Спирограф

Устройство для геометрического рисования

Спирограф — это устройство для геометрического рисования, которое создает математические кривые рулетки , технически известные как гипотрохоиды и эпитрохоиды . Известная игрушечная версия была разработана британским инженером Денисом Фишером и впервые продана в 1965 году.

Это имя является зарегистрированным товарным знаком Hasbro Inc. с 1998 года после покупки компании, которая приобрела компанию Дениса Фишера. Бренд Spirograph был перезапущен по всему миру в 2013 году компанией Kahootz Toys с оригинальными конфигурациями продуктов .

История

Рисование узоров с помощью кольца и колеса спирографа.

Уличный торговец в Форт-Кочи, Индия, демонстрирует спирографы, которые он продает.

В 1827 году английский архитектор и инженер греческого происхождения Питер Юбер Девинь разработал и рекламировал «Спейраграф», устройство для создания сложных спиральных рисунков. Человек по имени Дж. Джоплинг вскоре заявил, что ранее изобрел подобные методы. ^[1] Работая в Вене между 1845 и 1848 годами, Девинь сконструировал версию машины, которая помогла бы предотвратить подделку банкнот, ^[2] поскольку любую из почти бесконечных вариаций моделей рулетки, которые она могла производить, было чрезвычайно сложно перепроектировать. Математик Бруно Абаканович изобрел новый спирограф между 1881 и 1900 годами. Он использовался для расчета площади, ограниченной кривыми. ^[3]

Игрушки для рисования на основе шестеренок существуют как минимум с 1908 года, когда The Marvelous Wondergraph рекламировалась в каталоге Sears . ^{[4] [5]} Статья, описывающая, как сделать чертежную машину Wondergraph, появилась в публикации Boys Mechanic в 1913 году ^{. [6]}

Настоящая игрушка-спирограф была разработана британским инженером Денисом Фишером в период с 1962 по 1964 год путем создания машин для рисования из деталей конструктора . Фишер выставил свой спирограф на Нюрнбергской международной ярмарке игрушек 1965 года . Впоследствии он был произведен его компанией. Права на распространение в США были приобретены компанией Kenner , Inc., которая представила ее на рынке США в 1966 году и продвигала ее как креативную детскую игрушку. Позже Кеннер представил Spirotot, Magnetic Spirograph, Spiroman и различные сменные наборы. ^[7]

В 2013 году компания Kahootz Toys перезапустила бренд Spirograph по всему миру с оригинальными шестернями и колесами. В современных изделиях вместо штифтов используется съемная замазка, удерживающая неподвижные детали на месте. Спирограф стал «Игрушкой года» в 1967 году и финалистом «Игрушки года» в двух категориях в 2014 году. Kahootz Toys была приобретена компанией PlayMonster LLC в 2019 году. ^[8]

Операция

Анимация спирографа

Несколько рисунков спирографа, нарисованных с помощью набора спирографов с использованием нескольких ручек разного цвета.

Крупный план колеса спирографа

Оригинальный спирограф, выпущенный в США, состоял из двух пластиковых колец (или статоров ) разного размера с зубьями шестерни как на внутренней, так и на внешней стороне окружности. После того, как любое из этих колец удерживалось на месте (с помощью штифтов, клея или вручную), любое из нескольких предоставленных зубчатых колес (или роторов), каждое из которых имело отверстия для шариковой ручки, можно было вращать вокруг кольца, чтобы рисовать геометрические фигуры. . Позже в суперспирографе появились дополнительные формы, такие как кольца, треугольники и прямые полосы. Все края каждой детали имеют зубцы для зацепления с любой другой деталью; Шестерни меньшего размера помещаются внутри колец большего размера, но они также могут вращаться вдоль внешнего края колец или даже вокруг друг друга. Шестерни можно комбинировать по-разному. В наборы часто входили ручки разного цвета, которые могли улучшить дизайн за счет переключения цветов, как показано на примерах, показанных здесь.

Новички часто проскальзывают шестерни, особенно при использовании отверстий по краям больших колес, что приводит к ломаным или неправильным линиям. Опытные пользователи могут научиться перемещать несколько фигур относительно друг друга (скажем, треугольник вокруг кольца, с кругом, «перелезающим» из кольца на треугольник).

Математическая основа

Геометрические конструкции для математического объяснения спирографа.

Рассмотрим фиксированный внешний круг радиуса с центром в начале координат. Внутренняя окружность меньшего радиуса катится внутри и непрерывно касается к ней. предполагается, что он никогда не соскользнет (в реальном спирографе зубцы на обоих кругах предотвращают такое проскальзывание). Теперь предположим, что точка , лежащая где-то внутри , находится на некотором расстоянии от центра. Эта точка соответствует отверстию для ручки во внутреннем диске настоящего спирографа. Без ограничения общности можно считать, что в начальный момент точка находилась на оси. Чтобы найти траекторию, созданную спирографом, следуйте за точкой, когда внутренний круг приходит в движение. ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle r<R}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle \rho <r}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$

Теперь отметьте две точки снова и снова . Точка всегда указывает место соприкосновения двух окружностей. Точка , однако, будет путешествовать по , и ее начальное положение совпадает с . После приведения в движение против часовой стрелки вокруг , имеет вращение по часовой стрелке относительно своего центра. Расстояние, которое проходит точка , такое же, как и расстояние, пройденное точкой касания на , из-за отсутствия скольжения. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{o}}$

