Составная кривая Безье

Геометрическая форма

Безьегон – Красный Безьегон проходит через синие вершины, зеленые точки являются контрольными точками, определяющими форму соединительных кривых Безье.

В геометрическом моделировании и компьютерной графике составная кривая Безье или сплайн Безье — это сплайн, созданный из кривых Безье , который является по крайней мере непрерывным . Другими словами, составная кривая Безье — это ряд кривых Безье, соединенных встык, где последняя точка одной кривой совпадает с начальной точкой следующей кривой. В зависимости от приложения могут быть добавлены дополнительные требования к гладкости (например, или непрерывность). ^[1] ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{2}}$

Непрерывная составная кривая Безье также называется полибезье , по сходству с полилинией , но тогда как в полилиниях точки соединены прямыми линиями, в полибезье точки соединены кривыми Безье. Безьергон ( также называемый безигоном ) — это замкнутый путь, составленный из кривых Безье . Он похож на многоугольник тем, что соединяет множество вершин линиями, но тогда как в многоугольниках вершины соединены прямыми линиями, в безьергоне вершины соединены кривыми Безье. ^{[2] [3] [4]} Некоторые авторы даже называют составную кривую Безье «сплайном Безье»; ^[5] последний термин, однако, используется другими авторами как синоним (не составной) кривой Безье, и они добавляют «составной» перед «сплайном Безье», чтобы обозначить составной случай. ^[6] ${\displaystyle C^{0}}$

Возможно, наиболее распространенным применением составных кривых Безье является описание контура каждой буквы в файле PostScript или PDF . Такие контуры состоят из одного безьергона для открытых букв или нескольких безьергонов для закрытых букв. Современная векторная графика и системы компьютерных шрифтов, такие как PostScript , Asymptote , Metafont , OpenType и SVG, используют составные кривые Безье, состоящие из кубических кривых Безье (кривые 3-го порядка) для рисования изогнутых фигур.

Функция sinc , аппроксимированная с помощью гладкого сплайна Безье, т.е. серии гладко соединенных кривых Безье

Плавное соединение

Обычно желаемым свойством сплайнов является их способность соединять свои индивидуальные кривые вместе с заданным уровнем параметрической или геометрической непрерывности . Хотя отдельные кривые в сплайне полностью непрерывны в пределах своего собственного интервала, всегда существует некоторая величина разрыва, где встречаются различные кривые. ${\displaystyle C^{\infty }}$

Сплайн Безье довольно уникален тем, что это один из немногих сплайнов, который не гарантирует более высокую степень непрерывности , чем . Однако можно расположить контрольные точки, чтобы гарантировать различные уровни непрерывности между соединениями, хотя это может привести к потере локального контроля, если ограничение слишком строгое для заданной степени сплайна Безье. ${\displaystyle C^{0}}$

Плавное соединение кубических Безье

Для двух кубических кривых Безье с контрольными точками и соответственно ограничения для обеспечения непрерывности в можно определить следующим образом: ${\displaystyle [\mathbf {P} _{0},\mathbf {P} _{1},\mathbf {P} _{2},\mathbf {P} _{3}]}$ ${\displaystyle [\mathbf {P} _{3},\mathbf {P} _{4},\mathbf {P} _{5},\mathbf {P} _{6}]}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{3}}$

• ${\displaystyle C^{0}/G^{0}}$(позиционная непрерывность) требует, чтобы они встречались в одной точке, что по определению делают все сплайны Безье. В этом примере общая точка — ${\displaystyle \mathbf {P} _{3}}$

• ${\displaystyle C^{1}}$(непрерывность скорости) требует, чтобы соседние контрольные точки вокруг соединения были зеркалами друг друга. Другими словами, они должны следовать ограничению ${\displaystyle \mathbf {P} _{4}=2\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{2}}$

• ${\displaystyle G^{1}}$(касательная непрерывность) требует, чтобы соседние контрольные точки были коллинеарны с соединением. Это менее строго, чем непрерывность, оставляя дополнительную степень свободы, которая может быть параметризована с помощью скаляра . Ограничение тогда может быть выражено как ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{4}=\mathbf {P} _{3}+(\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{2})\beta _{1}}$

Хотя следующие ограничения непрерывности возможны, они редко используются с кубическими сплайнами Безье, поскольку другие сплайны, такие как B-сплайн или β-сплайн ^[7], естественным образом справляются с более высокими ограничениями без потери локального контроля.

