива. Согласно предположению об отсутствии арбитража, все их ставки доходности равны. Для активов, которые все еще остаются на рынке, их ковариационная матрица обратима. ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=1}$ ${\displaystyle v^{T}R}$

Оценка активов

Приведенный выше анализ описывает оптимальное поведение отдельного инвестора. Теория ценообразования активов основывается на этом анализе, позволяя MPT получить требуемую ожидаемую доходность для правильно оцененного актива в этом контексте.

Интуитивно (на идеальном рынке с рациональными инвесторами ), если ценная бумага была дорогой по сравнению с другими ценными бумагами (т.е. слишком велик риск для цены), спрос упадет, и ее цена соответственно упадет; если бы он был дешевым, спрос и цена также увеличились бы. Это будет продолжаться до тех пор, пока все подобные корректировки не прекратятся – состояние « рыночного равновесия ». В этом равновесии относительные предложения будут равны относительному спросу: учитывая взаимосвязь цены с предложением и спросом, поскольку соотношение риска и вознаграждения «идентично» для всех ценных бумаг, пропорции каждой ценной бумаги в любом полностью диверсифицированном портфеле будут соответственно одинаковыми. .

Более формально, тогда, поскольку каждый владеет рискованными активами в одинаковых пропорциях друг к другу, а именно в пропорциях, заданных касательным портфелем, в условиях рыночного равновесия цены рискованных активов и, следовательно, их ожидаемая доходность будут корректироваться так, что соотношения в Касательный портфель аналогичен соотношениям, в которых рискованные активы поставляются на рынок. ^[14] Далее следует результат ожидаемой доходности, как показано ниже.

Систематический риск и специфический риск

Специфический риск — это риск, связанный с отдельными активами. В рамках портфеля эти риски можно снизить за счет диверсификации (специфические риски «нейтрализуются»). Специфический риск также называют диверсифицируемым, уникальным, несистематическим или идиосинкразическим риском. Систематический риск (также известный как портфельный риск или рыночный риск) относится к риску, общему для всех ценных бумаг — за исключением коротких продаж, как указано ниже, систематический риск не может быть диверсифицирован (в пределах одного рынка). В рамках рыночного портфеля риск, связанный с конкретными активами, будет максимально диверсифицирован. Таким образом, систематический риск приравнивается к риску (стандартному отклонению) рыночного портфеля.

Поскольку ценная бумага будет куплена только в том случае, если она улучшит характеристики ожидаемой доходности рыночного портфеля, соответствующей мерой риска ценной бумаги является риск, который она добавляет к рыночному портфелю, а не ее риск в отдельности. В этом контексте волатильность актива и его корреляция с рыночным портфелем наблюдаются исторически и поэтому приводятся. (Существует несколько подходов к ценообразованию активов, которые пытаются оценить активы путем моделирования стохастических свойств моментов доходности активов - их широко называют моделями условного ценообразования активов.)

Систематическими рисками на одном рынке можно управлять с помощью стратегии использования как длинных, так и коротких позиций в одном портфеле, создавая «рыночно-нейтральный» портфель. Таким образом, рыночно-нейтральные портфели не будут коррелировать с более широкими рыночными индексами.

Модель ценообразования капитальных активов

Доходность актива зависит от суммы, уплаченной за актив сегодня. Уплаченная цена должна гарантировать, что характеристики риска/доходности рыночного портфеля улучшатся при добавлении к нему актива. CAPM — это модель, которая определяет теоретическую требуемую ожидаемую доходность (т. е . ставку дисконтирования) для актива на рынке с учетом безрисковой ставки, доступной инвесторам, и риска рынка в целом. CAPM обычно выражается:

${\displaystyle \operatorname {E} (R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})}$

• β, Beta , — это мера чувствительности активов к изменениям на рынке в целом; Бета обычно находится с помощью регрессии исторических данных. Бета-коэффициенты, превышающие единицу, означают более чем среднюю «рискованность» в смысле вклада актива в общий риск портфеля; Бета ниже единицы указывает на меньшую, чем в среднем, долю риска.
• ${\displaystyle (\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})}$– это рыночная премия, ожидаемая доходность, превышающая ожидаемую доходность рыночного портфеля над безрисковой ставкой.

