В математике , в частности в теории множеств , числа алеф представляют собой последовательность чисел, используемых для представления мощности (или размера) бесконечных множеств , которые могут быть хорошо упорядочены . Они были введены математиком Георгом Кантором [1] и названы в честь символа, который он использовал для их обозначения, еврейской буквы алеф (ℵ). [2] [a]
Мощность натуральных чисел равна ℵ 0 (читается как алеф-ноль , алеф-ноль или алеф-нуль ), следующая большая мощность хорошо упорядоченного множества равна алеф-один ℵ 1 , затем ℵ 2 и т. д. Продолжая таким образом, можно определить кардинальное число ℵ α для каждого порядкового числа α , как описано ниже.
Концепция и обозначения принадлежат Георгу Кантору [5] , который определил понятие мощности и понял, что бесконечные множества могут иметь различную мощность .
Алеф-числа отличаются от бесконечности (∞), обычно встречающейся в алгебре и исчислении, тем, что алефы измеряют размеры множеств, в то время как бесконечность обычно определяется либо как крайний предел действительной числовой прямой (применяемой к функции или последовательности , которая « расходится до бесконечности» или «возрастает без ограничений»), либо как крайняя точка расширенной действительной числовой прямой .
ℵ 0 (алеф-ноль, алеф-ноль или алеф-нуль) — мощность множества всех натуральных чисел, и является бесконечным кардиналом . Множество всех конечных ординалов , называемое ω или ω 0 (где ω — строчная греческая буква омега ), имеет мощность ℵ 0 . Множество имеет мощность ℵ 0 тогда и только тогда, когда оно счетно бесконечно , то есть между ним и натуральными числами существует биекция (взаимно-однозначное соответствие). Примерами таких множеств являются
Эти бесконечные ординалы: ω, ω + 1, ω⋅2, ω 2 входят в число счетно бесконечных множеств. [6] Например, последовательность (с ординальностью ω⋅2) всех положительных нечетных целых чисел, за которыми следуют все положительные четные целые числа
— это упорядочение множества (мощностью ℵ 0 ) положительных целых чисел.
Если аксиома счетного выбора (более слабая версия аксиомы выбора ) верна, то ℵ 0 меньше любого другого бесконечного кардинального числа и, следовательно, является (единственным) наименьшим бесконечным ординалом.
ℵ 1 по определению является мощностью множества всех счетных порядковых чисел . Это множество обозначается ω 1 (или иногда Ω). Множество ω 1 само по себе является порядковым числом, большим, чем все счетные, поэтому оно является несчетным множеством . Следовательно, ℵ 1 отлично от ℵ 0 . Определение ℵ 1 подразумевает (в ZF, теории множеств Цермело–Френкеля без аксиомы выбора), что между ℵ 0 и ℵ 1 нет кардинального числа . Если используется аксиома выбора , можно дополнительно доказать, что класс кардинальных чисел полностью упорядочен , и, таким образом, ℵ 1 является вторым по величине бесконечным кардинальным числом. Можно показать одно из самых полезных свойств множества ω 1 : любое счетное подмножество ω 1 имеет верхнюю границу в ω 1 (это следует из того факта, что объединение счетного числа счетных множеств само счетно). Этот факт аналогичен ситуации в ℵ 0 : каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимум, который также является натуральным числом, а конечные объединения конечных множеств конечны.
Ординал ω 1 на самом деле является полезным понятием, хотя и звучит несколько экзотично. Примером применения является «закрытие» относительно счетных операций; например, попытка явно описать σ-алгебру , порожденную произвольным набором подмножеств (см., например, иерархию Бореля ). Это сложнее, чем большинство явных описаний «порождения» в алгебре ( векторные пространства , группы и т. д.), потому что в этих случаях нам нужно только закрывать относительно конечных операций – сумм, произведений и т. д. Процесс включает определение для каждого счетного ординала посредством трансфинитной индукции множества путем «вбрасывания» всех возможных счетных объединений и дополнений и взятия объединения всего этого по всем ω 1 .