Теперь определите новую (относительную) систему координат с началом в центре и осями, параллельными и . Пусть параметром будет угол, на который вращается точка касания на , и угол, на который вращается (т.е. перемещается) в относительной системе координат. Поскольку скольжения нет, расстояния, пройденные по соответствующим окружностям и вдоль них, должны быть одинаковыми, поэтому ${\displaystyle (X',Y')}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle tR=(t-t')r,}$

или эквивалентно,

${\displaystyle t'=-{\frac {R-r}{r}}t.}$

Принято считать, что движение против часовой стрелки соответствует положительному изменению угла, а движение по часовой стрелке — отрицательному изменению угла. Знак минус в приведенной выше формуле ( ) соответствует этому соглашению. ${\displaystyle t'<0}$

Пусть – координаты центра в абсолютной системе координат. Затем представляет собой радиус траектории центра , который (опять же в абсолютной системе) совершает круговое движение таким образом: ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle R-r}$ ${\displaystyle C_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}&=(R-r)\cos t,\\y_{c}&=(R-r)\sin t.\end{aligned}}}$

Как определено выше, это угол поворота в новой относительной системе. Поскольку точка подчиняется обычному закону кругового движения, ее координаты в новой относительной системе координат равны ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x',y')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\rho \cos t',\\y'&=\rho \sin t'.\end{aligned}}}$

Чтобы получить траекторию движения в абсолютной (старой) системе координат, сложим эти два движения: ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{c}+x'=(R-r)\cos t+\rho \cos t',\\y&=y_{c}+y'=(R-r)\sin t+\rho \sin t',\\\end{aligned}}}$

где определено выше. ${\displaystyle \rho }$

Теперь используйте соотношение между и, полученное выше, чтобы получить уравнения, описывающие траекторию точки с точки зрения одного параметра : ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{c}+x'=(R-r)\cos t+\rho \cos {\frac {R-r}{r}}t,\\y&=y_{c}+y'=(R-r)\sin t-\rho \sin {\frac {R-r}{r}}t\\\end{aligned}}}$

(используя тот факт, что функция нечетная ) . ${\displaystyle \sin }$

Приведенное выше уравнение удобно представить через радиус и безразмерные параметры, описывающие структуру спирографа. А именно, пусть ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{o}}$

${\displaystyle l={\frac {\rho }{r}}}$

и

${\displaystyle k={\frac {r}{R}}.}$

Параметр показывает, насколько далеко точка расположена от центра . В то же время показывает, насколько велик внутренний круг по отношению к внешнему . ${\displaystyle 0\leq l\leq 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq 1}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{o}}$

Сейчас наблюдается, что

${\displaystyle {\frac {\rho }{R}}=lk,}$

и поэтому уравнения траектории принимают вид

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=R\left[(1-k)\cos t+lk\cos {\frac {1-k}{k}}t\right],\\y(t)&=R\left[(1-k)\sin t-lk\sin {\frac {1-k}{k}}t\right].\\\end{aligned}}}$

Параметр является параметром масштабирования и не влияет на структуру спирографа. Различные значения дадут одинаковые рисунки спирографа. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Два крайних случая и приводят к вырожденным траекториям спирографа. В первом крайнем случае, когда , мы имеем простой круг радиуса , соответствующий случаю, когда сжался в точку. (Деление на в формуле не является проблемой, поскольку обе функции и являются ограниченными.) ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$

Другой крайний случай соответствует радиусу внутреннего круга , совпадающему с радиусом внешнего круга , т.е. В этом случае траектория представляет собой одну точку. Интуитивно понятно, что он слишком велик, чтобы катиться внутрь такого же размера , не поскользнувшись. ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle r=R}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{o}}$

Если , то точка лежит на окружности . В этом случае траектории называются гипоциклоидами , и приведенные выше уравнения сводятся к уравнениям для гипоциклоиды. ${\displaystyle l=1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{i}}$

Смотрите также

• Кардиоида
• Апсидальная прецессия
• Циклограф
• Геометрический токарный станок
• Гильоширование
• Гармонограф
• Гипотрохоид
• Кривая Лиссажу
• Список периодических функций
• Пантограф
• Шестерня
• Роза (математика)
• Розетта (орбита)
• Туманность Спирограф — планетарная туманность с тонкой филигранью, напоминающей спирограф.
• Пара Туси

Рекомендации

1. Найт, Джон I. (1828). «Журнал Механика». Рыцарь; Лейси – через Google Книги.
2. «Спирограф и примеры рисунков, нарисованных с его помощью | Коллекция группы музея науки» .
3. Гольдштейн, Кэтрин; Грей, Джереми; Риттер, Джим (1996). Математическая Европа: истории, мифы, идентичности. Издания МШ. п. 293. ИСБН 9782735106851. Проверено 17 июля 2011 г.
4. Кавени, Венди. «Коллекция CONTENTdm: средство просмотра составных объектов». digitallibrary.imcpl.org . Проверено 17 июля 2011 г.
5. Линдерман, Джим. «АртСлант – Спирограф? Нет, ВОЛШЕБНЫЙ УЗОР!». artslant.com . Проверено 17 июля 2011 г.
6. "От мальчика-механика (1913) - Чудограф" . marcdatabase.com . 2004. Архивировано из оригинала 30 сентября 2011 года . Проверено 17 июля 2011 г.
7. Купи, Тодд (17 августа 2015 г.). «Спирограф». ToyTales.ca .
8. «PlayMonster приобретает Kahootz Toys» . Проверено 26 февраля 2023 г.

Внешние ссылки

• Официальный веб-сайт
• Воевудко А.Е. (12 марта 2018 г.). «Географические кривые». Код проекта .