Вывод ^[14] следующий:

(1) Возрастающее влияние на риск и ожидаемую доходность при добавлении дополнительного рискованного актива a к рыночному портфелю m следует из формул для портфеля из двух активов. Эти результаты используются для получения ставки дисконтирования, соответствующей активу.

• Обновленный риск портфеля = ${\displaystyle (w_{m}^{2}\sigma _{m}^{2}+[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}])}$

Следовательно, риск, добавленный к портфелю = ${\displaystyle [w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]}$

но так как вес актива будет очень низким, re. общий рынок, ${\displaystyle w_{a}^{2}\approx 0}$

т.е. дополнительный риск = ${\displaystyle [2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]\quad }$

• Обновленный ожидаемый доход = ${\displaystyle (w_{m}\operatorname {E} (R_{m})+[w_{a}\operatorname {E} (R_{a})])}$

Следовательно, дополнительная ожидаемая доходность = ${\displaystyle [w_{a}\operatorname {E} (R_{a})]}$

(2) Если актив a оценен правильно, улучшение для инвестора соотношения риска к ожидаемой доходности, достигнутое путем добавления его в рыночный портфель m , будет по крайней мере (точно в равновесии) соответствовать прибыли потратить эти деньги на увеличение доли в рыночном портфеле. Предполагается, что инвестор приобретет актив на заемные средства по безрисковой ставке ; это рационально, если . ${\displaystyle R_{f}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (R_{a})>R_{f}}$

Таким образом: ${\displaystyle [w_{a}(\operatorname {E} (R_{a})-R_{f})]/[2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]=[w_{a}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})]/[2w_{m}w_{a}\sigma _{m}\sigma _{m}]}$

то есть: ${\displaystyle [\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]/[\sigma _{m}\sigma _{m}]}$

то есть: ( поскольку ) ${\displaystyle [\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]}$ ${\displaystyle \rho _{XY}=\sigma _{XY}/(\sigma _{X}\sigma _{Y})}$

${\displaystyle [\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]\quad }$- это упомянутая «бета» доходность - ковариация между доходностью актива и доходностью рынка, деленная на отклонение рыночной доходности - т.е. чувствительность цены актива к изменению стоимости рыночного портфеля (см. также Бета (финансы) § Добавление актива в рыночный портфель ). ${\displaystyle \beta }$

Это уравнение можно оценить статистически, используя следующее уравнение регрессии :

${\displaystyle \mathrm {SCL} :R_{i,t}-R_{f}=\alpha _{i}+\beta _{i}\,(R_{M,t}-R_{f})+\epsilon _{i,t}{\frac {}{}}}$

где αi _{называется} альфа актива , βi _— коэффициент бета актива , а SCL — характеристическая линия безопасности .

После того как ожидаемая доходность актива рассчитывается с использованием CAPM, будущие денежные потоки от актива могут быть дисконтированы до их текущей стоимости с использованием этой ставки, чтобы установить правильную цену актива. Более рискованные акции будут иметь более высокую бета-коэффициент и будут дисконтироваться по более высокой ставке; менее чувствительные акции будут иметь более низкие коэффициенты бета и будут дисконтироваться по более низкой ставке. Теоретически актив оценивается правильно, если его наблюдаемая цена равна его стоимости, рассчитанной с использованием полученной ставки дисконтирования CAPM. Если наблюдаемая цена выше оценки, то актив переоценен; он недооценен из-за слишком низкой цены. ${\displaystyle E(R_{i})}$

Критика

Несмотря на теоретическую важность MPT, критики MPT задаются вопросом, является ли он идеальным инвестиционным инструментом, поскольку его модель финансовых рынков во многом не соответствует реальному миру. ^{[15] [2]}