Мощность множества действительных чисел ( мощность континуума ) равна 2 ℵ 0. Она не может быть определена из ZFC ( теория множеств Цермело–Френкеля, дополненная аксиомой выбора ), где это число точно вписывается в иерархию чисел алеф, но из ZFC следует, что гипотеза континуума (CH) эквивалентна тождеству
CH утверждает, что не существует множества, мощность которого строго находится между мощностью целых и действительных чисел. [8] CH не зависит от ZFC : это не может быть ни доказано, ни опровергнуто в контексте этой системы аксиом (при условии, что ZFC непротиворечива ). То, что CH непротиворечива с ZFC , было продемонстрировано Куртом Гёделем в 1940 году, когда он показал, что его отрицание не является теоремой ZFC . То, что он не зависит от ZFC, было продемонстрировано Полом Коэном в 1963 году, когда он показал, наоборот, что сам CH не является теоремой ZFC – с помощью (тогда еще нового) метода форсинга . [7] [9]
Алеф-омега - это
где наименьший бесконечный ординал обозначается как ω. То есть, кардинальное число ℵ ω является наименьшей верхней границей
Примечательно, что ℵ ω является первым несчетным кардинальным числом, которое может быть продемонстрировано в рамках теории множеств Цермело–Френкеля как не равное мощности множества всех действительных чисел 2 ℵ 0 : для любого натурального числа n ≥ 1 мы можем последовательно предполагать, что 2 ℵ 0 = ℵ n , и, более того, можно предполагать, что 2 ℵ 0 не меньше любого кардинального числа, которое нам нравится. Основное ограничение, которое ZFC накладывает на значение 2 ℵ 0 , заключается в том, что оно не может быть равно некоторым специальным кардинальным числам с конфинальностью ℵ 0 . Несчетно бесконечный кардинал κ, имеющий конфинальность ℵ 0, означает, что существует последовательность (счетной длины) κ 0 ≤ κ 1 ≤ κ 2 ≤ ... кардиналов κ i < κ , пределом (т.е. его наименьшей верхней границей) которой является κ (см. теорему Истона ). Согласно определению выше, ℵ ω является пределом последовательности счетной длины меньших кардиналов.
Чтобы определить ℵ α для произвольного порядкового числа α, мы должны определить операцию кардинального следования , которая присваивает любому кардинальному числу ρ следующий больший вполне упорядоченный кардинальный член ρ + (если аксиома выбора верна, то это (единственный) следующий больший кардинальный член).
Затем мы можем определить числа алеф следующим образом:
α - й бесконечный начальный ординал обозначается как ω α . Его мощность обозначается как ℵ α .
Неформально, алеф-функция ℵ: On → Cd является биекцией из ординалов в бесконечные кардиналы. Формально, в ZFC , ℵ не является функцией , а классом, подобным функции, поскольку она не является множеством (из-за парадокса Бурали-Форти ).
Для любого ординала α имеем
Во многих случаях ω α строго больше α . Например, это верно для любого ординала- последователя : α + 1 < ω α +1 имеет место. Однако существуют некоторые предельные ординалы, которые являются неподвижными точками омега-функции из-за леммы о неподвижной точке для нормальных функций . Первым из них является предел последовательности
который иногда обозначается ω ω ... .
Любой слабо недостижимый кардинал также является неподвижной точкой функции алеф. [10] Это можно показать в ZFC следующим образом. Предположим, что κ = ℵ λ — слабо недостижимый кардинал. Если бы λ было последующим ординалом , то ℵ λ было бы последующим кардиналом и, следовательно, не было бы слабо недостижимым. Если бы λ было предельным ординалом, меньшим κ , то его конфинальность (и, следовательно, конфинальность ℵ λ ) была бы меньше κ , и, следовательно, κ не было бы регулярным и, следовательно, не было бы слабо недостижимым. Таким образом, λ ≥ κ и, следовательно, λ = κ, что делает его неподвижной точкой.
Мощность любого бесконечного ординала является числом алеф. Каждый алеф является мощностью некоторого ординала. Наименьший из них является его начальным ординалом . Любое множество, мощность которого является алефом, равночисленно с ординалом и, таким образом, является вполне упорядочиваемым .
Каждое конечное множество вполне упорядочиваемо, но его мощность не равна алефу.
Над ZF предположение о том, что мощность каждого бесконечного множества является алеф-числом, эквивалентно существованию полного упорядочения каждого множества, что, в свою очередь, эквивалентно аксиоме выбора . Теория множеств ZFC, которая включает аксиому выбора, подразумевает, что каждое бесконечное множество имеет алеф-число в качестве своей мощности (т.е. равночисленно своему начальному порядковому числу), и, таким образом, начальные порядковые числа алеф-чисел служат классом представителей для всех возможных бесконечных кардинальных чисел.
Когда мощность изучается в ZF без аксиомы выбора, больше невозможно доказать, что каждое бесконечное множество имеет некоторое число алеф в качестве своей мощности; множества, мощность которых является числом алеф, являются именно бесконечными множествами, которые могут быть хорошо упорядочены. Метод трюка Скотта иногда используется как альтернативный способ построения представителей для кардинальных чисел в условиях ZF. Например, можно определить card( S ) как множество множеств с той же мощностью, что и S минимально возможного ранга. Это имеет свойство, что card( S ) = card( T ) тогда и только тогда, когда S и T имеют одинаковую мощность. (Множество card( S ) не имеет ту же мощность, что и S в общем случае, но все его элементы имеют.)
Его новые числа заслуживали чего-то уникального. ... Не желая изобретать новый символ самостоятельно, он выбрал алеф, первую букву еврейского алфавита... алеф можно было бы рассматривать как символ новых начинаний...