В математике , в частности в теории поля , сопряженные элементы или алгебраические сопряженные элементы алгебраического элемента α над расширением поля L / K являются корнями минимального многочлена p K , α ( x ) элемента α над K. Сопряженные элементы обычно называются сопряженными в контекстах, где это не вызывает двусмысленности. Обычно сам α включается в множество сопряженных элементов α .
Эквивалентно, сопряженные элементы α являются образами α при автоморфизмах поля L , которые оставляют неподвижными элементы K. Эквивалентность двух определений является одной из отправных точек теории Галуа .
Эта концепция обобщает комплексное сопряжение , поскольку алгебраическими сопряженными числами комплексного числа являются само число и его комплексно сопряженное число .
Кубические корни числа один равны:
Последние два корня являются сопряженными элементами в Q [ i √ 3 ] с минимальным многочленом
Если K задано внутри алгебраически замкнутого поля C , то сопряженные элементы можно взять внутри C . Если такое C не указано, можно взять сопряженные элементы в некотором относительно небольшом поле L . Наименьший возможный выбор для L — взять поле расщепления над K из p K , α , содержащее α . Если L — любое нормальное расширение K , содержащее α , то по определению оно уже содержит такое поле расщепления.
Тогда, если задано нормальное расширение L поля K с группой автоморфизмов Aut( L / K ) = G и содержащее α , любой элемент g ( α ) для g в G будет сопряженным с α , поскольку автоморфизм g переводит корни p в корни p . Обратно, любой сопряженный элемент β поля α имеет этот вид: другими словами, G действует транзитивно на сопряженные элементы. Это следует из того, что K ( α ) является K -изоморфным K ( β ) по неприводимости минимального многочлена, и любой изоморфизм полей F и F ' , который отображает многочлен p в p ' , может быть расширен до изоморфизма полей расщепления p над F и p ' над F ' , соответственно.
Подводя итог, можно сказать, что сопряженные элементы α находятся в любом нормальном расширении L K , содержащем K ( α ), как множество элементов g ( α ) для g в Aut( L / K ). Количество повторений в этом списке каждого элемента является разделимой степенью [ L : K ( α )] sep .
Теорема Кронекера гласит, что если α — ненулевое алгебраическое целое число , такое, что α и все его сопряженные числа в комплексных числах имеют абсолютное значение не более 1, то α — корень из единицы . Существуют количественные формы этого, более точно устанавливающие границы (в зависимости от степени) наибольшего абсолютного значения сопряженного числа, которые подразумевают, что алгебраическое целое число является корнем из единицы.
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\[3pt]-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\[5pt]-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34018166f8f66f57a4aeb0dfa7036ca51d35e671)
