Статистическая сумма (квантовая теория поля)

Производящая функция для квантовых корреляционных функций

В квантовой теории поля статистические суммы генерируют функционалы для корреляционных функций , что делает их ключевыми объектами изучения в формализме интеграла по траектории . Они являются версиями статистических сумм статистической механики для мнимого времени , что приводит к тесной связи между этими двумя областями физики. Статистические суммы редко могут быть решены точно, хотя свободные теории допускают такие решения. Вместо этого обычно реализуется пертурбативный подход, что эквивалентно суммированию по диаграммам Фейнмана .

Создание функционального

Скалярные теории

В -мерной теории поля с действительным скалярным полем и действием статистическая сумма определяется в формализме интеграла по траекториям как функционал ^[1] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle S[\phi ]}$

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{iS[\phi ]+i\int d^{d}xJ(x)\phi (x)}}$

где - фиктивный источник тока . Он действует как производящий функционал для произвольных n-точечных корреляционных функций ${\displaystyle J(x)}$

${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-1)^{n}{\frac {1}{Z[0]}}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0}.}$

Производные, используемые здесь, являются функциональными производными, а не регулярными производными, поскольку они действуют на функционалы, а не на регулярные функции. Из этого следует, что эквивалентное выражение для функции распределения, напоминающее степенной ряд по токам источника, дается как ^[2]

${\displaystyle Z[J]=\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n!}}\int \prod _{i=1}^{n}d^{d}x_{i}G(x_{1},\dots ,x_{n})J(x_{1})\cdots J(x_{n}).}$

В искривленном пространстве-времени есть дополнительная тонкость, с которой нужно иметь дело из-за того, что начальное состояние вакуума не обязательно должно быть таким же, как конечное состояние вакуума. ^[3] Функции распределения также могут быть построены для составных операторов таким же образом, как и для фундаментальных полей. Корреляционные функции этих операторов затем могут быть вычислены как функциональные производные этих функционалов. ^[4] Например, функция распределения для составного оператора задается как ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x)}$

${\displaystyle Z_{\mathcal {O}}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{iS[\phi ]+i\int d^{d}xJ(x){\mathcal {O}}(x)}.}$

Знание функции распределения полностью решает теорию, поскольку позволяет напрямую вычислить все ее корреляционные функции. Однако существует очень мало случаев, когда функция распределения может быть вычислена точно. В то время как свободные теории допускают точные решения, взаимодействующие теории, как правило, этого не делают. Вместо этого функция распределения может быть оценена при слабой связи пертурбативно, что равнозначно регулярной теории возмущений с использованием диаграмм Фейнмана со вставками на внешних ножках. ^[5] Факторы симметрии для этих типов диаграмм отличаются от факторов корреляционных функций, поскольку все внешние ножки имеют идентичные вставки, которые можно менять местами, тогда как внешние ножки корреляционных функций все фиксированы в определенных координатах и, следовательно, фиксированы. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$

Выполняя преобразование Вика , функцию распределения можно выразить в евклидовом пространстве-времени как ^[6]

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{-(S_{E}[\phi ]+\int d^{d}x_{E}J\phi )},}$

где — евклидово действие, а — евклидовы координаты. Эта форма тесно связана с статистической суммой в статистической механике, особенно потому, что евклидов лагранжиан обычно ограничен снизу, и в этом случае его можно интерпретировать как плотность энергии . Она также допускает интерпретацию экспоненциального множителя как статистического веса для конфигураций поля, причем большие флуктуации градиента или значений поля приводят к большему подавлению. Эта связь со статистической механикой также дает дополнительную интуицию относительно того, как должны вести себя корреляционные функции в квантовой теории поля. ${\displaystyle S_{E}}$ ${\displaystyle x_{E}}$

Общие теории

Большинство тех же принципов скалярного случая применимы и к более общим теориям с дополнительными полями. Каждое поле требует введения своего собственного фиктивного тока, а поля античастиц требуют своих собственных отдельных токов. Воздействие на функцию распределения с производной тока снижает ее связанное поле из экспоненты, что позволяет строить произвольные корреляционные функции. После дифференцирования токи устанавливаются равными нулю, когда требуются корреляционные функции в вакуумном состоянии, но токи также могут быть установлены так, чтобы они принимали определенные значения, чтобы получить корреляционные функции в неисчезающих фоновых полях.