• ${\displaystyle C^{2}}$(непрерывность ускорения) ограничена . Однако применение этого ограничения ко всему кубическому сплайну Безье приведет к каскадной потере локального контроля над точками касания. Кривая все равно пройдет через каждую третью точку сплайна, но контроль над ее формой будет потерян. Чтобы добиться непрерывности с помощью кубических кривых, рекомендуется вместо этого использовать кубический однородный B-сплайн, поскольку он обеспечивает непрерывность без потери локального контроля, за счет того, что больше не гарантируется прохождение через определенные точки ${\displaystyle \mathbf {P} _{5}=\mathbf {P} _{1}+4(\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{2})}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{2}}$

• ${\displaystyle G^{2}}$(непрерывность кривизны) ограничена , оставляя две степени свободы по сравнению с , в виде двух скаляров и . Более высокие степени геометрической непрерывности возможны, хотя они становятся все более сложными ^[8] ${\displaystyle \mathbf {P} _{5}=\mathbf {P} _{3}+(\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{2})(2\beta _{1}+\beta _{1}^{2}+\beta _{2}/2)+(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{2})\beta _{1}^{2}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$

• ${\displaystyle C^{3}}$(непрерывность толчка) ограничена . Применение этого ограничения к кубическому сплайну Безье приведет к полной потере локального управления, поскольку весь сплайн теперь полностью ограничен и определен контрольными точками первой кривой. Фактически, это, возможно, уже не сплайн, поскольку его форма теперь эквивалентна экстраполяции первой кривой до бесконечности, что делает ее не только непрерывной, но и , поскольку соединения между отдельными кривыми больше не существуют ${\displaystyle \mathbf {P} _{6}=\mathbf {P} _{3}+(\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{0})+6(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{2})}$ ${\displaystyle C^{3}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Аппроксимация дуг окружностей

В случае, если примитивы дуг окружности не поддерживаются в конкретной среде, они могут быть аппроксимированы кривыми Безье . ^[9] Обычно для аппроксимации окружности используются восемь квадратичных сегментов ^[10] или четыре кубических сегмента. Желательно найти длину контрольных точек, которые приводят к наименьшей ошибке аппроксимации для заданного числа кубических сегментов. ${\displaystyle \mathbf {k} }$

Использование четырех кривых

Рассматривая только 90-градусную единичную дугу окружности в первом квадранте , мы определяем конечные точки и с контрольными точками и , соответственно, как: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A'} }$ ${\displaystyle \mathbf {B'} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=[0,1]\\\mathbf {A'} &=[\mathbf {k} ,1]\\\mathbf {B'} &=[1,\mathbf {k} ]\\\mathbf {B} &=[1,0]\\\end{aligned}}}$

Из определения кубической кривой Безье имеем:

${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(1-t)^{3}\mathbf {A} +3(1-t)^{2}t\mathbf {A'} +3(1-t)t^{2}\mathbf {B'} +t^{3}\mathbf {B} }$

Приняв точку за середину дуги, мы можем записать следующие два уравнения: ${\displaystyle \mathbf {C} (t=0.5)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {C} &={\frac {1}{8}}\mathbf {A} +{\frac {3}{8}}\mathbf {A'} +{\frac {3}{8}}\mathbf {B'} +{\frac {1}{8}}\mathbf {B} \\\mathbf {C} &={\sqrt {1/2}}={\sqrt {2}}/2\end{aligned}}}$

Решая эти уравнения относительно координаты x (и идентично для координаты y), получаем:

${\displaystyle {\frac {0}{8}}\mathbf {+} {\frac {3}{8}}\mathbf {k} +{\frac {3}{8}}+{\frac {1}{8}}={\sqrt {2}}/2}$

