В математике , особенно в исчислении , стационарной точкой дифференцируемой функции одной переменной является точка на графике функции, где производная функции равна нулю. [1] [2] [3] Неформально, это точка, в которой функция «перестает» увеличиваться или уменьшаться (отсюда и название).
Для дифференцируемой функции нескольких действительных переменных стационарная точка — это точка на поверхности графика, в которой все ее частные производные равны нулю (эквивалентно, градиент имеет нулевую норму ). Понятие стационарных точек действительнозначной функции обобщается как критические точки для комплекснозначных функций .
Стационарные точки легко визуализировать на графике функции одной переменной: они соответствуют точкам на графике, где касательная горизонтальна (т. е. параллельна оси x ) . Для функции двух переменных они соответствуют точкам на графике, где касательная плоскость параллельна плоскости xy .
Понятие стационарной точки позволяет математически описать астрономическое явление, которое не было объяснено до времен Коперника . Неподвижная точка — это точка на видимой траектории планеты на небесной сфере , где движение планеты, кажется, останавливается, прежде чем возобновиться в другом направлении (см. Кажущееся ретроградное движение ). Это происходит из-за проекции орбиты планеты на круг эклиптики .
Точка поворота – это точка, в которой производная меняет знак. [2] Точкой поворота может быть либо относительный максимум, либо относительный минимум (также известный как локальный минимум и максимум). Если функция дифференцируема, то точка поворота является точкой покоя; однако не все стационарные точки являются поворотными. Если функция дважды дифференцируема, то стационарные точки, не являющиеся точками поворота, являются горизонтальными точками перегиба . Например, функция имеет точку покоя при x = 0 , которая также является точкой перегиба, но не точкой поворота. [3]
Изолированные стационарные точки действительной функции подразделяются на четыре типа с помощью первого критерия производной :
Первые два варианта известны под общим названием « локальные экстремумы ». Аналогично точка, которая является либо глобальным (или абсолютным) максимумом, либо глобальным (или абсолютным) минимумом, называется глобальным (или абсолютным) экстремумом. Последние два варианта — стационарные точки, не являющиеся локальными экстремумами, — известны как седловые точки .
По теореме Ферма глобальные экстремумы должны возникать (для функции) на границе или в стационарных точках.
Определение положения и характера стационарных точек помогает в построении кривых дифференцируемых функций. Решение уравнения f ′ ( x ) = 0 возвращает координаты x всех стационарных точек; координаты y тривиально являются значениями функции в этих координатах x . Конкретный характер стационарной точки x в некоторых случаях можно определить, исследуя вторую производную f″ ( x ):
Более простой способ определить природу стационарной точки — проверить значения функции между стационарными точками (если функция определена и непрерывна между ними).
Простым примером точки перегиба является функция f ( x ) = x3 . В точке x = 0 происходит явное изменение вогнутости , и мы можем доказать это с помощью исчисления . Вторая производная f — это всюду непрерывная 6 x , а при x = 0 f″ = 0, и около этой точки меняется знак. Итак, x = 0 — это точка перегиба.
В более общем смысле, стационарными точками вещественнозначной функции являются те точки x 0 , где производная в каждом направлении равна нулю или, что то же самое, градиент равен нулю.
Для функции f ( x ) = x 4 имеем f ′ (0) = 0 и f″ (0) = 0. Несмотря на то, что f″ (0) = 0, эта точка не является точкой перегиба. Причина в том, что знак f ′ ( x ) меняется с отрицательного на положительный.
Для функции f ( x ) = sin( x ) имеем f ′ (0) ≠ 0 и f″ (0) = 0. Но это не стационарная точка, а скорее точка перегиба. Это происходит потому, что вогнутость меняется с вогнутости вниз на вогнутость вверх, а знак f ′ ( x ) не меняется; оно остается положительным.
Для функции f ( x ) = x 3 имеем f ′ (0) = 0 и f″ (0) = 0. Это одновременно точка покоя и точка перегиба. Это происходит потому, что вогнутость меняется с вогнутости вниз на вогнутость вверх, а знак f ′ ( x ) не меняется; оно остается положительным.