Для статистических сумм с фермионными полями , имеющими грассмановские значения , источники также имеют грассмановские значения. ^[7] Например, теория с одним дираковским фермионом требует введения двух грассмановых токов и, таким образом, статистическая сумма имеет вид ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle {\bar {\eta }}}$

${\displaystyle Z[{\bar {\eta }},\eta ]=\int {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {D}}\psi \ e^{iS[\psi ,{\bar {\psi }}]+i\int d^{d}x({\bar {\eta }}\psi +{\bar {\psi }}\eta )}.}$

Функциональные производные по дают фермионные поля, тогда как производные по дают антифермионные поля в корреляционных функциях. ${\displaystyle {\bar {\eta }}}$ ${\displaystyle \eta }$

Теории теплового поля

Теория теплового поля при температуре эквивалентна в евклидовом формализме теории с компактифицированным временным направлением длины . Статистические суммы должны быть соответствующим образом модифицированы путем наложения условий периодичности на поля и евклидовы пространственно-временные интегралы ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \beta =1/T}$

${\displaystyle Z[\beta ,J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-S_{E,\beta }[\phi ]+\int _{\beta }d^{d}x_{E}J\phi }{\bigg |}_{\phi ({\boldsymbol {x}},0)=\phi ({\boldsymbol {x}},\beta )}.}$

Эту функцию распределения можно рассматривать как определение теории теплового поля в формализме мнимого времени. ^[8] Корреляционные функции получаются из функции распределения через обычные функциональные производные по токам.

${\displaystyle G_{n,\beta }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\delta ^{n}Z[\beta ,J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0}.}$

Свободные теории

Статистическую сумму можно точно решить в свободных теориях , дополнив квадрат в терминах полей. Поскольку сдвиг на константу не влияет на меру интеграла по траектории , это позволяет разделить статистическую сумму на константу пропорциональности, возникающую из интеграла по траектории, и второй член, который зависит только от тока. Для скалярной теории это дает ${\displaystyle N}$

${\displaystyle Z_{0}[J]=N\exp {\bigg (}-{\frac {1}{2}}\int d^{d}xd^{d}y\ J(x)\Delta _{F}(x-y)J(y){\bigg )},}$

где находится позиционное пространство пропагатора Фейнмана ${\displaystyle \Delta _{F}(x-y)}$

${\displaystyle \Delta _{F}(x-y)=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}.}$

Эта статистическая сумма полностью определяет теорию свободного поля.

В случае теории с одним свободным фермионом Дирака завершение квадрата дает статистическую сумму вида

${\displaystyle Z_{0}[{\bar {\eta }},\eta ]=N\exp {\bigg (}\int d^{d}xd^{d}y\ {\bar {\eta }}(y)\Delta _{D}(x-y)\eta (x){\bigg )},}$

где находится позиционное пространство пропагатора Дирака ${\displaystyle \Delta _{D}(x-y)}$

${\displaystyle \Delta _{D}(x-y)=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}.}$

Ссылки

1. Rivers, RJ (1988). "1". Методы интегралов по траекториям в квантовой теории поля . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 14–16. ISBN 978-0521368704.
2. Нэстасе, Х. (2019). "9". Введение в квантовую теорию поля . Cambridge University Press. стр. 78. ISBN 978-1108493994.
3. Биррелл, NC; Дэвис, PCW (1984). "6". Квантовые поля в искривленном пространстве-времени . Cambridge University Press. стр. 155–156. ISBN 978-0521278584.
4. Нэстасе, Х. (2015). "1". Введение в переписку AdS/CFT . Кембридж: Cambridge University Press. С. 9–10. ISBN 978-1107085855.
5. Средницки, М. (2007). "9". Квантовая теория поля . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 58–60. ISBN 978-0521864497.
6. Пескин, Майкл Э .; Шредер, Дэниел В. (1995). "9". Введение в квантовую теорию поля . Westview Press. стр. 289–292. ISBN 9780201503975.
7. Шварц, МД (2014). "34". Квантовая теория поля и стандартная модель . Cambridge University Press. стр. 272. ISBN 9781107034730.
8. Le Bellac, M. (2008). "3". Теория теплового поля . Cambridge University Press. стр. 36–37. ISBN 978-0521654777.

Дальнейшее чтение

• Ашок Дас, Теория поля: подход на основе интеграла путей , 2-е издание, World Scientific (Сингапур, 2006); мягкая обложка ISBN 978-9812568489 . 
• Кляйнерт, Хаген , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4-е издание, World Scientific (Сингапур, 2004); мягкая обложка ISBN 981-238-107-4 (также доступно онлайн: PDF-файлы) . 
• Жан Зинн-Джастин (2009), Scholarpedia, 4 (2): 8674.