конкуренция Курно

Экономическая модель

Конкуренция Курно — это экономическая модель, используемая для описания структуры отрасли, в которой компании конкурируют по объему производимой ими продукции, который они решают независимо друг от друга и в одно и то же время. Она названа в честь Антуана Огюстена Курно (1801–1877), который был вдохновлен наблюдением за конкуренцией в дуополии родниковой воды . ^[1] Она имеет следующие особенности:

• Имеется более одной фирмы, и все фирмы производят однородный продукт , т.е. нет дифференциации продукта ;
• Фирмы не сотрудничают, т.е. нет сговора ;
• Фирмы обладают рыночной властью , т. е. каждое решение фирмы о выпуске влияет на цену товара;
• Количество фирм фиксировано;
• Фирмы конкурируют по количеству, а не по цене; и
• Фирмы экономически рациональны и действуют стратегически , обычно стремясь максимизировать прибыль с учетом решений своих конкурентов.

Существенным предположением этой модели является «не предположение», что каждая фирма стремится максимизировать прибыль, основываясь на ожидании, что ее собственное решение о выпуске не повлияет на решения ее конкурентов. Цена является общеизвестной убывающей функцией общего выпуска. Все фирмы знают общее количество фирм на рынке и принимают выпуск других как данность. Рыночная цена устанавливается на таком уровне, что спрос равен общему количеству, произведенному всеми фирмами. Каждая фирма принимает количество, установленное ее конкурентами, как данность, оценивает свой остаточный спрос, а затем ведет себя как монополия . ${\displaystyle N}$

История

Состояние равновесия... поэтому устойчиво ; то есть, если любой из производителей, введенный в заблуждение относительно своих истинных интересов, временно его покинет, он будет возвращен в него.

-  Антуан Огюстен Курно, Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses (1838), перевод Бэкона (1897). ^[2]

Антуан Огюстен Курно (1801–1877) впервые изложил свою теорию конкуренции в своем томе 1838 года «Исследования математических принципов теории богатства» как способ описания конкуренции на рынке родниковой воды, на котором доминируют два поставщика ( дуополия ). ^[3] Эта модель была одной из ряда тех, которые Курно изложил «явно и с математической точностью» в томе. ^[4] В частности, Курно построил функции прибыли для каждой фирмы, а затем использовал частную дифференциацию для построения функции, представляющей наилучший ответ фирмы для заданных (экзогенных) уровней выпуска другой фирмы (фирм) на рынке. ^[4] Затем он показал, что устойчивое равновесие возникает там, где эти функции пересекаются (т. е. одновременное решение функций наилучшего ответа каждой фирмы). ^[4]

Следствием этого является то, что в равновесии ожидания каждой фирмы относительно того, как будут действовать другие фирмы, оказываются правильными; когда все раскрывается, ни одна фирма не хочет менять свое решение о выпуске. ^[1] Эта идея стабильности была позже принята и развита как описание равновесий Нэша , подмножеством которых являются равновесия Курно. ^[4]

НаследиеПоиски

Экономическая теория Курно была мало замечена, пока Леон Вальрас не назвал его предшественником. Это привело к нелицеприятному отзыву на книгу Курно Жозефа Бертрана , который, в свою очередь, подвергся резкой критике. Ирвинг Фишер нашел трактовку Курно олигополии «блестящей и наводящей на размышления, но не свободной от серьезных возражений». ^[5] Он организовал перевод, который был сделан Натанаэлем Бэконом в 1897 году. ^[6]

Реакции на этот аспект теории Курно варьировались от резкого осуждения до вялого одобрения. В последние годы она получила симпатию как вклад в теорию игр , а не в экономику. Джеймс В. Фридман объясняет:

В современном языке и интерпретации Курно постулировал определенную игру, представляющую олигополистический рынок... ^[6]

Математика в книге Курно элементарна, а изложение несложно для понимания. Нижеследующий отчет точно следует словам и диаграммам Курно. Диаграммы, предположительно, были включены в качестве увеличенной таблицы в оригинальное издание и отсутствуют в некоторых современных переизданиях.

Концептуальная структура Курно

Обсуждение Курно олигополии опирается на два теоретических достижения, сделанных на более ранних страницах его книги. Оба перешли (с некоторой корректировкой) в микроэкономическую теорию, особенно в подраздел промышленной организации , где предположения Курно могут быть смягчены для изучения различных рыночных структур и отраслей, например, модели конкуренции Штакельберга . Обсуждение Курно монополии повлияло на более поздних авторов, таких как Эдвард Чемберлин и Джоан Робинсон во время возрождения интереса к несовершенной конкуренции в 1930-х годах .

