Комплексно-сопряженное представление

В математике , если G — группа , а Π — ее представление над комплексным векторным пространством V , то комплексно-сопряженное представление Π определяется над комплексно-сопряженным векторным пространством V следующим образом:

Π ( g ) является сопряженным кΠ ( g ) для всех g из G.

Π также является представлением, как можно явно проверить.

Если g — действительная алгебра Ли , а π — ее представление над векторным пространством V , то сопряженное представление π определяется над сопряженным векторным пространством V следующим образом:

π ( X ) является сопряженным числом π( X ) для всех X в g . ^[1]

π также является представлением, как можно явно проверить.

Если две действительные алгебры Ли имеют одинаковую комплексификацию , и у нас есть комплексное представление комплексифицированной алгебры Ли, их сопряженные представления все равно будут разными. См. spinor для некоторых примеров, связанных со спинорными представлениями групп спинов Spin( p + q ) и Spin( p , q ) .

Если — *-алгебра Ли (комплексная алгебра Ли с *-операцией, совместимой со скобкой Ли), ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

π ( X ) является сопряженным числом −π( X *) для всех X в g

Для конечномерного унитарного представления дуальное представление и сопряженное представление совпадают. Это также справедливо для псевдоунитарных представлений.

Смотрите также

• Двойное представительство

Примечания

1. Это соглашение математиков. Физики используют другое соглашение, где скобка Ли двух действительных векторов является мнимым вектором. В соглашении физиков вставьте минус в определение.