Несократимая дробь ( или дробь в простейшем виде , простейшая форма или сокращённая дробь ) — это дробь , в которой числитель и знаменатель являются целыми числами , не имеющими других общих делителей , кроме 1 (и −1, когда рассматриваются отрицательные числа). [1] Другими словами, дробь а/б является несократимым тогда и только тогда, когда a и b взаимно просты , то есть, если a и b имеют наибольший общий делитель 1. В высшей математике « несократимая дробь » может также относиться к рациональным дробям, таким, что числитель и знаменатель являются взаимно простыми многочленами . [2] Каждое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби с положительным знаменателем ровно одним способом. [3]
Иногда полезно эквивалентное определение: если a и b — целые числа, то дробь а/б является несократимой тогда и только тогда, когда нет другой равной дроби с/г такой, что | c | < | a | или | d | < | b | , где | a | означает абсолютное значение a . [4] (Две дроби а/б и с/г равны или эквивалентны тогда и только тогда, когда ad = bc . )
Например, 1/4 , 5/6 , и −101/100 все несократимые дроби. С другой стороны, 2/4 является сокращаемым, так как оно равно по значению 1/2 , а числитель 1/2 меньше числителя 2/4 .
Сократимая дробь может быть сокращена путем деления числителя и знаменателя на общий множитель. Она может быть полностью сокращена до наименьших членов, если обе они разделены на их наибольший общий делитель . [5] Для того чтобы найти наибольший общий делитель, можно использовать алгоритм Евклида или разложение на простые множители . Алгоритм Евклида обычно является предпочтительным, поскольку он позволяет сокращать дроби с числителями и знаменателями, слишком большими для легкого разложения на множители. [6]
На первом этапе оба числа были разделены на 10, что является общим множителем для 120 и 90. На втором этапе они были разделены на 3. Окончательный результат, 4/3 , является несократимой дробью, поскольку 4 и 3 не имеют общих множителей, кроме 1.
Исходную дробь можно было бы также сократить за один шаг, используя наибольший общий делитель 90 и 120, который равен 30. Поскольку 120 ÷ 30 = 4 , а 90 ÷ 30 = 3 , получаем
Какой метод быстрее "вручную", зависит от дроби и легкости, с которой определяются общие множители. В случае, если знаменатель и числитель остаются слишком большими, чтобы убедиться в их взаимной простоте путем проверки, в любом случае необходимо вычисление наибольшего общего делителя, чтобы убедиться, что дробь действительно несократима.
Каждое рациональное число имеет единственное представление в виде несократимой дроби с положительным знаменателем [3] (однако 2/3 = −2/−3 хотя оба неприводимы). Уникальность является следствием уникальности разложения целых чисел на простые множители, поскольку а/б = с/г подразумевает, что ad = bc , и поэтому обе части последнего должны иметь одинаковое разложение на простые множители, однако a и b не имеют общих простых множителей, поэтому множество простых множителей a (с кратностью) является подмножеством множества c , и наоборот, что означает a = c и по тому же аргументу b = d .
Тот факт, что любое рациональное число имеет единственное представление в виде несократимой дроби, используется в различных доказательствах иррациональности квадратного корня из 2 и других иррациональных чисел. Например, в одном доказательстве отмечается, что если √ 2 можно было бы представить в виде отношения целых чисел, то оно имело бы, в частности, полностью сокращенное представление а/б где a и b — наименьшие возможные значения; но учитывая, что а/б равно √ 2 , то же самое делает и 2 б − а/а − б (так как перекрестное умножение этого на а/б показывает, что они равны). Поскольку a > b (потому что √ 2 больше 1), последнее является отношением двух меньших целых чисел. Это противоречие , поэтому предпосылка о том, что квадратный корень из двух имеет представление в виде отношения двух целых чисел, ложна.
Понятие несократимой дроби обобщается на поле дробей любой уникальной области факторизации : любой элемент такого поля может быть записан как дробь, в которой знаменатель и числитель взаимно просты, путем деления их обоих на их наибольший общий делитель. [7] Это относится, в частности, к рациональным выражениям над полем. Несократимая дробь для данного элемента уникальна с точностью до умножения знаменателя и числителя на один и тот же обратимый элемент. В случае рациональных чисел это означает, что любое число имеет две несократимые дроби, связанные изменением знака как числителя, так и знаменателя; эту неоднозначность можно устранить, потребовав, чтобы знаменатель был положительным. В случае рациональных функций знаменатель может быть аналогичным образом потребован, чтобы он был моническим многочленом . [8]
