Экспоненциальный распад

Уменьшение стоимости со скоростью, пропорциональной текущей стоимости

Величина, подверженная экспоненциальному убыванию. Большие константы распада заставляют величину исчезать гораздо быстрее. Этот график показывает затухание константы затухания ( λ ) 25, 5, 1, 1/5 и 1/25 для x от 0 до 5.

Величина подвержена экспоненциальному затуханию , если она уменьшается со скоростью, пропорциональной ее текущему значению. Символически этот процесс можно выразить следующим дифференциальным уравнением , где N — величина, а λ ( лямбда ) — положительная скорость, называемая константой экспоненциального распада , константой распада , ^[1] константой скорости , ^[2] или константой преобразования : ^{[ 3]}

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N.}$

Решение этого уравнения (см. вывод ниже):

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t},}$

где N ( t ) — количество в момент времени t , N0 ₌ N (0) — начальное количество, то есть количество в момент времени t = 0 .

Измерение скорости распада

Средний срок службы

Если затухающая величина N ( t ) представляет собой количество дискретных элементов в определенном наборе , можно вычислить среднюю продолжительность времени, в течение которого элемент остается в наборе. Это называется средним временем жизни (или просто временем жизни ), где экспоненциальная постоянная времени связана с константой скорости затухания λ следующим образом: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}.}$

Среднее время жизни можно рассматривать как «время масштабирования», поскольку уравнение экспоненциального затухания можно записать через среднее время жизни вместо константы затухания λ: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau },}$

и это время, когда популяция сборки уменьшается в 1 ⁄ e ≈ 0,367879441 раза от первоначального значения. ${\displaystyle \tau }$

Например, если начальная популяция сборки N (0) равна 1000, то в момент времени численность составляет 368 человек. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle N(\tau )}$

Ниже будет показано очень похожее уравнение, которое возникает, когда основание экспоненты выбрано равным 2, а не e . В этом случае время масштабирования представляет собой «период полураспада».

Период полураспада

Более интуитивной характеристикой экспоненциального затухания для многих людей является время, необходимое для того, чтобы затухающая величина упала до половины своего первоначального значения. (Если N ( t ) дискретно, то это медианное время жизни, а не среднее время жизни.) Это время называется периодом полураспада и часто обозначается символом t1 _/2 . Период полураспада можно записать через константу распада или среднее время жизни следующим образом:

${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}=\tau \ln(2).}$

Когда это выражение вставляется в приведенное выше экспоненциальное уравнение и ln 2 поглощается основанием, это уравнение принимает вид: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.}$

Таким образом, количество оставшегося материала составляет 2 ^-1  = 1/2, возведенное к (целому или дробному) числу прошедших периодов полураспада. Таким образом, через 3 периода полураспада останется 1/2 ³  = 1/8 исходного материала.

Следовательно, среднее время жизни равно периоду полураспада, делённому на натуральный логарифм 2, или: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau ={\frac {t_{1/2}}{\ln(2)}}\approx 1.44\cdot t_{1/2}.}$

Например, полоний-210 имеет период полураспада 138 дней, а среднее время жизни 200 дней.

Решение дифференциального уравнения

Уравнение, описывающее экспоненциальный затух:

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N}$

или, переставляя (применяя технику, называемую разделением переменных ),

${\displaystyle {\frac {dN}{N}}=-\lambda dt.}$

Интегрируя, мы имеем

${\displaystyle \ln N=-\lambda t+C\,}$

где C — константа интегрирования , и, следовательно,

${\displaystyle N(t)=e^{C}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-\lambda t}\,}$

где окончательная замена N ₀ = e ^C получается путем вычисления уравнения в момент t = 0, поскольку N ₀ определяется как количество в момент t = 0.

Это форма уравнения, которая чаще всего используется для описания экспоненциального затухания. Для характеристики распада достаточно любого из констант распада, среднего времени жизни или периода полураспада. Обозначение λ для константы распада является остатком обычного обозначения собственного значения . В этом случае λ — собственное значение отрицательного дифференциального оператора с N ( t ) в качестве соответствующей собственной функции . Единицы измерения константы распада ^: с ^{- 1 .}

Вывод среднего срока службы

Учитывая сборку элементов, число которых в конечном итоге уменьшается до нуля, среднее время жизни ( также называемое просто временем жизни ) является ожидаемым значением количества времени, прежде чем объект будет удален из сборки. В частности, если индивидуальный срок службы элемента сборки — это время, прошедшее между некоторым эталонным временем и удалением этого элемента из сборки, средний срок службы — это среднее арифметическое время жизни отдельных элементов. ${\displaystyle \tau }$

Исходя из формулы численности населения

${\displaystyle N=N_{0}e^{-\lambda t},\,}$

сначала пусть c будет нормировочным коэффициентом для преобразования в функцию плотности вероятности :

${\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}}$

или, при перестановке,

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{N_{0}}}.}$

Экспоненциальный распад — это скаляр, кратный экспоненциальному распределению (т.е. индивидуальное время жизни каждого объекта распределяется экспоненциально), которое имеет известное ожидаемое значение . Мы можем вычислить это здесь, используя интегрирование по частям .

