Отношения Крамерса – Кронига

Тип математического отношения

Отношения Крамерса -Кронига представляют собой двунаправленные математические отношения, соединяющие действительную и мнимую части любой комплексной функции , аналитической в ​​верхней полуплоскости . Отношения часто используются для вычисления действительной части из мнимой части (или наоборот) функций отклика в физических системах , поскольку для устойчивых систем причинность подразумевает условие аналитичности , и наоборот, аналитичность подразумевает причинность соответствующей устойчивой физической системы. . ^[1] Отношение названо в честь Ральфа Кронига и Ганса Крамерса . ^{[2] [3]} В математике эти соотношения известны под названиями теорема Сохоцкого–Племеля и преобразование Гильберта .

Формулировка

Иллюстрация одного из соотношений Крамерса-Кронига, определяющего действительную часть восприимчивости с учетом мнимой части.

Пусть – комплексная функция комплексной переменной , где и действительны . Предположим, что эта функция аналитична в замкнутой верхней полуплоскости и стремится к при . Соотношения Крамерса – Кронига имеют вид ${\displaystyle \chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ ${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |\omega |\to \infty }$

$${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{2}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '}$$

$${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{1}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega ',}$$

главное значение Коши ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Вывод

Интегральный контур для вывода соотношений Крамерса – Кронига.

Доказательство начинается с применения теоремы Коши о вычетах для комплексного интегрирования. Для любой аналитической функции в закрытой верхней полуплоскости функция , где вещественная, является аналитической в ​​(открытой) верхней полуплоскости. Теорема о вычетах, следовательно, утверждает, что ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \omega '\mapsto \chi (\omega ')/(\omega '-\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \oint {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '=0}$$

контурапри ${\displaystyle \omega '=\omega }$ ${\displaystyle |\omega '|}$ ${\displaystyle {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}}$ ${\displaystyle 1/|\omega '|}$

$${\displaystyle 0=\oint {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '={\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '-i\pi \chi (\omega ).}$$

Второе слагаемое в последнем выражении получено с помощью теории вычетов ^[4] , точнее, теоремы Сохоцкого–Племеля . Переставляя, приходим к компактной форме соотношений Крамерса–Кронига:

$${\displaystyle \chi (\omega )={\frac {1}{i\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '.}$$

Единица в знаменателе осуществляет связь вещественной и мнимой составляющих. Наконец, разделите уравнение на действительную и мнимую части, чтобы получить формы, указанные выше. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$

Физическая интерпретация и альтернативная форма

Формализм Крамерса-Кронига можно применить к функциям отклика . В некоторых линейных физических системах или в инженерных областях, таких как обработка сигналов , функция отклика описывает, как некоторое зависящее от времени свойство физической системы реагирует на импульсную силу во времени . Например, это может быть угол наклона маятника и приложенная сила. двигателя , приводящего в движение маятник. Реакция должна быть нулевой, поскольку система не может отреагировать на силу до ее применения. Можно показать (например, прибегая к теореме Титчмарша ), что из этого условия причинности следует, что преобразование Фурье аналитично в верхней полуплоскости. ^[5] Кроме того, если система подвергается воздействию колебательной силы с частотой, намного превышающей ее максимальную резонансную частоту, у системы почти не будет времени отреагировать до того, как сила изменит направление, и поэтому частотная характеристика будет сходиться. до нуля, поскольку становится очень большим. Из этих физических соображений получаются результаты, которые обычно удовлетворяют условиям, необходимым для соотношений Крамерса-Кронига. ${\displaystyle \chi (t-t')}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle F(t')}$ ${\displaystyle t'.}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle \chi (t-t')}$ ${\displaystyle t<t'}$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$ ${\displaystyle \chi (t)}$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$

Мнимая часть функции отклика описывает, как система рассеивает энергию , поскольку она находится в фазе с движущей силой . ^{[ нужна цитата ]} Соотношения Крамерса-Кронига предполагают, что наблюдения диссипативного ответа системы достаточно, чтобы определить его противофазный (реактивный) ответ, и наоборот.