«Закон спроса» или «закон продаж»

Кривая «спроса или продаж» Курно

Курно с осторожностью относился к психологическим представлениям о спросе, определяя его просто как количество проданного конкретного товара (чему способствовал тот факт, что французское слово débit , означающее «объем продаж», имеет ту же начальную букву, что и demande , означающее «спрос»  ^[7] ). Он формализовал его математически следующим образом:

Мы будем считать объем продаж или годовой спрос на любой товар функцией его цены. ^[8] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F(p)}$

Из этого следует, что его кривые спроса выполняют часть работы современных кривых предложения, поскольку производители, способные ограничить объем продаж, оказывают влияние на кривую спроса Курно. ^{[ по мнению кого? ]}

Курно замечает, что кривая спроса обычно будет убывающей функцией цены, и что общая стоимость проданного товара составляет , которая обычно увеличивается до максимума, а затем снижается до 0. Условием максимума является то, что производная , т. е. , должна быть равна 0 (где — производная ). ${\displaystyle pF(p)}$ ${\displaystyle pF(p)}$ ${\displaystyle F(p)+pF'(p)}$ ${\displaystyle F'(p)}$ ${\displaystyle F(p)}$

Теория дуополии Курно

Монополия и дуополия

Курно настаивает на том, что каждый дуополист стремится независимо друг от друга максимизировать прибыль, и это ограничение имеет существенное значение, поскольку Курно говорит нам, что если бы они пришли к соглашению между собой с целью получения каждым максимально возможного дохода, то были бы получены совершенно иные результаты, неотличимые с точки зрения потребителя от тех, которые влечет за собой монополия.

Ценовая модель Курно

Курно представляет математически корректный анализ состояния равновесия, соответствующего определенной логически последовательной модели поведения дуополиста. Однако его модель не сформулирована и не является особенно естественной ( Шапиро заметил, что наблюдаемая практика представляет собой «естественное возражение количественной модели Курно» ^[9] ), и «его слова и математика не совсем совпадают». ^[10]

Его модель можно понять легче, если мы немного ее приукрасим. Предположим, что есть два владельца источников минеральной воды, каждый из которых может производить неограниченное количество по нулевой цене. Предположим, что вместо того, чтобы продавать воду населению, они предлагают ее посреднику. Каждый владелец уведомляет посредника о количестве, которое он или она намерены произвести. Посредник находит равновесную цену рынка, которая определяется функцией спроса и совокупным предложением. Он или она продает воду по этой цене, возвращая выручку владельцам. ${\displaystyle F}$

Потребительский спрос на минеральную воду по цене обозначается как ; обратная величина записывается как , а равновесная цена рынка определяется как , где и — объем, поставляемый собственником . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F(p)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p=f(D)}$ ${\displaystyle D=D_{1}+D_{2}}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Предполагается, что каждый владелец знает объем, поставляемый его или ее конкурентом, и корректирует свой собственный объем поставки в свете этого, чтобы максимизировать свою прибыль. Положение равновесия - это положение, в котором ни один из владельцев не склонен корректировать объем поставки.

Чтобы представить себе такое же поведение рынка без посредника, нужны определенные умственные усилия.

Трудности интерпретации

Особенностью модели Курно является то, что для обоих собственников применяется одна и та же цена. Он обосновал это предположение, сказав, что «dès lors le prix est nécessairement le même pour l'un et l'autre propriétaire». ^[11] де Борнье расширяет это, говоря, что «очевидный вывод о том, что в данный момент может существовать только одна цена», следует из «существенного предположения относительно его модели, [а именно] однородности продукта». ^[12]

Позже Курно пишет, что собственник может корректировать свое предложение "en modifiant correctement le prix". ^[13] Опять же, это бессмыслица: невозможно, чтобы одна цена одновременно находилась под контролем двух поставщиков. Если есть одна цена, то она должна определяться рынком как следствие решений собственников по вопросам, находящимся под их индивидуальным контролем.

