Среднее время между отказами

Прогнозируемое время, прошедшее между внутренними сбоями системы во время работы.

Среднее время наработки на отказ ( MTBF ) — это прогнозируемое время, прошедшее между внутренними отказами механической или электронной системы во время нормальной работы системы. MTBF можно рассчитать как среднее арифметическое (среднее) время между отказами системы. Этот термин используется для ремонтопригодных систем, а среднее время до отказа ( MTTF ) обозначает ожидаемое время до отказа для неремонтопригодной системы. ^[1]

Определение MTBF зависит от определения того, что считается отказом. Для сложных ремонтопригодных систем отказами считаются выходы за пределы проектных условий, которые выводят систему из строя и переводят ее в состояние, требующее ремонта. Возникающие отказы, которые можно оставить или поддерживать в невосстановленном состоянии и которые не выводят систему из эксплуатации, не считаются отказами согласно этому определению. ^[2] Кроме того, устройства, снятые для планового технического обслуживания или инвентарного контроля, не учитываются при определении отказа. ^[3] Чем выше среднее время безотказной работы, тем дольше система проработает, прежде чем выйдет из строя.

Обзор

Среднее время наработки на отказ (MTBF) описывает ожидаемое время между двумя отказами для ремонтопригодной системы. Например, три одинаковые системы, начавшие нормально функционировать в момент 0, работают до тех пор, пока все они не выйдут из строя. Первая система выходит из строя через 100 часов, вторая — через 120 часов и третья — через 130 часов. Среднее время безотказной работы систем представляет собой среднее из трех времен отказа и составляет 116,667 часов. Если бы системы были неремонтопригодными, то их MTTF составила бы 116,667 часов.

В общем, MTBF — это «время безотказной работы» между двумя состояниями отказа ремонтируемой системы во время работы, как описано здесь:

Для каждого наблюдения «время простоя» — это мгновенное время, когда оно снизилось, которое наступает после (т. е. больше) момента повышения, «времени работоспособности». Разница («время простоя» минус «время работы») представляет собой количество времени, в течение которого он работал между этими двумя событиями.

Как показано на рисунке выше, среднее время безотказной работы компонента представляет собой сумму продолжительности периодов эксплуатации, деленную на количество наблюдаемых отказов:

${\displaystyle {\text{MTBF}}={\frac {\sum {({\text{start of downtime}}-{\text{start of uptime}})}}{\text{number of failures}}}.}$

Аналогичным образом среднее время простоя (MDT) можно определить как

${\displaystyle {\text{MDT}}={\frac {\sum {({\text{start of uptime}}-{\text{start of downtime}})}}{\text{number of failures}}}.}$

Математическое описание

MTBF — это ожидаемое значение случайной величины, указывающее время до отказа. Таким образом, это можно записать как ^[4] ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\text{MTBF}}=\mathbb {E} \{T\}=\int _{0}^{\infty }tf_{T}(t)\,dt}$

где – функция плотности вероятности . Эквивалентно, MTBF можно выразить через функцию надежности как ${\displaystyle f_{T}(t)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R_{T}(t)}$

${\displaystyle {\text{MTBF}}=\int _{0}^{\infty }R(t)\,dt}$.

Среднее время безотказной работы также имеет единицы времени (например, часы). ${\displaystyle T}$

Любой практически значимый расчет MTBF предполагает, что система работает в течение своего «срока полезного использования», который характеризуется относительно постоянной интенсивностью отказов (средняя часть « кривой ванны »), когда происходят только случайные отказы. ^[1] Другими словами, предполагается, что система пережила первоначальные нагрузки при настройке и еще не подошла к ожидаемому концу срока службы, что часто увеличивает частоту отказов.

Если предположить, что частота отказов постоянна, это означает, что она имеет экспоненциальное распределение с параметром . Поскольку среднее время безотказной работы является ожидаемым значением , оно определяется обратной величиной частоты отказов системы, ^{[1] [4]} ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\text{MTBF}}={\frac {1}{\lambda }}}$.

Как только MTBF системы известен и предполагается постоянная частота отказов, вероятность того , что какая-либо конкретная система будет работать в течение заданного периода времени, может быть выведена ^[1] из функции надежности экспоненциального распределения , . В частности, вероятность того, что конкретная система доживет до своей наработки на отказ, составляет , или около 37% (т.е. она выйдет из строя раньше с вероятностью 63%). ^[5] ${\displaystyle R_{T}(t)=e^{-\lambda t}}$ ${\displaystyle 1/e}$

Приложение

Значение MTBF можно использовать в качестве параметра надежности системы или для сравнения различных систем или конструкций. Эту величину следует понимать лишь условно как «средний срок службы» (среднее значение), а не как количественное тождество между работающими и вышедшими из строя агрегатами. ^[1]

Поскольку MTBF можно выразить как «средний срок службы (ожидаемый срок)», многие инженеры предполагают, что 50% элементов выйдут из строя к моменту времени t = MTBF. Эта неточность может привести к плохим проектным решениям. Более того, вероятностное прогнозирование отказов, основанное на MTBF, предполагает полное отсутствие систематических отказов (т. е. постоянную интенсивность отказов, состоящую только из собственных, случайных отказов), что нелегко проверить. ^[4] При отсутствии систематических ошибок вероятность того, что система выживет в течение периода времени T, рассчитывается как exp^(-T/MTBF). Следовательно, вероятность того, что система выйдет из строя в течение периода T, определяется как 1 - exp^(-T/MTBF).