${\displaystyle \tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}.}$

Распад двумя или более процессами

Величина может распадаться в результате двух или более различных процессов одновременно. В общем, эти процессы (часто называемые «режимами распада», «каналами распада», «путями распада» и т. д.) имеют разную вероятность возникновения и, следовательно, происходят с разной скоростью и с разными периодами полураспада, параллельно. Полная скорость распада величины  N определяется суммой путей распада; таким образом, в случае двух процессов:

${\displaystyle -{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N.}$

Решение этого уравнения дано в предыдущем разделе, где сумма рассматривается как новая полная константа распада . ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\,}$ ${\displaystyle \lambda _{c}}$

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}.}$

Частичный средний срок службы , связанный с отдельными процессами, по определению является мультипликативной обратной величиной соответствующей частичной константы распада: . Комбинацию можно выразить в виде s: ${\displaystyle \tau =1/\lambda }$ ${\displaystyle \tau _{c}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}=\lambda _{c}=\lambda _{1}+\lambda _{2}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}}$

${\displaystyle \tau _{c}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}.}$

Поскольку периоды полураспада отличаются от среднего периода полураспада на постоянный коэффициент, то же уравнение справедливо и для двух соответствующих периодов полураспада: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}}$

где – общий или общий период полураспада процесса, а – так называемые частичные периоды полураспада соответствующих процессов. Термины «частичный период полураспада» и «частичный средний срок службы» обозначают величины, полученные из константы распада, как если бы данный режим распада был единственным режимом распада для этой величины. Термин «частичный период полураспада» вводит в заблуждение, поскольку его нельзя измерить как интервал времени, за который определенное количество уменьшается вдвое . ${\displaystyle T_{1/2}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

С точки зрения отдельных констант распада можно показать , что общий период полураспада равен ${\displaystyle T_{1/2}}$

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

Для распада тремя одновременными экспоненциальными процессами общий период полураспада можно рассчитать, как указано выше:

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}.}$

Серия распада/связанный распад

В ядерной науке и фармакокинетике интересующий агент может находиться в цепочке распада, где накопление определяется экспоненциальным распадом исходного агента, в то время как сам интересующий агент распадается посредством экспоненциального процесса.

Эти системы решаются с помощью уравнения Бейтмана .

В фармакологии некоторые проглоченные вещества могут всасываться в организм в результате процесса, разумно моделируемого как экспоненциальный распад, или могут быть специально составлены с таким профилем высвобождения.

Приложения и примеры

Экспоненциальное затухание происходит в самых разных ситуациях. Большинство из них относятся к области естественных наук .

Многие процессы распада, которые часто рассматриваются как экспоненциальные, на самом деле являются экспоненциальными только до тех пор, пока выборка велика и соблюдается закон больших чисел . Для небольших выборок необходим более общий анализ с учетом процесса Пуассона .