Рассказ Курно настолько вывел из равновесия его английского переводчика (Натаниэля Бэкона), что его слова были исправлены на «правильно регулируя свою цену». ^[14] Эджворт считал равенство цен в Курно «определенным условием, не... абстрактно необходимым в случаях несовершенной конкуренции». ^[15] Жан Маньян де Борнье говорит, что в теории Курно «каждый владелец будет использовать цену как переменную для контроля количества», не говоря о том, как одна цена может управлять двумя количествами. А. Дж. Никол утверждал, что теория Курно не имеет смысла, если «цены не определяются непосредственно покупателями». ^[16] Шапиро , возможно, в отчаянии, заметил, что «реальный процесс формирования цены в теории Курно несколько загадочен». ^[9]

Сговор

Дуополисты Курно не являются настоящими максимизаторами прибыли. Любой поставщик может увеличить свою прибыль, устранив посредника и монополизировав рынок, незначительно сбив цену своего конкурента; таким образом, посредник может рассматриваться как механизм ограничения конкуренции.

Нахождение дуополистического равновесия Курно

Пример 1

Модель конкуренции Курно обычно представлена ​​для случая дуопольной структуры рынка; следующий пример дает прямой анализ модели Курно для случая дуополии. Поэтому предположим, что у нас есть рынок, состоящий только из двух фирм, которые мы назовем фирмой 1 и фирмой 2. Для простоты мы предполагаем, что каждая фирма сталкивается с одинаковыми предельными издержками. То есть, для заданного объема выпуска фирмы , обозначенного где , издержки фирмы на производство единиц продукции определяются как , где — предельные издержки. Это предположение говорит нам, что обе фирмы сталкиваются с одинаковыми издержками на единицу произведенной продукции. Поэтому, поскольку прибыль каждой фирмы равна ее выручке за вычетом издержек, где выручка равна количеству произведенных единиц, умноженному на рыночную цену, мы можем обозначить функции прибыли для фирмы 1 и фирмы 2 следующим образом: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle i\in \{1,2\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle C(q_{i})=\chi q_{i}}$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \Pi _{1}(Q)=p(Q)q_{1}-\chi q_{1}}$

${\displaystyle \Pi _{2}(Q)=p(Q)q_{2}-\chi q_{2}}$

В приведенных выше функциях прибыли мы имеем цену как функцию общего объема производства, которую мы обозначаем как и для двух фирм мы должны иметь . Для примера предположим, что цена (обратная функция спроса) линейна и имеет вид . Таким образом, обратную функцию спроса можно переписать как . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q=q_{1}+q_{2}}$ ${\displaystyle p=a-bQ}$ ${\displaystyle p=a-bq_{1}-bq_{2}}$

Теперь, подставив наше уравнение для цены вместо , мы можем записать функцию прибыли каждой фирмы как: ${\displaystyle p(Q)}$

${\displaystyle \Pi _{1}(q_{1},q_{2})=(a-bq_{1}-bq_{2}-\chi )q_{1}}$

${\displaystyle \Pi _{2}(q_{1},q_{2})=(a-bq_{1}-bq_{2}-\chi )q_{2}}$

Поскольку предполагается, что фирмы максимизируют прибыль, условия первого порядка (УП) для каждой фирмы следующие:

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{1}(q_{1},q_{2})}{\partial q_{1}}}=a-2bq_{1}-bq_{2}-\chi =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{2}(q_{1},q_{2})}{\partial q_{2}}}=a-bq_{1}-2bq_{2}-\chi =0}$

FOC утверждают, что фирма производит на уровне максимизации прибыли, когда предельные издержки ( ) равны предельному доходу ( ). Интуитивно это предполагает, что фирмы будут производить до точки, где это будет оставаться прибыльным, поскольку любое дальнейшее производство после этой точки будет означать, что , и, следовательно, производство после этой точки приведет к потере денег фирмой за каждую дополнительную произведенную единицу. Обратите внимание, что при количестве максимизации прибыли, где , мы должны иметь , поэтому мы устанавливаем приведенные выше уравнения равными нулю. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\text{MC}}}$ ${\displaystyle {\text{MR}}}$ ${\displaystyle {\text{MC}}>{\text{MR}}}$ ${\displaystyle {\text{MC}}={\text{MR}}}$ ${\displaystyle {\text{MC}}-{\text{MR}}=0}$

Теперь, когда у нас есть два уравнения, описывающие состояния, в которых каждая фирма производит объем, максимизирующий прибыль, мы можем просто решить эту систему уравнений, чтобы получить оптимальный уровень выпуска каждой фирмы, для фирм 1 и 2 соответственно. Итак, мы получаем: ${\displaystyle q_{1},q_{2}}$

