Внутренний автоморфизм

В абстрактной алгебре внутренний автоморфизм — это автоморфизм группы , кольца или алгебры, заданный действием сопряжения фиксированного элемента, называемого сопрягающим элементом . Они могут быть реализованы посредством операций изнутри самой группы, отсюда и прилагательное «внутренний». Эти внутренние автоморфизмы образуют подгруппу группы автоморфизмов, а факторгруппы автоморфизмов по этой подгруппе определяется как внешняя группа автоморфизмов .

Определение

Если $G$ — группа, а $g$ — элемент $G$ (или, если $G$ — кольцо, а $g$ — единица ), то функция

{\begin{align}\varphi _{g}\colon G&\to G\\\varphi _{g}(x)&:=g^{-1}xg\end{align}}

называется (правым) сопряжением с помощью $g$ $(см .$ также класс сопряженности ). Эта функция является эндоморфизмом G : для всех $x_{1},x_{2}\in G,$

\varphi _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=g^{-1}x_{1}\left(gg^{-1}\right)x_{2}g=\left(g^{-1}x_{1}g\right)\left(g^{-1}x_{2}g\right)=\varphi _{g}(x_{1})\varphi _{g}(x_{2}),

где второе равенство дается вставкой тождества между и Кроме того, он имеет левое и правое обратное , а именно Таким образом, является как мономорфизмом , так и эпиморфизмом , и, следовательно, изоморфизмом $G$ с самим собой, т.е. автоморфизмом. Внутренний автоморфизм — это любой автоморфизм, который возникает из сопряжения. ^[1] $x_{1}$ $x_{2}.$ $\varphi _{g^{-1}}.$ $\varphi _{g}$

При обсуждении правого сопряжения выражение часто обозначается экспоненциально: Эта запись используется потому, $что$ композиция сопряжений удовлетворяет тождеству: для всех Это показывает, что правое сопряжение дает правое действие G на себя. $g^{-1}xg$ $x^{g}.$ $\left(x^{g_{1}}\right)^{g_{2}}=x^{g_{1}g_{2}}$ $g_{1},g_{2}\in G.$

Вот типичный пример: ^[2]^[3]

Опишите гомоморфизм , для которого образ, , является нормальной подгруппой внутренних автоморфизмов группы ; в качестве альтернативы, опишите естественный гомоморфизм , ядро которого является центром (всех , для которых сопряжение с ними возвращает тривиальный автоморфизм), другими словами, . Всегда существует естественный гомоморфизм , который сопоставляет каждому (внутреннему) автоморфизму в . Тождественно выразим, . $\Фи$ ${\text{Im}}(\Phi)$ $G$ $\Фи$ $G$ $g\in G$ ${\text{Кер}}(\Phi)={\text{Z}}(G)$ $\Phi :G\to {\text{Aut}}(G)$ $g\in G$ $\varphi _{g}$ ${\text{Авт}}(Г)$ $\Phi:g\mapsto \varphi _{g}$

Пусть как определено выше. Это требует демонстрации того, что (1) является гомоморфизмом, (2) также является биекцией, (3) является гомоморфизмом. $\varphi _{g}(x):=gxg^{-1}$ $\varphi _{g}$ $\varphi _{g}$ $\Фи$

$\varphi _{g}(xx')=gxx'g^{-1}=gx(g^{-1}g)x'g^{-1}=(gxg^{-1})(gx'g^{-1})=\varphi _{g}(x)\varphi _{g}(x')$
Условие биективности можно проверить, просто представив обратный элемент, так что мы можем вернуться к из . В этом случае это сопряжение по обозначается как . $x$ $gxg^{-1}$ $г^{-1}$ $\varphi _{g^{-1}}$
$\Фи (gg')(x)=(gg')x(gg')^{-1}$ и $\Phi (g)\circ \Phi (g')(x)=\Phi (g)\circ (g'hg'^{-1})=gg'hg'^{-1}g^{-1}=(gg')h(gg')^{-1}$

Внутренние и внешние группы автоморфизмов

Композиция двух внутренних автоморфизмов снова является внутренним автоморфизмом, и при этой операции совокупность всех внутренних автоморфизмов группы $G$ представляет собой группу, группу внутренних автоморфизмов группы G $,$ обозначаемую $Inn($ $G$ $)$ .

$Inn(G)$ — нормальная подгруппа полной группы автоморфизмов $Aut(G)$ группы $G.$ Внешняя группа автоморфизмов $Out(G)$ — это фактор-группа

\operatorname {Выход} (G)=\operatorname {Выход} (G)/\operatorname {Вход} (G).

Группа внешних автоморфизмов в некотором смысле измеряет, сколько автоморфизмов $G$ не являются внутренними. Каждый невнутренний автоморфизм даёт нетривиальный элемент $Out(G)$ , но различные невнутренние автоморфизмы могут давать один и тот же элемент $Out(G)$ .

Утверждение, что сопряжение $x$ с помощью $a$ оставляет $x$ неизменным, эквивалентно утверждению, что $a$ и $x$ коммутируют:

a^{-1}xa=x\если и только если xa=ax.

Поэтому наличие и количество внутренних автоморфизмов, не являющихся тождественным отображением, является своего рода мерой невыполнения коммутативного закона в группе (или кольце).