Показатели риска, доходности и корреляции, используемые MPT, основаны на ожидаемых значениях , что означает, что они представляют собой статистические утверждения о будущем (ожидаемое значение доходности явно указано в приведенных выше уравнениях и неявно в определениях дисперсии и ковариации ) . . Такие меры часто не могут отразить истинные статистические характеристики риска и доходности, которые часто следуют сильно асимметричному распределению (например, логарифмически нормальному распределению ) и могут привести, помимо снижения волатильности , также к завышенному росту доходности. ^[16] На практике инвесторы должны заменить эти значения в уравнениях прогнозами, основанными на исторических измерениях доходности и волатильности активов. Очень часто такие ожидаемые значения не учитывают новые обстоятельства, которых не было на момент создания исторических данных. ^[17] Оптимальный подход к выявлению тенденций, который отличается от оптимизации Марковица использованием свойств инвариантности, также основан на физике. Вместо преобразования нормализованных ожиданий с использованием обратной корреляционной матрицы инвариантный портфель использует обратную величину квадратного корня корреляционной матрицы. ^[18] Задача оптимизации решается в предположении, что ожидаемые значения неопределенны и коррелированы. ^[19] Решение Марковица соответствует только случаю, когда корреляция между ожидаемыми доходами аналогична корреляции между доходами.

Более фундаментально, инвесторы застревают в оценке ключевых параметров на основе прошлых рыночных данных, потому что MPT пытается моделировать риск с точки зрения вероятности потерь, но ничего не говорит о том, почему эти потери могут произойти. Используемые измерения риска носят вероятностный , а не структурный характер. Это главное отличие от многих инженерных подходов к управлению рисками .

Теория вариантов и MPT имеют по крайней мере одно важное концептуальное отличие от вероятностной оценки риска , проводимой на атомных электростанциях. PRA – это то, что экономисты назвали бы структурной моделью . Компоненты системы и их взаимоотношения моделируются методом Монте-Карло . Если клапан X выходит из строя, это приводит к потере обратного давления на насосе Y, что приводит к падению потока в резервуар Z и так далее.

Но в уравнении Блэка-Шоулза и MPT нет попытки объяснить основную структуру изменений цен. Различные результаты просто даны вероятности. И, в отличие от PRA, если нет истории конкретного события системного уровня, такого как кризис ликвидности , нет способа вычислить вероятность этого события. Если бы инженеры-ядерщики управляли рисками таким образом, они бы никогда не смогли рассчитать вероятность аварии на конкретной станции, пока в одной и той же конструкции реактора не произойдет несколько подобных событий.

-  Дуглас В. Хаббард , Неудача в управлении рисками , с. 67, John Wiley & Sons, 2009. ISBN  978-0-470-38795-5

Математические измерения риска также полезны только в той степени, в которой они отражают истинные опасения инвесторов: нет смысла минимизировать переменную, которая на практике никого не волнует. В частности, дисперсия — это симметричная мера, которая считает аномально высокую доходность столь же рискованной, как и аномально низкую доходность. Психологический феномен неприятия потерь заключается в том, что инвесторы больше озабочены потерями, чем прибылью, а это означает, что наше интуитивное представление о риске фундаментально асимметрично по своей природе. Существует множество других показателей риска (например, последовательных показателей риска ), которые могут лучше отражать истинные предпочтения инвесторов.

Современная портфельная теория также подвергается критике, поскольку она предполагает, что доходность подчиняется распределению Гаусса . Уже в 1960-х годах Бенуа Мандельброт и Юджин Фама показали неадекватность этого предположения и предложили использовать вместо него более общие устойчивые распределения . Стефан Миттник и Светлозар Рачев представили стратегии формирования оптимальных портфелей в таких условиях. ^{[20] [21] [22]} Совсем недавно Нассим Николас Талеб также раскритиковал современную портфельную теорию на этом основании, написав:

После краха фондового рынка (в 1987 году) они наградили двух теоретиков, Гарри Марковица и Уильяма Шарпа, которые построили прекрасные платонические модели на основе Гаусса, внося свой вклад в то, что называется современной портфельной теорией. Проще говоря, если вы отбросите их гауссовы предположения и будете считать цены масштабируемыми, у вас останется пустая болтовня. Нобелевский комитет мог бы протестировать модели Шарпа и Марковица — они работают как шарлатанские лекарства, продаваемые в Интернете, — но, похоже, никто в Стокгольме об этом не подумал.