Прогнозирование значения MTBF является важным элементом разработки продуктов. Инженеры по надежности и инженеры-проектировщики часто используют программное обеспечение по надежности для расчета наработки на отказ изделия в соответствии с различными методами и стандартами (MIL-HDBK-217F, Telcordia SR332, Siemens SN 29500, FIDES, UTE 80-810 (RDF2000) и т. д.). Руководство по калькулятору надежности Mil-HDBK-217 в сочетании с программным обеспечением RelCalc (или другим аналогичным инструментом) позволяет прогнозировать показатели надежности безотказной работы на основе конструкции.

Концепция, которая тесно связана с наработкой наработки на отказ и важна для расчетов, связанных с наработкой наработки на отказ, — это среднее время простоя (MDT). MDT можно определить как среднее время, в течение которого система не работает после сбоя. Обычно MDT отличается от MTTR (среднего времени восстановления); в частности, MDT обычно включает в себя организационные и логистические факторы (такие как рабочие дни или ожидание прибытия компонентов), тогда как MTTR обычно понимается как более узкий и более технический.

Применение MTBF в производстве

MTBF служит важнейшим показателем для управления надежностью машин и оборудования. Его применение особенно важно в контексте Total Productive Maintenance (TPM), комплексной стратегии технического обслуживания, направленной на максимизацию эффективности оборудования . MTBF обеспечивает количественную оценку времени, прошедшего между отказами системы во время нормальной работы, позволяя получить представление о надежности и производительности производственного оборудования. ^[6]

Интегрируя MTBF с принципами TPM, производители могут добиться более активного подхода к техническому обслуживанию. Такая синергия позволяет выявлять закономерности и потенциальные сбои до их возникновения, обеспечивая профилактическое обслуживание и сокращая время незапланированных простоев. В результате MTBF становится ключевым показателем эффективности (KPI) в TPM, определяющим решения по графикам технического обслуживания, запасам запасных частей и, в конечном итоге, оптимизирующим срок службы и эффективность оборудования. ^[7] Такое стратегическое использование MTBF в рамках TPM повышает общую эффективность производства, снижает затраты, связанные с поломками, и способствует постоянному совершенствованию производственных процессов.

MTBF и MDT для сетей компонентов

Два компонента (например, жесткие диски, серверы и т. д.) могут быть объединены в сеть последовательно или параллельно . Терминология здесь используется по близкой аналогии с электрическими цепями, но имеет несколько иной смысл. Мы говорим, что два компонента включены последовательно, если отказ любого из них приводит к отказу сети, и что они параллельны, если только отказ обоих приводит к отказу сети. Среднее время безотказной работы полученной двухкомпонентной сети с ремонтопригодными компонентами можно рассчитать по следующим формулам, предполагая, что среднее время безотказной работы обоих отдельных компонентов известно: ^{[8] [9]} ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

${\displaystyle {\text{mtbf}}(c_{1};c_{2})={\frac {1}{{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{1})}}+{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{2})}}}}={\frac {{\text{mtbf}}(c_{1})\times {\text{mtbf}}(c_{2})}{{\text{mtbf}}(c_{1})+{\text{mtbf}}(c_{2})}}\;,}$

где сеть, в которой компоненты расположены последовательно. ${\displaystyle c_{1};c_{2}}$

Для сети, содержащей параллельные ремонтопригодные компоненты, для выяснения MTBF всей системы, помимо MTBF компонентов, необходимо также знать их соответствующие MDT. Тогда, полагая, что MDT пренебрежимо малы по сравнению с MTBF (что обычно и происходит на практике), MTBF для параллельной системы, состоящей из двух параллельных ремонтопригодных компонентов, можно записать следующим образом: ^{[8] [9]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{mtbf}}(c_{1}\parallel c_{2})&={\frac {1}{{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{1})}}\times {\text{PF}}(c_{2},{\text{mdt}}(c_{1}))+{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{2})}}\times {\text{PF}}(c_{1},{\text{mdt}}(c_{2}))}}\\[1em]&={\frac {1}{{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{1})}}\times {\frac {{\text{mdt}}(c_{1})}{{\text{mtbf}}(c_{2})}}+{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{2})}}\times {\frac {{\text{mdt}}(c_{2})}{{\text{mtbf}}(c_{1})}}}}\\[1em]&={\frac {{\text{mtbf}}(c_{1})\times {\text{mtbf}}(c_{2})}{{\text{mdt}}(c_{1})+{\text{mdt}}(c_{2})}}\;,\end{aligned}}}$