Интегралы идут от до , подразумевая, что мы знаем отклик на отрицательных частотах. К счастью, в большинстве физических систем положительная частотная характеристика определяет отрицательную частотную характеристику, поскольку это преобразование Фурье вещественнозначной характеристики . В дальнейшем мы сделаем это предположение. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$ ${\displaystyle \chi (t)}$

Как следствие, . Это означает , что оно является четной функцией частоты и является нечетным . ${\displaystyle \chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega )}$ ${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ ${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$

Используя эти свойства, мы можем свернуть диапазоны интегрирования до . Рассмотрим первое соотношение, дающее действительную часть . Преобразуем интеграл в интеграл определенной четности, умножив числитель и знаменатель подынтегральной функции на и разделив: ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega '+\omega }$

$${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '+{\omega \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}$$

Поскольку нечетно, второй интеграл исчезает, и у нас остается ${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$

$${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={2 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}$$

Тот же вывод для мнимой части дает

$${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{2 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\omega \chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '=-{2\omega \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}$$

Это соотношения Крамерса-Кронига в форме, удобной для физически реалистичных функций отклика.

Соответствующее доказательство из временной области

Ху ^[6] , Холл и Хек ^[7] дают похожее и, возможно, более интуитивное доказательство, позволяющее избежать контурного интегрирования. Оно основано на фактах:

• Причинно-импульсная реакция может быть выражена как сумма четной функции и нечетной функции, где нечетная функция — это четная функция, умноженная на знаковую функцию .
• Четная и нечетная части сигнала во временной области соответствуют действительной и мнимой частям его интеграла Фурье соответственно.
• Умножение на знаковую функцию во временной области соответствует преобразованию Гильберта (т.е. свертке с помощью ядра Гильберта ) в частотной области. ${\displaystyle 1/\pi \omega }$

Объединение формул, основанных на этих фактах, дает соотношения Крамерса – Кронига. Это доказательство немного отличается от предыдущего, поскольку оно связывает действительную и мнимую части в частотной области любой функции, которая является причинной во временной области, предлагая подход, несколько отличающийся от условия аналитичности в верхней полуплоскости частотная область.

Также доступна статья с неформальной графической версией этого доказательства. ^[8]

Отношение величины (усиления) и фазы

Обычная форма Крамерса-Кронига, приведенная выше, связывает действительную и мнимую часть сложной функции отклика. Связанная с этим цель — найти связь между величиной и фазой сложной функции отклика.

В целом, к сожалению, фазу нельзя однозначно предсказать по величине. ^[9] Простым примером этого является чистая временная задержка времени T , которая имеет амплитуду 1 на любой частоте независимо от T , но имеет фазу, зависящую от T (в частности, фаза = 2 π × T × частота).

Однако в частном случае системы с минимальной фазой существует уникальное соотношение амплитуды и фазы , ^{[9] которое} иногда называют соотношением усиления и фазы Боде . Термины «отношения Баярда-Боде» и «теорема Баярда-Боде» после работ Марселя Баярда (1936) и Хендрика Уэйда Боде (1945) также используются либо для соотношений Крамерса-Кронига в целом, либо для отношения амплитуда-фаза в частности, в частности. в области телекоммуникаций и теории управления . ^{[10] [11]}

Приложения в физике

Комплексный показатель преломления

Соотношения Крамерса – Кронига используются для связи действительной и мнимой частей комплексного показателя преломления среды, где – коэффициент экстинкции . ^[12] Следовательно, по сути, это также применимо к комплексной относительной диэлектрической проницаемости и электрической восприимчивости . ^[13] ${\displaystyle {\tilde {n}}=n+i\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Оптическая активность

Соотношения Крамерса-Кронига устанавливают связь между оптической вращающейся дисперсией и круговым дихроизмом .

Магнитооптика

Соотношения Крамерса–Кронига позволяют точно решать нетривиальные задачи рассеяния, которые находят приложения в магнитооптике. ^[14]

Электронная спектроскопия

В спектроскопии потерь энергии электронов анализ Крамерса-Кронига позволяет рассчитать энергетическую зависимость как реальной, так и мнимой частей световой оптической проницаемости образца , а также других оптических свойств, таких как коэффициент поглощения и отражательная способность . ^[15]

Короче говоря, измеряя количество электронов высокой энергии (например, 200 кэВ), которые теряют заданное количество энергии при прохождении очень тонкого образца (приближение однократного рассеяния), можно вычислить мнимую часть диэлектрической проницаемости при этой энергии. Используя эти данные вместе с анализом Крамерса-Кронига, можно также рассчитать действительную часть диэлектрической проницаемости (как функцию энергии).