Естественные науки

• Химические реакции . Скоростьнекоторых видов химических реакций зависит от концентрации того или иного реагирующего вещества . Реакции, скорость которых зависит только от концентрации одного реагента (известные как реакции первого порядка ), следовательно, следуют экспоненциальному затуханию. Например, многие, катализируемые ферментами , ведут себя именно так.
• Электростатика : Электрический заряд (или, что то же самое, потенциал ), содержащийся в конденсаторе (емкость C ), разряжается с экспоненциальным затуханием (когда конденсатор испытывает постоянную внешнюю нагрузку сопротивлением R ) и аналогичным образом заряжается с зеркальным отражением экспоненциального затухания (когда конденсатор заряжается от источника постоянного напряжения, хотя сопротивление постоянное). Экспоненциальная постоянная времени для процессаравна периоду полураспада.Те же уравнения можно применить к двойному току в индукторе. ${\displaystyle \tau =R\,C,}$ ${\displaystyle R\,C\,\ln(2).}$
  • Более того, частный случай замены конденсатора или катушки индуктивности через несколько параллельных резисторов представляет собой интересный пример множественных процессов распада, где каждый резистор представляет собой отдельный процесс. Фактически выражение для эквивалентного сопротивления двух параллельно включенных резисторов отражает уравнение периода полураспада с двумя процессами распада.
• Геофизика : Атмосферное давление снижается примерно по экспоненте с увеличением высоты над уровнем моря, со скоростью около 12% на 1000 м. ^{[ нужна цитата ]}
• Теплопередача : если объект с одной температурой подвергается воздействию среды с другой температурой, разница температур между объектом и средой экспоненциально затухает (в пределе медленных процессов; что эквивалентно «хорошей» теплопроводности внутри объекта, поэтому что его температура остается относительно однородной по всему объему). См. также закон охлаждения Ньютона .
• Люминесценция : после возбуждения интенсивность излучения люминесцентного материала, пропорциональная числу возбужденных атомов или молекул, затухает экспоненциально. В зависимости от количества задействованных механизмов затухание может быть моно- или мультиэкспоненциальным.
• Фармакология и токсикология : Установлено, что многие вводимые вещества распределяются и метаболизируются (см. клиренс ) по экспоненциальному закону распада. Биологические периоды полураспада «альфа-полупериод» и «бета-период полураспада» вещества измеряют, насколько быстро вещество распределяется и выводится.
• Физическая оптика : Интенсивность электромагнитного излучения , такого как свет, рентгеновские лучи или гамма-лучи, в поглощающей среде экспоненциально уменьшается с расстоянием до поглощающей среды. Это известно как закон Бера-Ламберта .
• Радиоактивность : В образце радионуклида , который подвергается радиоактивному распаду в другое состояние, количество атомов в исходном состоянии следует экспоненциальному распаду, пока оставшееся количество атомов велико. Продукт распада называется радиогенным нуклидом.
• Термоэлектричество : снижение сопротивления термистора с отрицательным температурным коэффициентом при повышении температуры.
• Вибрации : Некоторые вибрации могут затухать экспоненциально; эта характеристика часто встречается в затухающих механических генераторах и используется при создании огибающих ADSR в синтезаторах . Перезатухающая система просто вернется в равновесие посредством экспоненциального затухания.
• Пивная пена: Арнд Лейке из Мюнхенского университета Людвига-Максимилиана получил Шнобелевскую премию за демонстрацию того, что пивная пена подчиняется закону экспоненциального распада. ^[4]

Социальные науки

• Финансы : пенсионный фонд будет распадаться в геометрической прогрессии, поскольку суммы выплат будут дискретными, обычно ежемесячными, а вложения будут зависеть от постоянной процентной ставки. Дифференциальное уравнение dA/dt = вход – выход можно записать и решить, чтобы найти время достижения любой суммы A, остающейся в фонде.
• В простой глоттохронологии (спорное) предположение о постоянной скорости распада языков позволяет оценить возраст отдельных языков. (Для расчета времени разделения между двумя языками требуются дополнительные предположения, независимые от экспоненциального затухания).

Информатика

• Основной протокол маршрутизации в Интернете , BGP , должен поддерживать таблицу маршрутизации , чтобы запоминать пути, по которым может отклониться пакет . Когда один из этих путей неоднократно меняет свое состояние с доступного на недоступный (и наоборот ), маршрутизатор BGP, контролирующий этот путь, должен неоднократно добавлять и удалять запись пути из своей таблицы маршрутизации ( переворачивать путь), таким образом тратя локальные ресурсы, такие как как ЦП и ОЗУ и, что еще более важно, транслируют бесполезную информацию одноранговым маршрутизаторам. Чтобы предотвратить это нежелательное поведение, алгоритм, называемый демпфированием колебаний маршрута, присваивает каждому маршруту вес, который увеличивается каждый раз, когда маршрут меняет свое состояние, и экспоненциально затухает со временем. Когда вес достигает определенного предела, взмахи больше не выполняются, что препятствует маршруту.

Графики, сравнивающие времена удвоения и периоды полураспада экспоненциального роста (жирные линии) и затухания (тусклые линии), а также их аппроксимации 70/ t и 72/ t . В версии SVG наведите указатель мыши на график, чтобы выделить его и его дополнение.

Смотрите также

• Экспоненциальная формула
• Экспоненциальный рост
• Радиоактивный распад для математики цепочек экспоненциальных процессов с разными константами

Примечания

1. Сервей, Моисей и Мойер (1989, стр. 384)
2. Симмонс (1972, стр. 15)
3. МакГроу-Хилл (2007)
4. Лейке, А. (2002). «Демонстрация закона экспоненциального затухания с использованием пивной пены». Европейский журнал физики . 23 (1): 21–26. Бибкод : 2002EJPh...23...21L. CiteSeerX  10.1.1.693.5948 . дои : 10.1088/0143-0807/23/1/304. S2CID  250873501.

Рекомендации

• Энциклопедия науки и технологий McGraw-Hill (10-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
• Сервей, Раймонд А.; Моисей, Клемент Дж.; Мойер, Курт А. (1989), Современная физика , Форт-Уэрт: Харкорт Брейс Йованович , ISBN 0-03-004844-3
• Симмонс, Джордж Ф. (1972), Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими примечаниями , Нью-Йорк: McGraw-Hill , LCCN  75173716

Внешние ссылки

• Калькулятор экспоненциального затухания
• Стохастическое моделирование экспоненциального затухания
• Учебник по постоянным времени