Средний размер

В математике средняя (топологическая) размерность топологической динамической системы — это неотрицательное расширенное действительное число, которое является мерой сложности системы. Средняя размерность была впервые введена в 1999 году Громовым . [ 1 ^] Вскоре после этого она была разработана и систематически изучена Линденштрауссом и Вайсом . ^[2] В частности, они доказали следующий ключевой факт: система с конечной топологической энтропией имеет нулевую среднюю размерность. Для различных топологических динамических систем с бесконечной топологической энтропией средняя размерность может быть вычислена или, по крайней мере, ограничена снизу и сверху. Это позволяет использовать среднюю размерность для различения систем с бесконечной топологической энтропией. Средняя размерность также связана с проблемой вложения топологических динамических систем в сдвиговые пространства (над евклидовыми кубами).

Общее определение

Топологическая динамическая система состоит из компактного хаусдорфова топологического пространства и непрерывного отображения себя . Пусть обозначает совокупность открытых конечных покрытий . Для зададим ее порядок как ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha \in {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle \operatorname {ord} (\alpha )=\max _{x\in X}\sum _{U\in \alpha }1_{U}(x)-1}$

Открытое конечное покрытие очищается , обозначается , если для каждого , существует так что . Пусть ${\displaystyle \textstyle \beta }$ ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle \beta \succ \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle V\in \beta }$ ${\displaystyle \textstyle U\in \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle V\subset U}$

${\displaystyle D(\alpha )=\min _{\beta \succ \alpha }\operatorname {ord} (\beta )}$

Обратите внимание, что в рамках этого определения размерность покрытия Лебега определяется как . ${\displaystyle \dim _{\mathrm {Leb} }(X)=\sup _{\alpha \in {\mathcal {O}}}D(\alpha )}$

Пусть будет открытыми конечными покрытиями . Объединение и есть открытое конечное покрытие всеми множествами вида , где , . Аналогично можно определить объединение любой конечной совокупности открытых покрытий . ${\displaystyle \textstyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle \beta }$ ${\displaystyle \textstyle A\cap B}$ ${\displaystyle \textstyle A\in \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle B\in \beta }$ ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{n}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle \textstyle X}$

Среднее измерение — это неотрицательное расширенное действительное число:

${\displaystyle \operatorname {mdim} (X,T)=\sup _{\alpha \in {\mathcal {\mathcal {O}}}}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {D(\alpha ^{n})}{n}}}$

где ${\displaystyle \textstyle \alpha ^{n}=\bigvee _{i=0}^{n-1}T^{-i}\alpha .}$

Определение в метрическом случае

Если компактное топологическое пространство Хаусдорфа метризуемо и является совместимой метрикой, можно дать эквивалентное определение. Для пусть будет минимальным неотрицательным целым числом , таким, что существует открытое конечное покрытие множествами диаметра меньше такого, что любые различные множества из этого покрытия имеют пустое пересечение. Обратите внимание, что в терминах этого определения размерность покрытия Лебега определяется как . Пусть ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Widim} _{\varepsilon }(X,d)}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \textstyle n+2}$ ${\displaystyle \textstyle \dim _{\mathrm {Leb} }(X)=\sup _{\varepsilon >0}\operatorname {Widim} _{\varepsilon }(X,d)}$

${\displaystyle d_{n}(x,y)=\max _{0\leq i\leq n-1}d(T^{i}x,T^{i}y)}$

Среднее измерение — это неотрицательное расширенное действительное число:

${\displaystyle \operatorname {mdim} (X,d)=\sup _{\varepsilon >0}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\operatorname {Widim} _{\varepsilon }(X,d_{n})}{n}}}$

Характеристики

• Средняя размерность является инвариантом топологических динамических систем, принимающих значения в . ${\displaystyle \textstyle [0,\infty ]}$
• Если размерность покрытия Лебега системы конечна, то ее средняя размерность обращается в нуль, т.е. . ${\displaystyle \textstyle \dim _{\mathrm {Leb} }(X)<\infty \Rightarrow \operatorname {mdim} (X,T)=0}$
• Если топологическая энтропия системы конечна, то ее средняя размерность обращается в нуль, т.е. [ ^2] ${\displaystyle \textstyle \dim _{\mathrm {top} }(X,T)<\infty \Rightarrow \operatorname {mdim} (X,T)=0}$

Пример

Пусть . Пусть и — гомеоморфизм сдвига , тогда . ${\displaystyle \textstyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \textstyle X=([0,1]^{d})^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \textstyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \textstyle (\ldots ,x_{-2},x_{-1},\mathbf {x_{0}} ,x_{1},x_{2},\ldots )\rightarrow (\ldots ,x_{-1},x_{0},\mathbf {x_{1}} ,x_{2},x_{3},\ldots )}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {mdim} (X,T)=d}$

Смотрите также

• Теория размерности
• Топологическая энтропия
• Универсальные пространства (в топологии и топологической динамике)

Ссылки

1. Громов, Миша (1999). «Топологические инварианты динамических систем и пространств голоморфных отображений I». Математическая физика, анализ и геометрия . 2 (4): 323–415. doi : 10.1023/A:1009841100168 . S2CID  117100302.
2. Линденштраусс, Элон; Вайс, Бенджамин (2000-12-01). "Средняя топологическая размерность". Israel Journal of Mathematics . 115 (1). стр. 14: 1–24. CiteSeerX 10.1.1.30.3552 . doi : 10.1007/BF02810577 . ISSN  0021-2172. 

• Адлер, Р.; Даунарович, Т.; Мисюревич, М. (2008). «Топологическая энтропия». Scholarpedia . 3 (2): 2200. Bibcode :2008SchpJ...3.2200A. doi : 10.4249/scholarpedia.2200 .

Внешние ссылки

Что такое среднее измерение?