Это измерение производится с помощью электронов, а не света, и может быть выполнено с очень высоким пространственным разрешением. Таким образом, можно, например, искать полосы поглощения ультрафиолетового (УФ) излучения в лабораторном образце межзвездной пыли с поперечником менее 100 нм, то есть слишком маленькими для УФ-спектроскопии. Хотя электронная спектроскопия имеет худшее энергетическое разрешение, чем световая спектроскопия , данные о свойствах в видимом, ультрафиолетовом и мягком рентгеновском диапазонах спектра могут быть записаны в одном и том же эксперименте.

В фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением соотношения Крамерса-Кронига можно использовать для связи реальной и мнимой частей собственной энергии электронов . Это характерно для многочастичного взаимодействия, которое электрон испытывает в материале. Яркими примерами являются высокотемпературные сверхпроводники , где в зонной дисперсии наблюдаются изломы, соответствующие действительной части собственной энергии, а также наблюдаются изменения ширины МДП, соответствующие мнимой части собственной энергии. ^[16]

Адронное рассеяние

Соотношения Крамерса-Кронига также используются под названием «интегральные дисперсионные соотношения» в отношении адронного рассеяния. ^[17] В данном случае функцией является амплитуда рассеяния. Затем с помощью оптической теоремы мнимая часть амплитуды рассеяния связана с полным сечением , которое является физически измеримой величиной.

Рассеяние электронов

Подобно рассеянию адронов, соотношения Крамерса-Кронига используются в рассеянии электронов высоких энергий . В частности, они входят в вывод правила сумм Герасимова–Дрелла–Хирна . ^[18]

Геофизика

Для распространения сейсмических волн соотношение Крамера-Кронига помогает найти правильную форму добротности в затухающей среде. ^[19]

Электрохимическая импедансная спектроскопия

Тест Крамерса-Кронига используется в аккумуляторах и топливных элементах ( диэлектрическая спектроскопия ) для проверки линейности , причинности и стационарности . Поскольку на практике получить данные во всем диапазоне частот, как того требует формула Крамерса-Кронига, не представляется возможным, обязательно проводятся аппроксимации.

На высоких частотах (> 1 МГц) обычно можно с уверенностью предположить, что в импедансе преобладает омическое сопротивление электролита, хотя часто наблюдаются артефакты индуктивности .

На низких частотах тест КК можно использовать для проверки достоверности экспериментальных данных. В аккумуляторной практике данные, полученные в ходе экспериментов продолжительностью менее одной минуты, обычно не выдерживают испытания на частотах ниже 10 Гц. Поэтому следует проявлять осторожность при интерпретации таких данных. ^[20]

В электрохимической практике из-за конечного диапазона частот экспериментальных данных вместо соотношений Крамерса-Кронига используется соотношение Z-HIT . В соответствии с принципом Крамерса-Кронига (который написан для бесконечного диапазона частот), интеграция Z-HIT требует только конечного диапазона частот. Кроме того, Z-HIT более устойчив к ошибкам Re и Im импеданса, поскольку его точность зависит главным образом от точности фазовых данных.

Смотрите также

• Дисперсия (оптика)
• Функция линейного отклика
• Численное аналитическое продолжение