Автоморфизм группы $G$ является внутренним тогда и только тогда, когда он распространяется на каждую группу, содержащую G. $[$ ^4]

Связывая элемент $a \in G$ с внутренним автоморфизмом $f (x) = x a$ в $Inn(G)$ , как указано выше, получаем изоморфизм между фактор -группой $G / Z(G)$ (где $Z(G)$ — центр $G$ ) и группой внутренних автоморфизмов:

G\,/\,\mathrm {Z} (G)\cong \operatorname {Inn} (G).

Это является следствием первой теоремы об изоморфизме , поскольку $Z(G)$ — это в точности множество тех элементов группы $G$ , которые задают тождественное отображение как соответствующий внутренний автоморфизм (сопряжение ничего не меняет).

Невнутренние автоморфизмы конечныхп-группы

Результат Вольфганга Гашюца гласит, что если $G$ — конечная неабелева $p$ -группа , то $G$ имеет автоморфизм порядка $p$ -степени, который не является внутренним.

Открытой проблемой является то, имеет ли каждая неабелева $p$ -группа $G$ автоморфизм порядка $p$ . Последний вопрос имеет положительный ответ, если $G$ удовлетворяет одному из следующих условий:

$G$ нильпотентна класса 2
$G$ — регулярная $p$ -группа
$G / Z(G)$ — мощная $p$ -группа
Централизатор в $G$ , $C$ $G$ , центра, $Z$ , подгруппы Фраттини , $Φ$ , группы G $,$ C $G$ $\circ$ $Z$ $\circ$ $Φ($ $G$ $)$ , не равен $Φ($ $G$ $)$

Типы групп

Группа внутренних автоморфизмов группы $G$ , $Inn(G)$ , тривиальна (т.е. состоит только из единичного элемента ) тогда и только тогда, когда $G$ абелева .

Группа $Inn(G)$ является циклической только тогда, когда она тривиальна.

На противоположном конце спектра внутренние автоморфизмы могут исчерпывать всю группу автоморфизмов; группа, все автоморфизмы которой являются внутренними, а центр тривиален, называется полной . Это имеет место для всех симметрических групп на $n$ элементах, когда $n$ не равно 2 или 6. Когда $n = 6$ , симметрическая группа имеет уникальный нетривиальный класс невнутренних автоморфизмов, а когда $n = 2$ , симметрическая группа, несмотря на отсутствие невнутренних автоморфизмов, является абелевой, что дает нетривиальный центр, что делает ее не полной.

Если внутренняя группа автоморфизмов совершенной группы $G$ проста, то $G$ называется квазипростой .

Случай алгебры Ли

Автоморфизм алгебры Ли $𝔊$ называется внутренним автоморфизмом, если он имеет вид $Ad g$ , где $Ad$ — сопряженное отображение , а $g$ — элемент группы Ли , алгебра Ли которой есть $𝔊$ . Понятие внутреннего автоморфизма для алгебр Ли совместимо с понятием для групп в том смысле, что внутренний автоморфизм группы Ли индуцирует единственный внутренний автоморфизм соответствующей алгебры Ли.

Расширение

Если $G$ — группа единиц кольца A $,$ то внутренний автоморфизм на $G$ может быть расширен до отображения на проективную прямую над A группой единиц матричного кольца M $2$ $($ $A$ $)$ $.$ В частности, внутренние автоморфизмы классических групп могут быть расширены таким образом.

Ссылки

^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. стр. 45. ISBN 978-0-4714-5234-8. OCLC 248917264.
^ Грийе, Пьер (2010). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 56. ИСБН 978-1-4419-2450-6.
^ Ланг, Серж (2002). Алгебра (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 26. ISBN 978-0-387-95385-4.
^ Шупп, Пол Э. (1987), «Характеристика внутренних автоморфизмов» (PDF) , Труды Американского математического общества , 101 (2), Американское математическое общество: 226–228, doi : 10.2307/2045986 , JSTOR 2045986, MR 0902532

Дальнейшее чтение

Абдоллахи, А. (2010), «Мощные p -группы имеют невнутренние автоморфизмы порядка p и некоторые когомологии», J. Algebra , 323 (3): 779–789, arXiv : 0901.3182 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2009.10.013, MR 2574864
Абдоллахи, А. (2007), "Конечные p -группы класса 2 имеют невнутренние автоморфизмы порядка p ", Журнал алгебры , 312 (2): 876–879, arXiv : math/0608581 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.08.036, MR 2333188
Дьяконеску, М.; Зильберберг, Г. (2002), "Невнутренние автоморфизмы порядка p конечных p -групп", Журнал алгебры , 250 : 283–287, doi : 10.1006/jabr.2001.9093 , MR 1898386
Гашюц, В. (1966), «Nichtabelsche p -Gruppen besitzen äussere p -Automorphismen», J. Algebra , 4 : 1–2, doi : 10.1016/0021-8693(66)90045-7 , MR 0193144
Либек, Х. (1965), "Внешние автоморфизмы в нильпотентных p -группах класса 2 ", J. London Math. Soc. , 40 : 268–275, doi :10.1112/jlms/s1-40.1.268, MR 0173708
Ремесленников, В.Н. (2001) [1994], "Внутренний автоморфизм", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
Вайсштейн, Эрик В. «Внутренний автоморфизм». Математический мир .