-  Нассим Н. Талеб, Черный лебедь: влияние крайне невероятного , с. 277, Random House, 2007. ISBN 978-1-4000-6351-2 . 

Инвесторы-противники и стоимостные инвесторы обычно не придерживаются современной теории портфеля. ^[23] Одно из возражений состоит в том, что MPT опирается на гипотезу эффективного рынка и использует колебания цен на акции в качестве замены риска. Сэр Джон Темплтон верил в диверсификацию как концепцию, но также считал теоретические основы MPT сомнительными и пришел к выводу (по описанию биографа): «идея о том, что создание портфелей на основе ненадежных и нерелевантных статистических данных, таких как исторические волатильность, был обречен на провал». ^[24]

В нескольких исследованиях утверждается, что «наивная диверсификация», при которой капитал распределяется поровну между доступными вариантами инвестирования, в некоторых ситуациях может иметь преимущества перед MPT. ^[25]

Применительно к определенным совокупностям активов ученые определили, что модель Марковица неадекватна из-за ее восприимчивости к нестабильности модели, которая может возникнуть, например, среди совокупности высококоррелированных активов. ^[26]

Расширения

С момента появления MPT в 1952 году было предпринято множество попыток улучшить модель, особенно за счет использования более реалистичных предположений.

Постмодернистская теория портфеля расширяет MPT, принимая ненормально распределенные, асимметричные и «толстые хвосты» меры риска. ^[27] Это помогает решить некоторые из этих проблем, но не помогает другим.

Оптимизация модели Блэка-Литтермана является расширением неограниченной оптимизации Марковица, которая включает в себя относительные и абсолютные «представления» о входных данных о риске и доходности.

Модель также расширяется за счет предположения, что ожидаемая доходность неопределенна, и матрица корреляции в этом случае может отличаться от матрицы корреляции между доходностями. ^{[18] [19]}

Связь с теорией рационального выбора

Современная теория портфеля несовместима с основными аксиомами теории рационального выбора , особенно с аксиомой монотонности, утверждающей, что, если инвестирование в портфель X с вероятностью единица принесет больше денег, чем инвестирование в портфель Y , тогда рациональный инвестор должен предпочесть X Ю. _ Напротив, современная теория портфеля основана на другой аксиоме, называемой неприятием дисперсии ^[28] , и может рекомендовать инвестировать в Y на том основании, что он имеет более низкую дисперсию. Макчерони и др. ^{В [29]} описана теория выбора, которая наиболее близка к современной портфельной теории, но при этом удовлетворяет аксиоме монотонности. Альтернативно, анализ среднего отклонения ^[30] представляет собой теорию рационального выбора, возникающую в результате замены дисперсии соответствующей мерой риска отклонения .

Другие приложения

В 1970-х годах концепции MPT нашли свое применение в области региональной науки . В серии плодотворных работ Майкл Конрой ^{смоделировал рабочую силу в экономике ,} используя методы портфельной теории для изучения роста и изменчивости рабочей силы. За этим последовала обширная литература о взаимосвязи между экономическим ростом и волатильностью. ^[31]

Совсем недавно современная теория портфеля стала использоваться для моделирования Я-концепции в социальной психологии. Когда Я-атрибуты, составляющие Я-концепцию, составляют хорошо диверсифицированный портфель, тогда психологические результаты на уровне личности, такие как настроение и самооценка, должны быть более стабильными, чем когда Я-концепция недиверсифицирована. Это предсказание было подтверждено в исследованиях с участием людей. ^[32]

Недавно современная теория портфеля была применена для моделирования неопределенности и корреляции между документами при поиске информации. Целью данного запроса является максимизация общей релевантности ранжированного списка документов и в то же время минимизация общей неопределенности ранжированного списка. ^[33]

Портфели проектов и другие «нефинансовые» активы

Некоторые эксперты применяют MPT к портфелям проектов и другим активам, помимо финансовых инструментов. ^{[34] [35]} Когда MPT применяется за пределами традиционных финансовых портфелей, необходимо учитывать некоторые различия между различными типами портфелей.

