Аномальное сокращение или случайное сокращение — это особый вид арифметической процедурной ошибки, которая дает численно правильный ответ. Делается попытка сократить дробь путем сокращения отдельных цифр в числителе и знаменателе . Это не является законной операцией и, как правило, не дает правильного ответа, но в некоторых редких случаях результат численно такой же, как если бы была применена правильная процедура. [1] Тривиальные случаи сокращения конечных нулей или когда все цифры равны, игнорируются.
Примеры аномальных сокращений, которые все равно дают правильный результат, включают (все эти и обратные им случаи в десятичной системе счисления с дробью, отличной от 1, и с двумя цифрами):
В статье Боаса анализируются двузначные случаи в системах счисления, отличных от десятичной , например, 32/13 = 2/1 и его обратные числа являются единственными решениями в системе счисления с основанием 4, состоящими из двух цифр. [2]
Примером аномального сокращения с более чем двумя цифрами является 165/462 = 15/42 , а пример с разным количеством цифр — 98/392 = 8/32 .
Когда основание простое, двузначных решений не существует. Это можно доказать от противного: предположим, что решение существует. Без потери общности можно сказать, что это решение
где двойная вертикальная линия обозначает конкатенацию цифр . Таким образом, мы имеем
Но , поскольку они являются цифрами в основании ; тем не менее делит , что означает, что . Следовательно. правая часть равна нулю, что означает, что левая часть также должна быть равна нулю, т.е. , противоречие по определению задачи. (Если , вычисление становится , что является одним из исключенных тривиальных случаев.)
Другое свойство заключается в том, что число решений в базе нечетно тогда и только тогда, когда — четный квадрат. Это можно доказать аналогично предыдущему: предположим, что у нас есть решение
Затем, проделав те же манипуляции, получим
Предположим, что . Тогда заметьте, что также является решением уравнения. Это почти устанавливает инволюцию из множества решений в себя. Но мы также можем подставить в , чтобы получить , которое имеет решения только тогда, когда является квадратом. Пусть . Извлечение квадратных корней и перестановка дает . Поскольку наибольший общий делитель равен единице, мы знаем, что . Заметив, что , это имеет в точности решения : т. е. оно имеет нечетное число решений, когда является четным квадратом. Обратное утверждение можно доказать, заметив, что все эти решения удовлетворяют исходным требованиям.
Вопрос в несколько более общем виде изучали Сатвик Саха, Сохом Гупта, Саян Дутта и Соурин Чаттерджи. [3] Количество решений в различных базисах указано в OEIS A366412.