где — сеть, в которой компоненты расположены параллельно, — вероятность отказа компонента во время «окна уязвимости» . ${\displaystyle c_{1}\parallel c_{2}}$ ${\displaystyle PF(c,t)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t}$

Интуитивно обе эти формулы можно объяснить с точки зрения вероятностей отказов. Прежде всего, отметим, что вероятность отказа системы в течение определенного периода времени обратна ее MTBF. Тогда, при рассмотрении ряда компонентов, отказ любого компонента приводит к отказу всей системы, поэтому (предполагая, что вероятности отказа малы, что обычно и имеет место) вероятность отказа всей системы в течение заданного интервала может быть равна аппроксимируется как сумма вероятностей отказов компонентов. С параллельными компонентами ситуация немного сложнее: вся система выйдет из строя тогда и только тогда, когда после выхода из строя одного из компонентов другой компонент выйдет из строя во время ремонта первого компонента; здесь в игру вступает MDT: чем быстрее будет отремонтирован первый компонент, тем меньше «окно уязвимости» для выхода из строя другого компонента.

Используя аналогичную логику, MDT для системы из двух последовательных компонентов можно рассчитать как: ^[8]

${\displaystyle {\text{mdt}}(c_{1};c_{2})={\frac {{\text{mtbf}}(c_{1})\times {\text{mdt}}(c_{2})+{\text{mtbf}}(c_{2})\times {\text{mdt}}(c_{1})}{{\text{mtbf}}(c_{1})+{\text{mtbf}}(c_{2})}}\;,}$

а для системы из двух параллельных компонентов MDT можно рассчитать как: ^[8]

${\displaystyle {\text{mdt}}(c_{1}\parallel c_{2})={\frac {{\text{mdt}}(c_{1})\times {\text{mdt}}(c_{2})}{{\text{mdt}}(c_{1})+{\text{mdt}}(c_{2})}}\;.}$

Посредством последовательного применения этих четырех формул можно вычислить MTBF и MDT любой сети ремонтопригодных компонентов при условии, что MTBF и MDT известны для каждого компонента. В особом, но очень важном случае нескольких последовательных компонентов расчет MTBF можно легко обобщить до

${\displaystyle {\text{mtbf}}(c_{1};\dots ;c_{n})=\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{k})}}\right)^{-1}\;,}$

что можно показать по индукции, ^[10] и аналогично

${\displaystyle {\text{mdt}}(c_{1}\parallel \dots \parallel c_{n})=\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{{\text{mdt}}(c_{k})}}\right)^{-1}\;,}$

поскольку формула mdt двух компонентов, включенных параллельно, идентична формуле mtbf для двух компонентов, включенных последовательно.

Варианты наработки на отказ

Существует множество вариантов MTBF, например среднее время между аварийными отключениями системы (MTBSA), среднее время между критическими сбоями (MTBCF) или среднее время между незапланированными удалениями (MTBUR). Такая номенклатура используется, когда желательно различать типы отказов, например критические и некритические отказы. Например, в автомобиле отказ FM-радио не мешает основной работе автомобиля.

Рекомендуется использовать среднее время до отказа (MTTF) вместо MTBF в случаях, когда система заменяется после сбоя («неремонтопригодная система»), поскольку MTBF обозначает время между отказами в системе, которое можно отремонтировать. ^[1]

MTTFd является расширением MTTF и касается только сбоев, которые могут привести к опасному состоянию. Его можно рассчитать следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{MTTF}}&\approx {\frac {B_{10}}{0.1n_{\text{onm}}}},\\[8pt]{\text{MTTFd}}&\approx {\frac {B_{10d}}{0.1n_{\text{op}}}},\end{aligned}}}$

где B ₁₀ — количество операций, которые устройство будет выполнять до того, как 10% выборки этих устройств выйдут из строя, а n _op — количество операций. B _10d — тот же расчет, но при этом 10% выборки не будут подвергаться опасности. n _оп – количество операций/цикл за один год. ^[11]

MTBF рассматривает возможность цензуры

Фактически, среднее время безотказной работы, учитывающее только отказы, по крайней мере, с некоторыми все еще работающими системами, которые еще не вышли из строя, занижает среднее время безотказной работы, поскольку не включает в вычисления частичные сроки службы систем, которые еще не вышли из строя. При таком сроке службы все, что мы знаем, это то, что время до отказа превышает время их работы. Это называется цензурой . Фактически, при использовании параметрической модели жизни вероятность того, что произойдет событие в любой конкретный день, следующая :