1. Активы в финансовых портфелях практически непрерывно делятся, тогда как портфели проектов являются «кусковыми». Например, хотя мы можем вычислить, что оптимальная позиция портфеля для трех акций составляет, скажем, 44%, 35%, 21%, оптимальная позиция портфеля проектов может не позволить нам просто изменить сумму, потраченную на проект. Проекты могут быть «все или ничего» или, по крайней мере, иметь логические единицы, которые невозможно разделить. Метод оптимизации портфеля должен учитывать дискретный характер проектов.
2. Активы финансовых портфелей ликвидны; их можно оценить или переоценить в любой момент времени. Но возможности для запуска новых проектов могут быть ограничены и могут возникать в ограниченные промежутки времени. Проекты, которые уже были начаты, не могут быть прекращены без потери невозвратных издержек (т.е. стоимость восстановления/спасения наполовину завершенного проекта невелика или вообще отсутствует).

Ни один из этих вариантов не исключает возможности использования MPT и подобных портфелей. Они просто указывают на необходимость провести оптимизацию с дополнительным набором математически выраженных ограничений, которые обычно не применяются к финансовым портфелям.

Более того, некоторые из простейших элементов современной теории портфеля применимы практически к любому типу портфеля. Концепция определения толерантности инвестора к риску путем документирования того, какой риск приемлем для заданной доходности, может быть применена к различным проблемам анализа решений. MPT использует историческую дисперсию в качестве меры риска, но портфели активов, такие как крупные проекты, не имеют четко определенной «исторической дисперсии». В этом случае инвестиционную границу MPT можно выразить в более общих терминах, например, «вероятность того, что рентабельность инвестиций будет меньше стоимости капитала» или «вероятность потери более половины инвестиций». Когда риск выражается в терминах неопределенности прогнозов и возможных потерь, эту концепцию можно перенести на различные виды инвестиций. ^[34]

Смотрите также

• Очерк финансов § Теория портфеля
• Бета (финансы)
• Коэффициент смещения (финансы)
• Модель Блэка – Литтермана
• Управление финансовыми рисками § Управление инвестициями
• Межвременной выбор портфеля
• Теория инвестиций
• критерий Келли
• Маргинальное условное стохастическое доминирование
• Модель Марковица
• Теорема о разделении взаимных фондов
• соотношение омега
• Постмодернистская теория портфеля
• Коэффициент Сортино
• соотношение Трейнора
• Двухмоментные модели принятия решений
• Универсальный алгоритм портфеля

