В математике , в частности в теории групп , две группы соизмеримы , если они отличаются только на конечную величину, в точном смысле. Соизмеритель подгруппы — это другая подгруппа, связанная с нормализатором .
Две группы G 1 и G 2 называются ( абстрактно ) соизмеримыми , если существуют подгруппы H 1 ⊂ G 1 и H 2 ⊂ G 2 конечного индекса такие, что H 1 изоморфна H 2 . [1] Например :
Другое, но родственное понятие используется для подгрупп данной группы. А именно, две подгруппы Γ 1 и Γ 2 группы G называются соизмеримыми, если пересечение Γ 1 ∩ Γ 2 имеет конечный индекс как в Γ 1 , так и в Γ 2 . Очевидно, это означает, что Γ 1 и Γ 2 абстрактно соизмеримы.
Пример: для ненулевых действительных чисел a и b подгруппа R , порождённая a , соизмерима с подгруппой, порождённой b , тогда и только тогда, когда действительные числа a и b соизмеримы [ необходимо дополнительное объяснение ] , что означает, что a / b принадлежит рациональным числам Q.
В геометрической теории групп конечно порождённая группа рассматривается как метрическое пространство с использованием слова метрика . Если две группы (абстрактно) соизмеримы, то они квазиизометричны . [3] Было плодотворно спросить, когда верно обратное.
Аналогичное понятие существует в линейной алгебре: два линейных подпространства S и T векторного пространства V соизмеримы , если пересечение S ∩ T имеет конечную коразмерность как в S, так и в T.
Два линейно-связных топологических пространства иногда называются соизмеримыми, если они имеют гомеоморфные конечнолистные накрывающие пространства . В зависимости от типа рассматриваемого пространства, может возникнуть необходимость использовать гомотопические эквивалентности или диффеоморфизмы вместо гомеоморфизмов в определении. В силу связи между накрывающими пространствами и фундаментальной группой , соизмеримые пространства имеют соизмеримые фундаментальные группы.
Пример: многообразие Гизекинга соизмеримо с дополнением узла восьмерки ; оба они являются некомпактными гиперболическими 3-многообразиями конечного объема. С другой стороны, существует бесконечно много различных классов соизмеримости компактных гиперболических 3-многообразий, а также некомпактных гиперболических 3-многообразий конечного объема. [4]
Соизмеритель подгруппы Γ группы G , обозначаемый Comm G (Γ), — это множество элементов g из G , такое, что сопряженная подгруппа g Γ g −1 соизмерима с Γ. [5] Другими словами,
Это подгруппа группы G , которая содержит нормализатор NG ( Γ ) (и, следовательно, содержит Γ).
Например, соизмеритель специальной линейной группы SL ( n , Z ) в SL ( n , R ) содержит SL ( n , Q ). В частности, соизмеритель SL ( n , Z ) в SL ( n , R ) плотен в SL ( n , R ). В более общем случае Григорий Маргулис показал, что соизмеритель решетки Γ в полупростой группе Ли G плотен в G тогда и только тогда, когда Γ является арифметической подгруппой G . [6]
Абстрактный соизмеритель группы , обозначаемый Comm , — это группа классов эквивалентности изоморфизмов , где и — конечные индексные подгруппы группы , относительно композиции. [7] Элементы группы называются соизмерителями группы .
Если — связная полупростая группа Ли , не изоморфная , с тривиальным центром и без компактных факторов, то по теореме Мостова о жесткости абстрактный соизмеритель любой неприводимой решетки линеен. Более того, если — арифметика, то Comm виртуально изоморфна плотной подгруппе , в противном случае Comm виртуально изоморфна .