${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {4}{3}}({\sqrt {2}}-1)\approx 0.5522847498}$

Однако следует отметить, что полученная кривая Безье полностью находится вне круга, с максимальным отклонением радиуса около 0,00027. Добавляя небольшую поправку к промежуточным точкам, таким как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A'} &=[\mathbf {k} +0.0009,1-0.00103]\\\mathbf {B'} &=[1-0.00103,\mathbf {k} +0.0009],\end{aligned}}}$

величина отклонения радиуса от 1 уменьшается примерно в 3 раза, до 0,000068 (за счет выводимости аппроксимированной кривой окружности в конечных точках).

Общий случай

Мы можем аппроксимировать окружность радиусом из произвольного числа кубических кривых Безье. Пусть дуга начинается в точке и заканчивается в точке , размещенных на равных расстояниях выше и ниже оси x, охватывая дугу угла : ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \theta =2\phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{x}&=R\cos(\phi )\\\mathbf {A} _{y}&=R\sin(\phi )\\\mathbf {B} _{x}&=\mathbf {A} _{x}\\\mathbf {B} _{y}&=-\mathbf {A} _{y}\end{aligned}}}$

Контрольные точки можно записать так: ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A'} _{x}&={\frac {4R-\mathbf {A} _{x}}{3}}\\\mathbf {A'} _{y}&={\frac {(R-\mathbf {A} _{x})(3R-\mathbf {A} _{x})}{3\mathbf {A} _{y}}}\\\mathbf {B'} _{x}&=\mathbf {A'} _{x}\\\mathbf {B'} _{y}&=-\mathbf {A'} _{y}\end{aligned}}}$

Примеры

• 
  Восьмисегментный квадратичный полибезье (красный), аппроксимирующий окружность (черный) с контрольными точками
• 
  Четырехсегментный кубический полибезье (красный), аппроксимирующий окружность (черный) с контрольными точками

Шрифты

Шрифты TrueType используют составные кривые Безье, состоящие из квадратичных кривых Безье (кривые 2-го порядка). Чтобы описать типичный дизайн шрифта как компьютерный шрифт с любой заданной точностью, кривые Безье 3-го порядка требуют меньше данных, чем кривые Безье 2-го порядка; а они, в свою очередь, требуют меньше данных, чем ряд прямых линий. Это верно, даже если любой один сегмент прямой линии требует меньше данных, чем любой один сегмент параболы; а этот параболический сегмент, в свою очередь, требует меньше данных, чем любой один сегмент кривой 3-го порядка.

Смотрите также

• B-сплайн

Ссылки

1. Евгений В. Шикин; Александр И. Плис (14 июля 1995 г.). Справочник пользователя по сплайнам. CRC Press. С. 96. ISBN 978-0-8493-9404-1.
2. Microsoft API полибезье
3. Ссылка API Papyrus beziergon
4. «Лучшая коробка мелков». InfoWorld. 1991.
5. Ребаза, Хорхе (24 апреля 2012 г.). Первый курс прикладной математики. John Wiley & Sons. ISBN 9781118277157.
6. (Фирма), Wolfram Research (13 сентября 1996 г.). Стандартные дополнительные пакеты Mathematica ® 3.0. Cambridge University Press. ISBN 9780521585859.
7. Гудман, ТНТ (9 декабря 1983 г.). «Свойства β-сплайнов». Журнал теории приближений . 44 (2): 132–153. doi : 10.1016/0021-9045(85)90076-0 .
8. ДеРоуз, Энтони Д. (1 августа 1985 г.). «Геометрическая непрерывность: параметризованно-независимая мера непрерывности для компьютерного геометрического проектирования».
9. Станислав, Г. Адам. "Рисование круга с помощью кривых Безье" . Получено 10 апреля 2010 г.
10. "Оцифровка дизайнов букв". Apple . Получено 26 июля 2014 г. .
11. ДеВенеза, Ричард. "Рисование круга с помощью кривых Безье" (PDF) . Получено 10 апреля 2010 г.