Рекомендации

1. Марковиц, HM (март 1952 г.). «Выбор портфолио». Журнал финансов . 7 (1): 77–91. дои : 10.2307/2975974. JSTOR  2975974.
2. Вигглсворт, Робин (11 апреля 2018 г.). «Как вирус волатильности заразил Уолл-стрит». Файнэншл Таймс .
3. Люк Бауэнс, Себастьен Лоран, Жерун В.К. Ромбоутс (февраль 2006 г.). «Многомерные модели GARCH: обзор». Журнал прикладной эконометрики . 21 (1).{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. де Финетти, Б. (1940): Иль проблема деи «Пьени». Джорнале дель Иституто Итальяно дельи Аттуари 11, 1–88; перевод (Барон Л. (2006)): Проблема страхования полного риска. Глава I. Риск в пределах одного отчетного периода. Журнал инвестиционного менеджмента 4 (3), 19–43.
5. Прессакко, Флавио; Серафини, Паоло (май 2007 г.). «Истоки подхода среднего отклонения в финансах: возвращение к де Финетти 65 лет спустя». Решения в экономике и финансах . 30 (1): 19–49. дои : 10.1007/s10203-007-0067-7. ISSN  1593-8883.
6. Конспекты лекций Дэвида Лэндо и Рольфа Поульсена, Глава 9, «Теория портфеля» [1]
7. Выбор портфеля, Гарри Марковиц - Финансовый журнал, Vol. 7, № 1. (Март 1952 г.), стр. 77-91.
8. см. нижнюю часть слайда 6 здесь.
9. Марковиц, HM (март 1956 г.). «Оптимизация квадратичной функции с линейными ограничениями». Ежеквартальный журнал военно-морских исследований по логистике . 3 (1–2): 111–133. дои : 10.1002/nav.3800030110.
10. Марковиц, Гарри (февраль 2000 г.). Средне-дисперсионный анализ при выборе портфеля и рынках капитала . Уайли. ISBN 978-1-883-24975-5.
11. «Библиотека JavaScript PortfolioAllocation» . github.com/lequant40 . Проверено 13 июня 2018 г.
12. Мертон, Роберт К. (сентябрь 1972 г.). «Аналитический вывод границы эффективного портфеля» (PDF) . Журнал финансового и количественного анализа . 7 (4): 1851. дои : 10.2307/2329621. hdl : 1721.1/46832 . ISSN  0022-1090. Архивировано из оригинала 21 марта 2022 года.
13. Карацас, Иоаннис; Лехочки, Джон П.; Сетхи, Суреш П.; Шрив, Стивен Э. (1986). «Явное решение общей проблемы потребления/инвестиций». Математика исследования операций . 11 (2): 261–294. дои : 10.1287/moor.11.2.261. JSTOR  3689808. S2CID  22489650. SSRN  1086184.
14. См., например, Тим Боллерслев (2019). «Риск и доходность в равновесии: модель ценообразования капитальных активов (CAPM)»
15. Махдави Дамгани Б. (2013). «Не вводящая в заблуждение ценность предполагаемой корреляции: введение в модель коинтеляции». Журнал Уилмотт . 2013 (67): 50–61. дои : 10.1002/wilm.10252.
16. Хуэй, К.; Фокс, Джорджия; Гуревич, Дж. (2017). «Эффекты портфеля, зависящие от масштаба, объясняют рост инфляции и снижение волатильности ландшафтной демографии». Труды Национальной академии наук США . 114 (47): 12507–12511. Бибкод : 2017PNAS..11412507H. дои : 10.1073/pnas.1704213114 . ПМК 5703273 . ПМИД  29109261. 
17. Лоу, РКИ; Фафф, Р.; Аас, К. (2016). «Улучшение выбора портфеля среднего и отклонения путем моделирования асимметрии распределения» (PDF) . Журнал экономики и бизнеса . 85 : 49–72. doi :10.1016/j.jeconbus.2016.01.003.
18. Бенишу, Р.; Лемперьер, Ю.; Сери, Э.; Кокелькорен, Дж.; Сигер, П.; Бушо, Ж.-П.; Поттерс, М. (2017). «Агностический паритет рисков: укрощение известных и неизвестных-неизвестных». Журнал инвестиционных стратегий . 6 .
19. Валейр, С. (2024). «Оптимальные портфели, следующие за трендом». Журнал инвестиционных стратегий . 12 .
20. Рачев, Светлозар Т. и Стефан Миттник (2000), Стабильные паретианские модели в финансах, Wiley, ISBN 978-0-471-95314-2 . 
21. Журнал Risk Manager (2006), «Новые подходы к оптимизации портфеля: расставание с колоколообразной кривой - интервью с профессором Светлозаром Рачевым и профессором Стефаном Миттником» (PDF) .
22. Доганоглу, Токер; Харц, Кристоф; Миттник, Стефан (2007). «Оптимизация портфеля, когда факторы риска условно варьируются и имеют тяжелые хвосты» (PDF) . Вычислительная экономика . 29 (3–4): 333–354. doi : 10.1007/s10614-006-9071-1. S2CID  8280640.
23. Сет Кларман (1991). Запас прочности: стратегии стоимостного инвестирования, не связанные с риском, для вдумчивого инвестора. HarperCollins, ISBN 978-0887305108 , стр. 97-102. 
24. Аласдер Нэрн (2005). «Путь Темплтона с деньгами: стратегии и философия легендарного инвестора». Уайли, ISBN 1118149610, стр. 262
25. Духин, Ран; Леви, Хаим (2009). «Марковиц против талмудических стратегий диверсификации портфеля». Журнал управления портфелем . 35 (2): 71–74. дои : 10.3905/JPM.2009.35.2.071. S2CID  154865200.
26. Хениде, Карим (2023). «Оптимизация коэффициента Шермана: построение альтернативных портфелей ультракоротких государственных облигаций». Журнал инвестиционных стратегий . дои : 10.21314/JOIS.2023.001.
27. Стоянов, Стоян; Рачев, Светлозар; Рачева-Йотова, Боряна; Фабоцци, Фрэнк (2011). «Модели с толстыми хвостами для оценки риска» (PDF) . Журнал управления портфелем . 37 (2): 107–117. дои : 10.3905/jpm.2011.37.2.107. S2CID  154172853.
28. Лоффлер, А. (1996). Неприятие дисперсии предполагает наличие μ-σ ² -критерия. Журнал экономической теории, 69 (2), 532–539.
29. Макчерони, Фабио; Мариначчи, Массимо; Рустичини, Альдо; Табога, Марко (2009). «Выбор портфеля с предпочтениями монотонной средней дисперсии» (PDF) . Математические финансы . 19 (3): 487–521. дои : 10.1111/j.1467-9965.2009.00376.x. S2CID  154536043.
30. Гречук, Богдан; Молыбоха, Антон; Забаранкин, Михаил (2012). «Анализ среднего отклонения в теории выбора». Анализ риска . 32 (8): 1277–1292. дои : 10.1111/j.1539-6924.2011.01611.x. PMID  21477097. S2CID  12133839.
31. Чандра, Сиддхарт (2003). «Размер региональной экономики и граница нестабильности роста: данные из Европы». Журнал региональной науки . 43 (1): 95–122. дои : 10.1111/1467-9787.00291. S2CID  154477444.
32. Чандра, Сиддхарт; Шадель, Уильям Г. (2007). «Пересечение дисциплинарных границ: применение теории финансового портфеля для моделирования организации самооценки». Журнал исследований личности . 41 (2): 346–373. дои : 10.1016/j.jrp.2006.04.007.
33. Портфельная теория информационного поиска, 11 июля 2009 г. (11 июля 2009 г.). «Портфельная теория информационного поиска | Домашняя страница доктора Цзюнь Вана». Web4.cs.ucl.ac.uk. _ Проверено 5 сентября 2012 г.{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
34. Хаббард, Дуглас (2007). Как измерить что угодно: определение ценности нематериальных активов в бизнесе . Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-11012-6.
35. Саббадини, Тони (2010). «Теория производственного портфеля» (PDF) . Международный институт перспективных исследований в области системных исследований и кибернетики .

