Спектр теории

В теории моделей , разделе математической логики , спектр теории задается числом классов изоморфизма моделей в различных мощностях . Точнее, для любой полной теории T в языке мы записываем I ( T , κ ) для числа моделей T ( с точностью до изоморфизма) мощности κ . Проблема спектра заключается в описании возможных поведений I ( T , κ ) как функции κ . Она была почти полностью решена для случая счетной теории T .

Первые результаты

В этом разделе T — счетная полная теория, а κ — кардинал.

Теорема Лёвенгейма–Скулема показывает, что если I ( T , κ ) не равно нулю для одного бесконечного кардинала, то оно не равно нулю для всех них.

Теорема категоричности Морли стала первым основным шагом в решении проблемы спектра: она утверждает, что если I ( T , κ ) равно 1 для некоторого несчетного κ , то оно равно 1 для всех несчетных κ .

Роберт Воот показал, что I ( T ,ℵ ₀ ) не может быть равно 2. Легко найти примеры, где это любое заданное неотрицательное целое число, отличное от 2. Морли доказал, что если I ( T ,ℵ ₀ ) бесконечно, то оно должно быть равно ℵ ₀ или ℵ ₁ или 2 ^{ℵ ₀} . Неизвестно, может ли оно быть равно ℵ _1, если гипотеза континуума ложна: это называется гипотезой Воота и является основной оставшейся открытой проблемой (на 2005 год) в теории спектра.

Проблема Морли была гипотезой (теперь теоремой), впервые предложенной Майклом Д. Морли , что I ( T , κ ) не убывает по κ для несчетного κ . Это было доказано Сахароном Шелахом . Для этого он доказал очень глубокую теорему о дихотомии.

Сахарон Шелах дал почти полное решение проблемы спектра. Для заданной полной теории T либо I ( T , κ ) = 2 ^κ для всех несчетных кардиналов κ , либо для всех ординалов ξ (см. число Алеф и число Бета для объяснения обозначений), что обычно намного меньше границы в первом случае. Грубо говоря, это означает, что либо существует максимально возможное число моделей во всех несчетных мощностях, либо существует только «несколько» моделей во всех несчетных мощностях. Шелах также дал описание возможных спектров в случае, когда моделей мало. $\textstyle Я(Т,\алеф _{\xi })<\бет _{\омега _{1}}(|\xi |+\алеф _{0})$

Список возможных спектров счетной теории

Расширяя работу Шелаха, Брэдд Харт, Эхуд Хрушовски и Майкл К. Ласковски дали следующее полное решение проблемы спектра для счетных теорий в несчетных мощностях. Если T — счетная полная теория, то число I( T , ℵ _α ) классов изоморфизма моделей задается для ординалов α>0 минимумом 2 ^{ℵ _α} и одним из следующих отображений:

2 ^{ℵ _α} . Примеры: существует множество примеров, в частности любая неклассифицируемая или глубокая теория, такая как теория графа Радо .
$\beth _{d+1}(|\альфа +\омега |)$ для некоторого счетного бесконечного ординала d . (Для конечного d см. случай 8.) Примеры: Теория с отношениями эквивалентности E _β для всех β с β+1< d , такая, что каждый класс E _γ является объединением бесконечного числа классов E _β , а каждый класс E ₀ бесконечен.
$\beth _{d-1}(|\альфа +\омега |^{2^{\алеф _{0}}})$ для некоторого конечного положительного ординала d . Пример (для d = 1): теория счетного числа независимых унарных предикатов.
$\beth _{d-1}(|\альфа +\омега |^{\алеф _{0}}+\beth _{2})$ для некоторого конечного положительного ординала d .
$\beth _{d-1}(|\альфа +\омега |+\beth _{2})$ для некоторого конечного положительного ординала d ;
$\beth _{d-1}(|\альфа +\омега |^{\алеф _{0}})$ для некоторого конечного положительного ординала d . Пример (для d = 1): теория счетного множества непересекающихся унарных предикатов.
$\beth _{d-1}(|\альфа +\омега |+\beth _{1})$ для некоторого конечного ординала d ≥2;
$\beth _{d-1}(|\альфа +\омега |)$ для некоторого конечного положительного ординала d ;
$\beth _{d-2}(|\alpha +\omega |^{|\alpha +1|})$ для некоторого конечного ординала d ≥2; Примеры: аналогично случаю 2.
$\beth _{2}$ . Пример: теория целых чисел, рассматриваемая как абелева группа.
$|(\alpha +1)^{n}/G|-|\alpha ^{n}/G|$ для конечного α и |α| для бесконечного α, где G — некоторая подгруппа симметрической группы на n ≥ 2 элементах. Здесь мы отождествляем α ⁿ с множеством последовательностей длины n элементов множества размера α. G действует на α ⁿ перестановкой элементов последовательности, а |α ⁿ / G | обозначает число орбит этого действия. Примеры: теория множества ω× n , на которое действует сплетение G со всеми перестановками ω.
$1$ . Примеры: теории, категоричные в несчетных кардиналах, такие как теория алгебраически замкнутых полей в заданной характеристике.
$0$ . Примеры: теории с конечной моделью и противоречивые теории.

Более того, все вышеперечисленные возможности возникают как спектр некоторой счетной полной теории.

Число d в списке выше — это глубина теории. Если T — теория, мы определяем новую теорию 2 ^T как теорию с отношением эквивалентности таким, что существует бесконечно много классов эквивалентности, каждый из которых является моделью T . Мы также определяем теории как , . Тогда . Это можно использовать для построения примеров теорий со спектрами в списке выше для неминимальных значений d из примеров для минимального значения d . $\beth _{n}(T)$ $\beth _{0}(T)=T$ $\beth _{n+1}(T)=2^{\beth _{n}(T)}$ $I(\beth _{n}(T),\lambda )=\min(\beth _{n}(I(T,\lambda )),2^{\lambda })$

Смотрите также

Спектр предложения

Ссылки

CC Chang , HJ Keisler , Теория моделей . ISBN 0-7204-0692-7
Сахарон Шелах , «Теория классификации и число неизоморфных моделей», Исследования по логике и основаниям математики , т. 92, IX, 1.19, стр. 49 (North Holland, 1990).
Харт, Брэдд; Хрушовски, Эхуд; Ласковски, Майкл К. (2000). «Несчетные спектры счетных теорий». Анналы математики . 152 (1): 207–257. arXiv : math/0007199 . Bibcode :2000math......7199H. doi :10.2307/2661382. JSTOR 2661382.
Брэдд Харт, Майкл С. Ласковски, «Обзор несчетных спектров счетных теорий», Алгебраическая теория моделей , под редакцией Харта, Лаклана, Валериота (Springer, 1997). ISBN 0-7923-4666-1