Арифметическое число

Демонстрация арифметической природы числа 6 с помощью палочек Кюизенера

В теории чисел арифметическое число — это целое число , для которого среднее значение его положительных делителей также является целым числом. Например, 6 — это арифметическое число, потому что среднее значение его делителей равно

${\displaystyle {\frac {1+2+3+6}{4}}=3,}$

что также является целым числом. Однако 2 не является арифметическим числом, поскольку его единственными делителями являются 1 и 2, а их среднее значение 3/2 не является целым числом.

Первые числа в последовательности арифметических чисел — это

1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, ... (последовательность A003601 в OEIS ).

Средние арифметические делители арифметических чисел приведены в A102187.

Плотность

Известно, что естественная плотность таких чисел равна 1: ^[1] действительно, доля чисел, меньших X , которые не являются арифметическими, асимптотически ^[2]

${\displaystyle \exp \left({-c{\sqrt {\log \log X}}}\,\right)}$

где с = 2 √ log 2 + o(1).

Число N является арифметическим, если число делителей d ( N  ) делит сумму делителей σ( N  ). Известно, что плотность целых чисел N, удовлетворяющих более сильному условию, что d ( N  ) ² делит σ( N  ), равна 1/2. ^{[1] [2]}

Примечания

1. Guy (2004) стр.76
2. Bateman, Paul T. ; Erdős, Paul ; Pomerance, Carl ; Straus, EG (1981). "Среднее арифметическое делителей целого числа". В Knopp, MI (ред.). Аналитическая теория чисел, Proc. Conf., Temple Univ., 1980 (PDF) . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 899. Springer-Verlag . pp. 197–220. Zbl  0478.10027.

Ссылки

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag . B2. ISBN 978-0-387-20860-2. Збл  1058.11001.