${\displaystyle L=\prod _{i}\lambda (u_{i})^{\delta _{i}}S(u_{i})}$,

где

${\displaystyle u_{i}}$— время отказа для отказов и время цензурирования для агрегатов, которые еще не вышли из строя,

${\displaystyle \delta _{i}}$= 1 для сбоев и 0 для времени цензурирования,

${\displaystyle S(u_{i})}$= вероятность того, что время жизни превысит , называемая функцией выживания, и ${\displaystyle u_{i}}$

${\displaystyle \lambda (u_{i})=f(u)/S(u)}$называется функцией риска , мгновенной силой смертности (где = функция плотности вероятности распределения). ${\displaystyle f(u)}$

Для постоянного экспоненциального распределения опасность постоянна. В этом случае MBTF ${\displaystyle \lambda }$

Наработка на отказ = , ${\displaystyle 1/{\hat {\lambda }}=\sum u_{i}/k}$

где – оценка максимального правдоподобия , максимизирующая приведенную выше вероятность, и – количество наблюдений без цензуры. ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k=\sum \sigma _{i}}$

Мы видим, что разница между MTBF, учитывающим только отказы, и MTBF, включающим цензурированные наблюдения, заключается в том, что время цензурирования прибавляется к числителю, но не к знаменателю при вычислении MTBF. ^[12]

Смотрите также

• Годовая интенсивность отказов  – вероятность того, что устройство или компонент выйдет из строя в течение года использования.
• Интенсивность отказов  – частота, с которой инженерная система или компонент выходит из строя.
• Кадров на остановку  – срок надежности в боулинг-индустрии
• Среднее время до первого отказа  – средний срок службы неремонтопригодных компонентов.
• Среднее время ремонта  - показатель ремонтопригодности ремонтируемых изделий.
• Часы включения  – продолжительность времени, в течение которого к устройству подается электропитание.
• Проектирование надежности  - раздел системной инженерии, в котором особое внимание уделяется надежности.
• Время пребывания (статистика)  – статистический параметр эволюции случайного процесса.
• Кривая ванны  – кривая частоты отказов с течением времени

Рекомендации

1. Дж. Лиениг, Х. Брюммер (2017). «Анализ надежности». Основы проектирования электронных систем . Международное издательство Спрингер. стр. 45–73. дои : 10.1007/978-3-319-55840-0_4. ISBN 978-3-319-55839-4.
2. Коломбо, А.Г., и Саис де Бустаманте, Амалио: Оценка надежности систем - Материалы курса Испра, проведенного в Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Navales, Мадрид, Испания, 19–23 сентября 1988 г., в сотрудничестве с Мадридским политехническим университетом , 1988 г.
3. «Определение сбоя: что такое MTTR, MTTF и MTBF?». Стивен Фоскетт, Pack Rat . 6 июля 2011 года . Проверено 18 января 2016 г.
4. Алессандро Биролини: Инженерия надежности: теория и практика . Шпрингер, Берлин, 2013 г., ISBN 978-3-642-39534-5 . 
5. «Обзор надежности и среднего времени безотказной работы» (PDF) . Проектирование надежности компании Vicor . Проверено 1 июня 2017 г.
6. «MTBF: что это значит и как его рассчитать» . Total-manufacturing.com . Проверено 7 февраля 2024 г.
7. Доктор философии, Бартош Мисюрек (22 ноября 2021 г.). «MTBF MTTR MTTF: Индикаторы TPM». Бережливое сообщество . Проверено 7 февраля 2024 г.
8. «Характеристики надежности для двух подсистем, включенных последовательно или параллельно, или n подсистем в расположении m_out_of_n (Дон Л. Лин)». auroraconsultingengineering.com .
9. доктор Дэвид Дж. Смит (2011). Надежность, ремонтопригодность и риск (восьмое изд.). ISBN 978-0080969022.
10. «Анализ распределения MTBF1» . www.angelfire.com . Проверено 23 декабря 2016 г.
11. «Оценка B10d - параметр надежности электромеханических компонентов» (PDF) . TUVRheinland . Проверено 7 июля 2015 г.
12. Лу Тиан, Построение правдоподобия, Вывод для параметрических распределений выживания (PDF) , Викиданные  Q98961801.

Внешние ссылки

• «Основы надежности и доступности». EventHelix.
• Говорит, Скотт (2005). «Обзор надежности и среднего времени безотказной работы» (PDF) . Компания Vicor по обеспечению надежности.
• «Интенсивность отказов, наработка на отказ и все такое». Математические страницы.
• «Простое руководство по MTBF: что это такое и когда его использовать». Дорога к надежности. 10 декабря 2021 г.
• «Что такое среднее время до отказа и как его рассчитать?». НЕКСГЕН.