${\displaystyle q_{1}={\frac {a-\chi }{2b}}-{\frac {q_{2}}{2}}}$

${\displaystyle q_{2}={\frac {a-\chi }{2b}}-{\dfrac {q_{1}}{2}}}$

Эти функции описывают оптимальное (максимизирующее прибыль) количество выпуска каждой фирмы с учетом цены, с которой фирмы сталкиваются на рынке, предельных издержек , и количества выпуска конкурирующих фирм. Функции можно рассматривать как описание «лучшего ответа» фирмы на уровень выпуска другой фирмы. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \chi }$

Теперь мы можем найти равновесие Курно-Нэша , используя наши функции «наилучшего ответа» выше для объема выпуска фирм 1 и 2. Напомним, что обе фирмы сталкиваются с одинаковыми затратами на единицу продукции ( ) и ценой ( ). Поэтому, используя это симметричное отношение между фирмами, мы находим равновесное количество, фиксируя . Мы можем быть уверены, что эта настройка дает нам уровни равновесия, поскольку ни одна из фирм не заинтересована в изменении своего уровня выпуска, поскольку это навредит фирме в пользу ее конкурента. Теперь, подставляя вместо и решая, мы получаем симметричное (одинаковое для каждой фирмы) количество выпуска в равновесии как . ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q_{1}=q_{2}=q^{*}}$ ${\displaystyle q^{*}}$ ${\displaystyle q_{1},q_{2}}$ ${\displaystyle q^{*}={\frac {a-\chi }{3b}}}$

Это равновесное значение описывает оптимальный уровень выпуска для фирм 1 и 2, где каждая фирма производит объем выпуска . Таким образом, в состоянии равновесия общий объем выпуска на рынке составит . ${\displaystyle q^{*}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q=q_{1}^{*}+q_{2}^{*}={\frac {2(a-\chi )}{3b}}}$

Пример 2

Доходы, получаемые двумя собственниками, составляют и , т.е. и . Первый собственник максимизирует прибыль, оптимизируя параметр, находящийся под его контролем, при условии, что частная производная его прибыли по должна быть равна 0, и зеркальное рассуждение применимо к его или ее сопернику. Таким образом, мы получаем уравнения: ${\displaystyle pD_{1}}$ ${\displaystyle pD_{2}}$ ${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})\cdot D_{1}}$ ${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})\cdot D_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{1}}$

${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})+D_{1}f'(D_{1}+D_{2})=0}$и

${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})+D_{2}f'(D_{1}+D_{2})=0}$.

Положение равновесия находится путем одновременного решения этих двух уравнений. Это проще всего сделать, сложив и вычтя их, превратив их в:

${\displaystyle D_{1}=D_{2}}$и

${\displaystyle 2f(D)+Df'(D)=0}$, где . ${\displaystyle D=D_{1}+D_{2}}$

Таким образом, мы видим, что оба собственника поставляют равные объемы, и что общий объем продаж является корнем одного нелинейного уравнения в . ${\displaystyle D}$

Курно идет дальше этого простого решения, исследуя устойчивость равновесия. Каждое из его исходных уравнений определяет связь между и , которую можно изобразить на графике. Если первый владелец предоставлял количество , то второй владелец принял бы количество из красной кривой, чтобы максимизировать свой доход. Но затем, по аналогичным рассуждениям, первый владелец скорректирует свое предложение до , чтобы дать ему или ей максимальную отдачу, как показано синей кривой, когда равно . Это приведет к тому, что второй владелец адаптируется к значению предложения , и так далее, пока равновесие не будет достигнуто в точке пересечения , координаты которой . ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle x_{\textsf {l}}}$ ${\displaystyle y_{\textsf {l}}}$ ${\displaystyle x_{\textsf {ll}}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle y_{\textsf {l}}}$ ${\displaystyle y_{\textsf {ll}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Поскольку собственники движутся к положению равновесия, то равновесие устойчиво, но Курно замечает, что если бы красная и синяя кривые поменялись местами, то это перестало бы быть правдой. Он добавляет, что легко увидеть, что соответствующая диаграмма была бы недопустимой, поскольку, например, обязательно имеет место, что . Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что когда равно 0, два уравнения сводятся к: ${\displaystyle m_{1}>m_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}}$

${\displaystyle f(D_{2})=0}$и

${\displaystyle f(D_{2})+D_{2}f'(D_{2})=0}$.

