БИБО-стабильность

Когда выходные данные системы ограничены для каждого ограниченного входа

В обработке сигналов , в частности в теории управления , стабильность с ограниченным входом и ограниченным выходом ( BIBO ) — это форма стабильности сигналов и систем , которые принимают входные данные. Если система BIBO-стабильна, то выход будет ограничен для каждого входа в ограниченную систему.

Сигнал ограничен, если существует конечное значение, такое, что величина сигнала никогда не превышает , то есть ${\displaystyle B>0}$ ${\displaystyle B}$

Для сигналов дискретного времени : ${\displaystyle \exists B\forall n(\ |y[n]|\leq B)\quad n\in \mathbb {Z} }$

Для непрерывных сигналов: ${\displaystyle \exists B\forall t(\ |y(t)|\leq B)\quad t\in \mathbb {R} }$

Условия временной области для линейных стационарных систем

Непрерывное необходимое и достаточное условие

Для непрерывной во времени линейно-инвариантной (LTI) системы условием устойчивости BIBO является то, что импульсная характеристика , , будет абсолютно интегрируемой , т. е. существует ее норма L 1 . ${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

Достаточное условие дискретного времени

Для системы LTI с дискретным временем условием устойчивости BIBO является абсолютно суммируемость импульсной характеристики , т. е. существование ее нормы . ${\displaystyle \ell ^{1}}$

${\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

Доказательство достаточности

Учитывая систему LTI с дискретным временем и импульсной характеристикой, соотношение между входом и выходом равно ${\displaystyle \ h[n]}$ ${\displaystyle \ x[n]}$ ${\displaystyle \ y[n]}$

${\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}$

где обозначает свертку . Тогда по определению свертки следует ${\displaystyle *}$

${\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]x[n-k]}$

Пусть – максимальное значение , т. е. -норма . ${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$ ${\displaystyle \ |x[n]|}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

${\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[n-k]x[k]\right|}$

${\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}$(по неравенству треугольника )

${\displaystyle {\begin{aligned}&\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|\end{aligned}}}$

Если абсолютно суммируемо, то и ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}$

Итак, если абсолютно суммируемо и ограничено, то оно также ограничено, потому что . ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle \left|x[n]\right|}$ ${\displaystyle \left|y[n]\right|}$ ${\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

Доказательство для непрерывного времени следует тем же аргументам.

Условие частотной области для линейных стационарных систем

Непрерывные сигналы

Для рациональной системы с непрерывным временем условием устойчивости является то, что область сходимости (ROC) преобразования Лапласа включает воображаемую ось . Когда система является причинной , ROC представляет собой открытую область справа от вертикальной линии, абсцисса которой представляет собой действительную часть «самого большого полюса» или полюса , который имеет наибольшую действительную часть любого полюса в системе. Действительная часть крупнейшего полюса, определяющего РПЦ, называется абсциссой конвергенции . Следовательно, для устойчивости BIBO все полюса системы должны находиться в строго левой половине s-плоскости .

Это условие устойчивости может быть получено из приведенного выше условия во временной области следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,dt&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)e^{-st}\right|\,dt\end{aligned}}}$

где и ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=\sigma =0.}$

Поэтому область схождения должна включать воображаемую ось .

Сигналы дискретного времени

Для системы с рациональным и дискретным временем условием устойчивости является то, что область сходимости (ROC) z-преобразования включает единичный круг . Когда система является причинной , ROC представляет собой открытую область за пределами круга, радиус которого равен величине полюса с наибольшей величиной. Следовательно, для устойчивости BIBO все полюса системы должны находиться внутри единичного круга в плоскости z .

Это условие устойчивости может быть получено аналогично выводу для непрерывного времени:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]z^{-n}\right|\end{aligned}}}$

где и . ${\displaystyle z=re^{j\omega }}$ ${\displaystyle r=|z|=1}$

Поэтому область сходимости должна включать единичный круг .

Смотрите также

• Теория систем LTI
• Фильтр с конечной импульсной характеристикой (FIR)
• Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ)
• сюжет Найквиста
• Критерий устойчивости Рауса – Гурвица.
• График Боде
• Запас по фазе
• Метод корневого локуса
• Стабильность входа в состояние

дальнейшее чтение

• Гордон Э. Карлсон Анализ сигналов и линейных систем с помощью Matlab , второе издание, Wiley, 1998, ISBN  0-471-12465-6
• Джон Г. Проакис и Димитрис Г. Манолакис « Основы, алгоритмы и приложения цифровой обработки сигналов», третье издание, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4 
• Д. Рональд Фэннин, Уильям Х. Трантер и Роджер Э. Цимер. Сигналы и системы Непрерывное и дискретное четвертое издание, Прентис Холл, 1998, ISBN 0-13-496456-X 
• Доказательство необходимых условий стабильности BIBO.
• Кристоф Бассо Проектирование контуров управления для линейных и импульсных источников питания: Учебное пособие, первое издание, Artech House, 2012, 978-1608075577
• Майкл Унсер (2020). «Заметки о стабильности BIBO». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 68 : 5904–5913. arXiv : 2005.14428 . дои :10.1109/TSP.2020.3025029.

Рекомендации