Рекомендации

Цитаты

1. Джон С. Толл (1956). «Причинность и дисперсионное соотношение: логические основы». Физический обзор . 104 (6): 1760–1770. Бибкод : 1956PhRv..104.1760T. дои : 10.1103/PhysRev.104.1760.
2. Р. де Л. Крониг (1926). «К теории рассеяния рентгеновских лучей». J. Опт. Соц. Являюсь . 12 (6): 547–557. дои : 10.1364/JOSA.12.000547.
3. Х. А. Крамерс (1927). «Распространение света по атомам». Атти Конг. Стажер. Фисичи, (Труды Конгресса столетия Вольты) Комо . 2 : 545–557.
4. Г. Арфкен (1985). Математические методы для физиков . Орландо: Академическая пресса. ISBN 0-12-059877-9.
5. Джон Дэвид Джексон (1999). Классическая электродинамика. Уайли. стр. 332–333. ISBN 0-471-43132-Х.
6. Ху, Бен Ю-Куанг (1 сентября 1989). «Крамерс – Крониг в две строки». Американский журнал физики . 57 (9): 821. Бибкод : 1989AmJPh..57..821H. дои : 10.1119/1.15901. ISSN  0002-9505.
7. Стивен Х. Холл; Говард Л. Хек. (2009). Улучшенная целостность сигнала для высокоскоростных цифровых устройств. Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. стр. 331–336. ISBN 978-0-470-19235-1.
8. Колин Уорвик. «Понимание соотношения Крамерса-Кронига с помощью графического доказательства» (PDF) .
9. Джон Беххофер (2011). «Крамерс-Крониг, Боде и значение нуля». Американский журнал физики . 79 (10): 1053–1059. arXiv : 1107.0071 . Бибкод : 2011AmJPh..79.1053B. дои : 10.1119/1.3614039. S2CID  51819925.
10. Эрве Сизун (30 марта 2006 г.). Распространение радиоволн для телекоммуникационных приложений. Спрингер. Бибкод : 2004rwpt.book.....S. ISBN 978-3-540-26668-6.
11. Мария М. Серон; Хулио Х. Браславский; Грэм К. Гудвин (1997). Фундаментальные ограничения фильтрации и контроля (PDF) . п. 21.
12. Фокс, Марк (2010). Оптические свойства твердых тел (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . п. 44-46. ISBN 978-0-19-957337-0.
13. Орфанидис, Софокл Дж. (2016). Электромагнитные волны и антенны. п. 27-29.
14. Чен Сунь; Николай А. Синицын (2015). «Точные вероятности перехода для линейной развертки через резонанс Крамерса-Кронига». Дж. Физ. А: Математика. Теор . 48 (50): 505202. arXiv : 1508.01213 . Бибкод : 2015JPhA...48X5202S. дои : 10.1088/1751-8113/48/50/505202. S2CID  118437244.
15. РФ Эгертон (1996). Спектроскопия электронных потерь энергии в электронном микроскопе (2-е изд.). Нью-Йорк: Пленум Пресс. ISBN 0-306-45223-5.
16. Андреа Дамаселли (2003). «Фотоэмиссионные исследования купратных сверхпроводников с угловым разрешением». Преподобный Мод. Физ . 75 (2): 473–541. arXiv : cond-mat/0208504 . Бибкод : 2003РвМП...75..473Д. doi : 10.1103/RevModPhys.75.473. S2CID  118433150.
17. Блок ММ; Р. Н. Кан (1985). «Высокоэнергетическое pp̅ и pp прямое упругое рассеяние и полные сечения». Преподобный Мод. Физ . 57 (2): 563–598. Бибкод : 1985РвМП...57..563Б. doi : 10.1103/RevModPhys.57.563.
18. А. Деур, С. Дж. Бродский, Г. Ф. де Терамонд (2019) «Спиновая структура нуклона», представитель. Прог. Физ. 82 076201
19. Футтерман, Уолтер И. (1962). «Дисперсионные объемные волны». Журнал геофизических исследований . 67 (13): 5279–5291. Бибкод : 1962JGR....67.5279F. дои : 10.1029/JZ067i013p05279.
20. Уркиди-Макдональд, Мирна; Реал, Сильвия; Макдональд, Дигби Д. (1 октября 1990 г.). «Применение преобразований Крамерса-Кронига в анализе данных электрохимического импеданса - III. Стабильность и линейность». Электрохимика Акта . 35 (10): 1559–1566. дои : 10.1016/0013-4686(90)80010-Л. ISSN  0013-4686 . Проверено 2 августа 2023 г.

Источники

• Мансур Шейх-Бахае (2005). «Основы нелинейной оптики. Соотношения Крамерса – Кронига в нелинейной оптике». В Роберте Д. Гюнтере (ред.). Энциклопедия современной оптики . Амстердам: Академическая пресса. ISBN 0-12-227600-0.
• Валерио Лукарини; Яркко Дж. Сааринен; Кай-Эрик Пейпонен; Эрик М. Вартиайнен (2005). Соотношения Крамерса-Кронига в исследовании оптических материалов . Гейдельберг: Спрингер. Бибкод : 2005kkro.book.....L. ISBN 3-540-23673-2.
• Фредерик В. Кинг (2009). «19–22». Преобразования Гильберта . Том. 2. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-51720-1.
• Джей Ди Джексон (1975). «раздел 7.10». Классическая электродинамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-43132-Х.