Первое из них соответствует количеству проданного товара, когда цена равна нулю (что является максимальным количеством, которое общественность готова потребить), в то время как второе утверждает, что производная от по отношению равна 0, но является денежной стоимостью совокупного количества продаж , и точка поворота этого значения является максимумом. Очевидно, что количество продаж, которое максимизирует денежную стоимость, достигается до максимально возможного количества продаж (что соответствует значению 0). Таким образом, корень первого уравнения обязательно больше корня второго уравнения. ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle D_{2}f(D_{2})}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle D_{2}f(D_{2})}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$

Сравнение с монополией

Мы видели, что система Курно сводится к уравнению . функционально связана с via в одном направлении и в другом. Если мы перепишем это уравнение через , оно скажет нам, что , что можно сравнить с уравнением, полученным ранее для монополии. ${\displaystyle 2f(D)+Df'(D)=0}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F(p)+2pF'(p)=0}$ ${\displaystyle F(p)+pF'(p)=0}$

Если мы нанесем на график другую переменную относительно , ​​то мы можем нарисовать кривую функции . Цена монополии — это , при которой эта кривая пересекает линию , в то время как цена дуополии определяется пересечением кривой с более крутой линией . Независимо от формы кривой, ее пересечение с происходит слева (т.е. по более низкой цене, чем) ее пересечение с . Следовательно, цены при дуополии ниже, чем при монополии, а объемы продаж соответственно выше. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u=-{\frac {F(p)}{F'(p)}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u=p}$ ${\displaystyle u=2p}$ ${\displaystyle u=2p}$ ${\displaystyle u=p}$

Расширение до олигополии

Когда есть собственники, уравнение цены становится . Цену можно прочитать из диаграммы из пересечения с кривой. Следовательно, цена бесконечно уменьшается по мере увеличения числа собственников. При бесконечном числе собственников цена становится нулевой; или, в более общем смысле, если мы допускаем издержки производства, цена становится предельной стоимостью. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F(p)+npF'(p)=0}$ ${\displaystyle u=np}$

Критика Бертрана

Французский математик Жозеф Бертран , рецензируя « Theorie Mathématique de la Richesse Sociale» Вальраса , был привлечен к книге Курно высокой похвалой Вальраса. Бертран критиковал рассуждения и предположения Курно, Бертран утверждал, что «удаление символов сократит книгу всего до нескольких страниц». ^{[17] [примечание 1]} Его резюме теории дуополии Курно осталось влиятельным:

Курно предполагает, что один из владельцев снизит цену, чтобы привлечь покупателей, а другой, в свою очередь, снизит цену еще больше, чтобы снова привлечь покупателей. Они перестанут сбивать цены друг друга таким образом только тогда, когда любой из владельцев, даже если другой отказался от борьбы, больше ничего не выиграет от снижения цены. Одно из главных возражений против этого заключается в том, что при таком предположении нет решения, поскольку нет предела нисходящему движению... Если формулировка Курно скрывает этот очевидный результат, то это потому, что он совершенно непреднамеренно вводит в качестве D и D' соответствующие выпуски двух владельцев, и, рассматривая их как независимые переменные, он предполагает, что если один из владельцев изменит свой выпуск, то выпуск другого владельца может остаться постоянным. Совершенно очевидно, что это не так.

Парето не был впечатлен критикой Бертрана, сделав из нее вывод, что Бертран «написал свою статью, не заглядывая в книги, которые он критиковал». ^[18]

Ирвинг Фишер обрисовал модель дуополии, похожую на ту, в неправильном анализе которой Бертран обвинил Курно:

Более естественная гипотеза, и часто молчаливо принимаемая, заключается в том, что каждый [производитель] предполагает, что цена его конкурента останется фиксированной, в то время как его собственная цена будет скорректирована. Согласно этой гипотезе каждый будет продавать дешевле другого, пока останется хоть какая-то прибыль, так что конечный результат будет идентичен результату неограниченной конкуренции. ^[19]

Фишер, по-видимому, считал, что Бертран был первым, кто представил эту модель, и с тех пор она вошла в литературу как конкуренция Бертрана .

Смотрите также

• Агрегативная игра
• Конкурс Бертрана
• Модель Бертрана–Эджворта
• Предполагаемая вариация
• Теория игр
• Линейная модель города Хотеллинга
• Равновесие Нэша
• Конкурс Штакельберга
• Молчаливый сговор

Примечания

1. Рецензию Бертрана легче всего найти в английском переводе Маргарет Шевалье, приложенном к работе de Bornier 1992.

