В математике , в частности в теории поля , сопряженные элементы или алгебраические сопряжения алгебраического элемента α над расширением поля L / K являются корнями минимального многочлена pK , α ( x ) от α над K. Сопряженные элементы обычно называют сопряженными в контексте, где это не является двусмысленным. Обычно α сам включается в набор сопряженных α .
Эквивалентно, сопряжения α являются образами α при полевых автоморфизмах L , которые оставляют фиксированными элементы K . Эквивалентность двух определений является одной из отправных точек теории Галуа .
Эта концепция обобщает комплексное сопряжение , поскольку алгебраическими сопряжениями комплексного числа являются само число и его комплексно-сопряженное число .
Кубические корни числа один :
Последние два корня являются сопряженными элементами из Q [ i √ 3 ] с минимальным полиномом
Если K задано внутри алгебраически замкнутого поля C , то сопряженные элементы можно взять внутри C. Если такой C не указан, можно взять сопряжения в некотором относительно небольшом поле L . Наименьший возможный выбор для L — это взять поле расщепления над K из pK , α , содержащее α . Если L — любое нормальное расширение K, содержащее α , то оно по определению уже содержит такое поле разложения.
Тогда, учитывая нормальное расширение L группы K с группой автоморфизмов Aut( L / K ) = G и содержащее α , любой элемент g ( α ) для g в G будет сопряжен с α , поскольку автоморфизм g отправляет корни p к корням p . Наоборот, любое сопряженное β к α имеет этот вид: другими словами, G действует транзитивно на сопряженных. Это следует из того, что K ( α ) K -изоморфно K ( β ) в силу неприводимости минимального полинома, и любой изоморфизм полей F и F ' , который отображает полином p в p ', может быть расширен до изоморфизма полей расщепления p над F и p ' над F ' соответственно.
Таким образом, сопряженные элементы α находятся в любом нормальном расширении L языка K , которое содержит K ( α ), как набор элементов g ( α ) для g в Aut( L / K ). Количество повторов в этом списке каждого элемента — это отделимая степень [ L : K ( α )] sep .
Теорема Кронекера утверждает, что если α — ненулевое целое алгебраическое число такое, что α и все его сопряженные числа в комплексных числах имеют абсолютное значение не более 1, то α — корень из единицы . Существуют количественные формы этого, более точно устанавливающие границы (в зависимости от степени) наибольшего абсолютного значения сопряженного числа, которые подразумевают, что целое алгебраическое число является корнем из единицы.
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\[3pt]-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}} {2}}i\\[5pt]-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34018166f8f66f57a4aeb0dfa7036ca51d35e671)