дальнейшее чтение

• Линтнер, Джон (1965). «Оценка рисковых активов и выбор рискованных инвестиций в портфели акций и капитальные бюджеты». Обзор экономики и статистики . 47 (1): 13–39. дои : 10.2307/1924119. JSTOR  1924119.
• Шарп, Уильям Ф. (1964). «Цены на капитальные активы: теория рыночного равновесия в условиях риска». Журнал финансов . 19 (3): 425–442. дои : 10.2307/2977928. hdl : 10.1111/j.1540-6261.1964.tb02865.x . JSTOR  2977928.
• Тобин, Джеймс (1958). «Предпочтение ликвидности как поведение по отношению к риску» (PDF) . Обзор экономических исследований . 25 (2): 65–86. дои : 10.2307/2296205. JSTOR  2296205.

Внешние ссылки

• Макроинвестиционный анализ, профессор Уильям Ф. Шарп , Стэнфордский университет
• «Оптимизация портфеля», профессор Стивен П. Бойд , Стэнфордский университет
• «Новые подходы к оптимизации портфеля: расставание с колоколообразной кривой» — интервью с профессором Светлозаром Рачевым и профессором Стефаном Миттником
• «Бруно де Финетти и выбор портфеля средней дисперсии. Статья Марка Рубинштейна об открытии Бруно де Финетти и комментариях Марковица.