Ссылки

1. Varian, Hal R. (2006) [Первоначально опубликовано в 1987]. Промежуточная микроэкономика: современный подход (седьмое изд.). WW Norton & Company . стр. 490. ISBN 0393927024.
2. Курно, Антуан Огюстен (1897) [Первоначально опубликовано в 1838 году]. Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses [ Исследования математических принципов теории богатства ]. Экономическая классика. Перевод Bacon, Nathaniel T. New York : The Macmillan Company . hdl :2027/hvd.32044024354821 . Получено 13 декабря 2022 г. .
3. Ван ден Берг, Анита; Бос, Иван; Херингс, П. Жан-Жак; Петерс, Ханс (2012). «Динамическая дуополия Курно с межвременными ограничениями мощности» (PDF) . Международный журнал промышленной организации . 30 (2). Elsevier : 174–192. doi :10.1016/j.ijindorg.2011.08.002 . Получено 22 января 2023 г. .
4. Моррисон, Кларенс К. (1998). «Курно, Бертран и современная теория игр». Atlantic Economic Journal . 26 (2). Springer : 172–174. doi :10.1007/BF02299359. S2CID  154319304.
5. Фишер, Ирвинг (1898). «Курно и математическая экономика». The Quarterly Journal of Economics . 12 (2). Oxford University Press : 119–138. doi : 10.2307/1882115 . JSTOR 1882115 . , цитируется Фридманом 2000.
6. Фридман, Джеймс В. (2000). «Наследие Огюстена Курно». Cahiers d'Economie Politique . 37 (1): 31–46. дои : 10.3406/cep.2000.1287 . Проверено 13 декабря 2022 г.
7. Роберт, Пол ; Рей-Дебов, Жозетт ; Рей, Ален , ред. (2000) [Впервые опубликовано в 1967 году]. Ле Пети Робер (на французском языке). Словари Ле Робера . ISBN 2-85036-668-4. дебет ¹.
8. Курно 1897, стр. 49.
9. Шапиро, Карл (1989). «Теории олигополистического поведения». Справочник по промышленной организации . 1. Elsevier : 329–414. doi :10.1016/S1573-448X(89)01009-5 ., цитируется по де Борнье 1992.
10. Шубик, Мартин (1959). Стратегия и структура рынка: конкуренция, олигополия и теория игр . Нью-Йорк , штат Нью-Йорк : John Wiley & Sons . ASIN  B0000CKANF. LCCN  58-14221., цитируется по де Борнье 1992.
11. Курно 1897: «таким образом, цена обязательно одинакова для обоих собственников».
12. de Bornier, Jean Magnan (1992). "The "Cournot-Bertrand Debate": A Historical Perspective" (PDF) . История политической экономии . 24 (3). Duke University Press : 623–656. doi :10.1215/00182702-24-3-623 . Получено 13 декабря 2022 г. .
13. Курно 1897: «соответствующим образом изменив цену».
14. Курно 1897, цитируется по де Борнье 1992.
15. Эджворт, Ф.И. (1881). Математическая психика: эссе о применении математики к моральным наукам (PDF) . Лондон : C. Kegan Paul & Co. Получено 13 декабря 2022 г., цитируется в книге Фридмана 2000.
16. Никол, Арчибальд Дж. (1934). «Переоценка теории дуопольной цены Курно». Журнал политической экономии . 42 (1). Издательство Чикагского университета : 80–105. doi : 10.1086/254576. S2CID  154081349., цитируется по де Борнье 1992.
17. де Борнье 1992, стр. 631.
18. Парето, Вильфредо (1911). «Economie mathématique» [Математическая экономика]. В Молке, Жюль (ред.). Энциклопедия чистых и прикладных математических наук . Том I, Том. 4, выпуск 4, глава I-26 (на французском языке). Переведено с немецкого издания. Париж : Готье-Виллар. стр. 591–640 . Проверено 13 декабря 2022 г. il a redigé son article sans avoir sous les yeux les livres des auteurs qu'il critiquait [он написал свою статью, не заглядывая в книги критикуемых им авторов], цитируется по де Борнье 1992.
19. Фишер 1898, цитируется по де Борнье 1992.

Дальнейшее чтение

• Холт, Чарльз . Игры и стратегическое поведение (PDF-версия) , PDF
• Тироль, Жан . Теория промышленной организации , MIT Press, 1988.
• Упрощенная теория олигополии, глава 6 книги «Экономика серфинга» Хью Диксона .
• Шумпетер, Йозеф , История экономического анализа (1954). Подробно обсуждает Курно.